MetodTM_vse_spets_Ctat_Kin

Таблица 1.2

Исходные данные для задания С2. Равновесие пространственной системы сил

20

Примеры решения задания С2. Равновесие пространственной системы сил

Задача 1. Горизонтальный вал (рис. 1.14) закреплен в подпятнике С и

подшипнике К. Вал имеет шкив I радиуса R и шкив II ра-

диуса r, перпендикулярные оси вала. Рукоять АЕ парал-

лельна оси Сx. Нить, удержи-

вающая груз Q, сходит со

шкива I по касательной верти-

кально вниз. На вал действуют

силы F, P и пара сил с мо-

Рис. 1.14. Схема вала и его нагрузка

ментом М, закручивающая вал

вокруг оси Сy. Сила F находится в плоскости, параллельной zCy, и составляет угол 60° с направлением оси Cy. Сила P приложена в точке В шкива II, опре-

деляемой центральным углом 30º, и направлена по касательной. Определить ве-

личину уравновешивающего момента М и реакции подшипника и подпятника,

если дано: Р = 4 кН, F = 2 кН, Q = 3 кН, R = 0,6 м, r = 0,3 м, а = 0,8 м, b = 0,4 м.

Решение

Рассмотрим равновесие вала. На вал действуют внешние силы F , P , па-

ра сил с моментом М и реак-

ции связей. Связями являются нить, натянутая грузом Q ,

подпятник С и подшипник К.

Освобождаем вал от связей, за-

меняя их действие реакциями.

Реакцию подпятника С раскла-

Рис. 1.15. Внешние силы и реакции связей вала

21

дываем на три составляющие: XC , YC , ZC , направленные вдоль координатных осей. Реакция подшипника К лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала, и

ее составляющими будут вектора X K , ZK , направленные вдоль координатных

осей x, z. Натяжение нити T направлено вдоль нити от точки К и по модулю равно весу груза. Действие на вал внешних сил и реакций связи показано на рис. 1.15.

Внешние силы, действующие на вал, и реакции связей составляют произ-

вольную пространственную систему сил эквивалентную нулю

( P, F, X K , ZK , T , XC , YC , ZC , М) ∞ 0, для которой уравнения равновесия

å Fkx = 0 , å Fky = 0 , å Fkz = 0 ,

åM x (Fk ) = 0 , åM y (Fk ) = 0, åM z (Fk ) = 0.

Для удобства при составлении уравнений равновесия изобразим вал вме-

Рис. 1.16. Вал и действующие на него силы в проекциях на координатные плоскости:

а – вид вала в проекции на плоскость zСx с положительного конца оси y; b – вид вала в проекции на плоскость zСy с положительного конца оси x; с – вид вала в проекции на плоскость xСy с положительного конца оси z

сте с действующими на него силами в проекциях на координатные плоскости

(рис. 1.16).

22

опирается на цилиндрический шарнир (подшипник). Плита удерживается в рав-

новесии при помощи невесомого стержня

СС1, прикреплённого шарниром к плите в её верхнем углу С перпендикулярно её плоскости (рис. 1.17).

На плиту действует сила Q , прило-

женная на краю плиты перпендикулярно её

плоскости, и сила F , лежащая в плоскости

Рис. 1.17. Равновесие плиты

плиты и направленная под углом α к гори-

зонту (см. рис. 1.17). Кроме того, в плоскости плиты на неё действует пара сил с моментом М. Найти реакции шарниров А и В и усилие в стержневой подпорке

СС1 при равновесии плиты, если параметры нагрузки: Р = 1 кН, Q = 500 Н,

F = 400 Н, М = 300 Н·м, α = 35o , а = 2 м, b = 1,5 м, с = 0,2 м, d = 0,4 м.

Решение

ные вдоль координатных осей x, z. Реакция стержня T направлена вдоль стерж-

ня. Действие сил и реакций показано на рис.1.18.

Пространственная система сил, действующих на плиту, является уравновешенной: ( P, F, X B , ZB , T , X A , YA , ZA , М) ∞ 0.

24

Составим уравнения равновесия. В вычислениях моментов сил относи-

тельно осей будем считать момент положительным, если при взгляде со сторо-

ны положительного направления оси, сила вращает тело (плиту) против хода часовой стрелки.

åFkx = 0 , X A + Q + X B + T = 0,

åFky = 0 , YA + Fcosa = 0,

åFkz = 0 , Z A + Fsina - P + ZB = 0

åM x (Fk ) = 0 , - Fcosa × b - P × 0,5(a + d) + ZB (a + d) + M = 0,

åM y (Fk ) = 0, Q × (b + c) + T × (b + c) = 0,

åM z (Fk ) = 0, - Q × a - T × (a + d) - X B × (a + d) = 0.

Подставив исходные данные задачи, получим систему уравнений

откуда находим значения составляющих реакций

T = −500 Н, X B = 83,33 Н, ZB = 580 Н,

X A = -83,33 Н, YA = -328 Н, Z A =192 Н.

Полная реакция пространственного шарнира А RA = X A2 + YA2 + Z A2 = 389,09 Н,

цилиндрического шарнира В RB = X B2 + ZB2 = 585,95 Н.

25

2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются свойст-

ва движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил.

2.1. Кинематика точки. Основные параметры движения точки

Кривая, которую описывает движущаяся точка, называется траекторией

точки. Движение точки может быть задано векторным, координатным или ес-

тественным способами.

Векторный способ основан на определении положения точки ее радиу-

сом-вектором в виде векторного уравнения r = r (t) . При координатном спосо-

бе задания движения точки положение точки определяется ее координатами,

заданными для каждого момента времени: x = x(t) , y = y(t) , z = z(t). Естест-

венный способ задания движения используется, если заранее известна траекто-

рия движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется длиной дуги OM = S(t) , отсчитываемой от некоторой фиксированной точки О, приня-

той за начало отсчета.

Мгновенная скорость, или скорость точки в данный момент времени,

является векторной величиной и определяется как производная по времени от

радиуса-вектора точки: = r& . Вектор скорости точки V всегда направлен по ка-

V r

сательной к траектории в сторону движения точки.

При координатном способе задания движения величины проекций векто-

ра скорости V на координатные оси определяются как производные по времени от соответствующих координат: Vx = x& , Vy = y& , Vz = z& . Модуль вектора скоро-

сти: V = Vx2 + Vy2 + Vz2 . При естественном способе задания движения вектор

скорости точки определяется равенством: = &r , где S S(t) – закон измене-

V Sτ =

26

ния длины дуги, τ – единичный вектор касательной к траектории движения,

Мгновенное ускорение, или ускорение точки в данный момент времени,

является векторной величиной и определяется как производная по времени от вектора скорости точки или как вторая производная от радиус-вектора точки:

При естественном способе задания движения вектор ускорения точки a

раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие an и aτ , па-

раллельные осям n и τ естественной системы координат, и представляется в виде равенства a = aττ + ann , или a = aτ + an , где τ – единичный направляю-

щий вектор оси, касательной к траектории (касательная ось); n – единичный

направляющий вектор главной нормали траектории. Величина an называется

радиус кривизны траектории. (У окружности радиус кривизны равен её радиусу,

у прямой линии – бесконечности.) Вектор an нормальной составляющей уско-

рения всегда направлен к центру кривизны траектории. При движении по ок-

ружности радиус кривизны траектории равен радиусу окружности, а центр кри-

визны траектории совпадает с центром окружности. Величина aτ называется

касательным ускорением и равна модулю второй производной от заданного

27

ускорения a направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векто-

рах an и aτ Модуль вектора ускорения равен: a = an2 + aτ2 .

2.2. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Движение тела, при котором все точки некоторой его прямой остаются неподвижными, называется вращательным, а указанная прямая называется осью вращения. Вращение тела задается углом поворота ϕ = ϕ(t) подвижной плоскости, связанной с телом, относительно некоторого ее начального положе-

ния. Направление вращения с возрастанием угла поворота считается положи-

тельным.

Величина угловой скорости вращения тела равна модулю производной от угла поворота тела по времени: ω = ϕ . Направление угловой скорости вра-

щения тела зависит от знака производной ϕ& . При ϕ& > 0 вращение происходит в положительном направлении, в сторону возрастания угла поворота. При ϕ& < 0

– в отрицательном. Направление угловой скорости обычно показывают дуговой стрелкой вокруг оси вращения. Вектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения в сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Величина углового ускорения при вращении тела равна модулю второй производной от угла поворота тела по времени: ε = ϕ&& . Если ϕ&& > 0 и ϕ& > 0 (или

ϕ&& < 0 и ϕ& < 0), то угловое ускорение направлено в сторону вращения тела и ус-

28

коряет его. Если при ϕ&& > 0 значение производной ϕ& < 0, то угловое ускорение

замедляет вращение.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружно-

стям, радиусы которых равны расстояниям от выбранной точки до неподвиж-

ной оси. Скорость точки вращающегося твердого тела (в отличие от угловой скорости тела) называют линейной, или окружной скоростью точки. Величина скорости рассчитывается по формуле: V = ω h , где ω – величина угловой ско-

рости тела; h – расстояние от точки до оси вращения. Вектор скорости точки лежит в плоскости описываемой точкой окружности и направлен по касатель-

ной к ней в сторону вращения тела. Отношение скоростей двух точек вращаю-

корение точки вращающегося твердого тела рассчитывается как ускорение точки при естественном способе задания движения в виде суммы векторов ка-

сательного и нормального ускорений: aM = aτ + an . Величины касательного,

нормального и полного ускорений точки вращающегося тела, соответственно, равны: aτ = ε h , an = ω2h , aM = aτ2 + an2 , где ω , ε – угловая скорость и уг-

ловое ускорение тела; h – расстояние от точки до оси вращения.

2.3. Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Плоскопараллельным, или плоским движением твердого тела, назы-

вается такое движение, при котором все точки тела движутся параллельно неко-

торой неподвижной плоскости. Плоское движение представляется в виде суммы мгновенного поступательного движения, при котором все точки плоской фигу-

ры движутся со скоростью выбранной точки-полюса, и мгновенного враща-

тельного движения вокруг этого полюса.

29