Постоянная составляющая

Постоянный ток через конденсатор не идет, катушки на постоянном токе имеют нулевое сопротивление.

Постоянная составляющая ЭДС

Ток

Первая гармоника

Расчет ведем в комплексной форме.

Определим комплексную амплитуду тока.

Первая гармоника ЭДС

ее комплексная амплитуда

Комплексная амплитуда тока

где - комплексное сопротивление цепи наnepвой гармонике.

Сопротивления катушек

Сопротивление конденсатора

отсюда

Таким образом,

Мгновенное значение первой гармоники тока

Третья гармоника

Третья гармоника ЭДС

ее комплексная амплитуда

Сопротивление реактивных элементов на третьей гармо­нике

Cопротивление цепи на третьей гармонике

Комплексная амплитуда третьей гармоники тока

мгновенное значение тока

Искомый ток записывается в виде суммы его гармониче­ских составляющих

Ответ:

11.5. Действующее и среднее значения несинусоидального напряжения или тока

Действующее значение несинусоидальной периодической функции по определению есть

среднеквадратичное значение за период.

Рассмотрим несинусоидальное напряжение с пе­риодом 2. Его действующее значение

(11.9)

Определим действующее значение несинусоидального напряжения или тока, если известно его

разложение в ряд Фурье (11.4).Пусть

Квадрат этого напряжения

Для того, чтобы проинтегрировать это выражение за период по формуле (11.9),целесообразно разложить его на гармонические составляющие. Сумма квадратов всех синусоид даст при разложении гармонику нулевой частоты и сумму гармоник двойных частот

Сумма произведений синусоидальных функции различных частот даст гармонические составляющие суммарных и разностных частот :

При интегрировании за период все периодические состав­ляющие разложения Фурье обратятся в нуль, поэтому

(11.10)

В последнем равенстве учтено соотношение между амп­литудным и действующим значениями

напряжения R-й гар­моники

Таким образом, деиствующее значение несинусоидального напряжения или тока равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений, напряжений (или токов) всех гармоник. Поясним сказанное на простейшем примере.

Пример 11.4.Дано несинусоидальное периодическое на­пряжение

Определить его действующее значение.

Решение

Воспользуемся определением действующего значения (11.9)

Здесь квадрат синуса разложен на тригонометрические со­ставляющие

Проводим интегрирование, отмечая, что определенный ин­теграл за период от любой

периодической функции (в на­шем случае и) равен 0.Получаем

где - действующее значение первой гармоники напряже­ния с амплитудой.

Среднее значение несинусоидального напряжения или тока представляет собой постоянную

составляющую разложения этого напряжения или тока в ряд Фурье

(11.11)

В ряде случаев (в частности, при электрических измерениях) рассматривается среднее по

модулю значение синусоидального напряжения или тока

(11.12)

Среднее по модулю значение напряжения и тока определя­ется обычно в схемах двухполупериодпого выпрямления.

Пример 11.5.Определить действующее и среднее значения тока в цепи рис. 11.2,вычисленного

в примере 11.3

Решение

Действующее значение тока определяется как квадратный корень из суммы квадратов

действующих значении всех гармоник тока в цепи (11.10)

Среднее значение тока определяется как постоянная со­ставляющая ряда Фурье (11.11)