11.3. Численный гармонический анализ

Гармонический анализ несинусоидальных периодических функций (напряжений или токов) легко может быть выпол­нен в численной форме на ЭВМ. Алгоритм расчета коэффициентов основан на выражениях (11.2),где интегрирование ведется известными численными методами, например, но формулам прямоугольников или трапеции.

Рассмотрим метод прямоугольников, имеющий наиболее простой расчетный алгоритм.

Пусть задано несинусоидальное периодическое напряже­ние с периодом, и требуется определить ко­эффициенты разложения этой функции в гармонический ряд.

Для численного гармонического анализа период несинусоидальной функции разбивается на nдостаточно малых ин­тервалов, длина каждого из которых

При этом аргумент несинусоидальной функции принимает дискретные значения

где m= 0, 1, 2, ... ,n—1(значениеm=nсоответствует началу следующего периода).

Вычисление интегралов по формулам (11.2)заменяется вычислением суммы подынтегральных функций

(11.8)

Формулы (11.8)представляют собой алгоритм численного гармонического анализа по методу

прямоугольников.

Пример 11.2.Определить постоянную составляющую, пер­вую и вторую гармоники разложения в ряд Фурье кривой рис. 11.1в при .

Решение

Для определения коэффициентов ряда Фурье разобьем период функции наn=12 интервалов. Длина каждого интервала (в градусах)

Учитываем симметрию кривой относительно оси ординат:

определяем только постоянную составляющую напряжения и коэффициенты при косинусных составляющих ряда Фурье. Вычисления ведем по формулам (11.8).

Постоянная составляющая напряжения

Коэффициент при первой гармонике

Коэффициент при второй гармонике

Ответ:

Сопоставление результатов численного расчета с вычислениями по точным формулам, выполненными в примере11.1,показывает, что в нашем случае погрешность числен­ного расчета составляет 3%.С увеличением номера гармоники погрешность расчета возрастает. Для уменьшения пог­решности следует увеличивать количество расчетных интерваловn.

Численный гармонический анализ применяется как правило при вычислениях на ЭВМ.

11.4. Расчет цепей с несинусондальиыми напряжениями и токами

Расчет линейных цепей несинусоидалыюго тока ведется по принципу наложения, под действием источников ЭДС и тока каждой гармоники в отдельности. Вычисления на каж­дой из гармонических составляющих чаще всего ведутся комплексным методом.

Расчет цепей несинусоидального тока имеет ту особен­ность, что сопротивления реактивных элементчов зависят от частоты источника. Действительно, напряжение на катушке

Eсли в катушке протекает К-ягармоника тока

то напряжение

т. е. на R-й гармонике комплексное сопротивление катушки

Аналогично, ток конденсатора

и при напряжении R-й гармоники

ток имеет вид

Отсюда сопротивление конденсатора в комплексной форме

Сопротивлелие резистора не изменяется с изменением номера гармоники.

Токи и напряжения, полученные в результате расчета, за­писываются в виде суммы мгновенных значений всех гар­моник.

Существенное замечание: суммируются только мгновен­ные значения гармоник. Комплексные выражения разных гармоник тока или напряжения складывать, нельзя.

Рис.11.2

Пример 11.3. Определить ток iв цепи, схема которой изображена на рис.11.2 если ЭДС

сопротивление r₁= 300 Ом;

индуктивности L₁= 0,25 Гн,L₂= 0,lГн,

емкость С_Э = 3,333мкФ,

частота = 1000рад/с.

Решение

Определяем ток от действия каждой гармонической составляющей ЭДС в отдельности.