3.5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим ей. В качестве таких прямых удобно принимать горизонталь и фронталь. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Верно и обратное: если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.

Рассмотрим решение задачи на построение перпендикуляра к плоскости из точки А (рис. 53).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 53. Прямая, перпендикулярная плоскости

Пусть дана плоскость ВСD и точка А. Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А₁ прямую n₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, а на фронтальной плоскости проекций через точку А₂ прямую n₂ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f₂, согласно, теореме о перпендикуляре к плоскости, полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.

4. Преобразование чертежа

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения положения проецируемой фигуры относительно плоскостей проекций.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве - методы плоскопараллельного перемещения и сращения.

2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура окажется в частном положении - метод замены плоскостей проекций.

4.1. Способ замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П₁ или П₂ новой плоскостями П₄ (рис. 54). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 54. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 55). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 54). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П₄, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П₁. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П₁П₂ в систему П₁П₄ , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А₄ В₄ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 55).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 55. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций