5.4. Взаимное пересечение поверхностей

Форма большинства сложных и ответствен­ных деталей приборов и машин образована комбинацией раз­личных элементарных тел, расположенных в пространстве так, что поверхности их пересекаются между собой. Поэтому важ­ным этапом конструирования таких деталей является определе­ние границ исходных поверхностей, которыми и являются линии их взаимного пересечения.

В общем случае линию пересечения двух повер­хностей между собой строят по точкам, которые находят спомощью вспомогательных секущих по­верхностей (или плоскостей).

Две криволинейные поверхности А и В (рисунок 82) пересекаются тре­тьей секущей вспомогательной повер­хностью Q. Находят линии пересе­чения KL и MN вспомогательной поверхности с каждой из заданных. Точка Т пересечения построенных линий KL и MN принадлежит линии пересечения заданных поверхностей А и В. Повторяя такие построения многократно с помощью ана­логичных вспомогательных поверхностей, находят необходи­мое число общих точек двух поверхностей для проведения линии их пересечения.

Сформулируем общее правило построения линии пересече­ния поверхностей:

– выбирают вид вспомогательных поверхностей;

– строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

– находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой плавной кривой.

Рисунок 82

Способ вспомогательных секущих плоскостей. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоско­стей на примере построения линии пересечения сферы с кону­сом вращения (рисунок 83).

Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси ко­нуса, которые пересекают сферу и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

Построение начинают обычно с отыскания проекций ха­рактерных точек. Проекции 1' высшей и 2' низшей точек явля­ются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллель­ной плоскости V. Их горизонтальные 1, 2 и профильные 1", 2" проекции находят в проекционной связи. Проекции 3', 3, 3" и 4', 4, 4", лежащие на экваторе сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q (Q_v), проходящей через центр сферы О (о'). Она пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса r_q, в пересечении горизонтальных проек­ций которых и находят горизонтальные проекции 3, 4 точек искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3 и 4 этих точек являются границами видимости участков линии пе­ресечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5', 5, 5" и 6', 6, 6", находят с помощью вспомога­тельной горизонтальной плоскости Т(T_v). Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профиль­ные проекции точек линии пересечения строят по их фрон­тальной и горизонтальной проекциям. Точки с проекциями 7', 7, 7" и 8', 8, 8" являются границами видимости участков профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7" и 8" профильная проекция линии пересечения видима. Точ­ное построение проекций этих точек см. на рисунке 83.

Рисунок 83

Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. 

Рисунок 84

Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами. Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа, в результате которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций (рисунке 84) или одна из осей становиться проецирующей прямой, а вторая – линией уровня.

Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки А (рис.84). Эта точка принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер. Каждая из концентрических сфер пересекает поверхности по окружностям – параллелям (а, b, c, d, n), фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (а₂, b₂, c₂, d₂, n₂). Проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂ и 6₂ пересечения проекций параллелей принадлежат проекции искомой линии пересечения поверхностей. Пересечение главных фронтальных меридианов поверхностей определяют положение верхней и нижней точек (7 и 8) линии.

Для точного построения линии пересечения поверхностей необходимо найти точки 9 и 10, которые определяют границу зоны видимости линии пересечения поверхностей на горизонтальной проекции. Для этой цели использовалась вспомогательная секущая плоскость, которая пересекает поверхность Q по линии m, а поверхность G по образующим, горизонтальные проекции которых пересекаясь определяют положение искомых точек. 

Соединив найденные точки 1...10 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей.