MetodTM_vse_spets_Ctat_Kin

пендикулярно отрезку АС. На данном этапе величина вектора касательного ус-

корения не может быть вычислена, поскольку угловое ускорение шатуна АС

ε неизвестно. На рис. 2.17 направление вектора касательного ускорения rτ

AC aAC

выбрано из предположения, что вращение шатуна ускоренное и направление углового ускорения совпадает с направлением его угловой скорости.

Направление вектора aA ускорения точки А определяется из того, что центр барабана движется по прямой, параллельной горизонтальной поверхно-

сти качения. На рис. 2.17 направление вектора ускорения aA выбрано из пред-

положения, что качение барабана ускоренное.

Выберем ось х вдоль линии АС (рис. 2.18) и спроектируем векторное ра-

ное направление. Таким образом, вектор ускорения aA направлен в сторону,

противоположную вектору скорости VA , и движение барабана замедленное.

ляющие ускорения точки В при вращении барабана вокруг полюса А.

50

ния катящегося барабана (в отличии от углового ускорения eAC шатуна АС)

может быть найдено. Расчёт основан на том, что при движении барабана рас-

стояние АР1 от точки А до центра скоростей барабана Р1 остаётся постоянным,

равным r. Тогда выражение VA = w1 × AP1 = w1 × r для расчёта скорости точки А можно продифференцировать. Получим dVdtA = ddtω1 × r . Так как точка А движет-

ся по прямой, производная от скорости точки равна её полному ускорению, а

производная от угловой скорости барабана равна его угловому ускорению. То-

гда имеем aA = e1 × r , откуда находим угловое ускорение e1 = arA = 40,8 рад/с2, а

затем и модуль вектора касательного ускорения aBAτ = e1 × BA= 20,4 м/с2.

Заметим, что для вычисления углового ускорения eAC шатуна АС, подоб-

ные рассуждения неприменимы. Формулу VA = wAC × AP2 невозможно продиф-

ференцировать, так как при движении механизма расстояние АР2 от точки А до центра скоростей Р2 шатуна АС является неизвестной функцией времени.

Выберем систему координат хВу как показано на рис. 2.17 и спроецируем

r = r + rτ + rn

на эти оси векторное равенство aB aA aBA aBA . Полагая, что движение ба-

рабана ускоренное (т.е. вектора ускорений a и rτ направлены как показано на

A aBA

рис. 2.17), получим значения составляющих ускорения точки В: aBx = aA + aBAn , aBy = aBAτ . Подставляя значения ускорений, найдём aBy = 20,4 м/с2, aBx = -122,4 +150 = 27,6 м/с2. Вектор полного ускорения точки В направлен по

51

диагонали прямоугольника, построенного на векторах aBx , aBy . Величина уско-

рения точки В aB = aBx2 + aBy2 = 34,32 м/с2.

Задача 2. В плоском механизме (рис. 2.19) кривошип ОА вращается во-

круг оси О с угловой скоростью wOA и угловым ускорением eOA . Диск 2, шар-

нирно присоединённый к кривошипу в точке А, катится без проскальзывания по неподвижному диску 1. Радиусы дисков R1 и R2 . На краю диска 2 в точ-

ке В шарнирно прикреплен стержень

Рис. 2.19. Схема движения плоского ВС, соединенный с центром С диска 3.

механизма

Радиус диска 3 равен радиусу диска 2:

R3 = R2 . Диск 3 катится без скольжения вдоль горизонтальной прямой. Для положения механизма, изображенного на рис. 2.19, определить ускорение точки D и угловое ускорение стержня ВС, если: wOA = 4 рад/с, eOA = 2 рад/с2, R1 = 4 см, R2 = 8 см. Длина стержня ВС = 20 см.

Решение

Определение угловых скоростей звеньев механизма.

Рассмотрим вращательное движение кривошипа ОА. Скорость точки А:

VA = wOA × OA= 48 см/с. Вектор скорости VA направлен перпендикулярно кри-

вошипу ОА в сторону движения кривошипа (рис. 2.20).

При движении диска 2 точка P2 соприкосновения второго диска с непод-

вижным первым является мгновенным центром скоростей диска 2. Угловая

VB = w2BP2 = 6·16 = 96 см/с.

Для определения угловой скорости стержня ВС заметим, что скорости двух точек стержня VB и VC параллельны, но точки В и С не лежат на общем

52

перпендикуляре к скоростям. В этом случае мгновенный центр скоростей стержня ВС отсутствует (бесконечно удалён), угловая скорость стержня равна

тельной составляющей rτ неизвестно, так как неизвестно направление углово-

aCB

го ускорения стержня eCB . Для определённости, выберем направление углового ускорения стержня ВС в сторону против хода часовой стрелки. На рис. 2.21 это направление показано дуговой стрелкой eCB . В соответствии с выбранным на-

53

вдоль радиуса ВА от точки В к полюсу А (рис. 2.21). Касательное ускорение

жется по окружности. В этом случае производная от скорости равна не полному ускорению точки, а только его касательной составляющей aτA . Для того, чтобы её найти рассмотрим вращательное движение кривошипа ОА вокруг непод-

вижной оси О. Ускорение точки А представляется в виде векторного равенства

54

кривошипа от точки А к оси вращения – точке О (рис. 2.21), вектор касательно-

рис. 2.22, – вдоль отрезка ВС и пер- Рис. 2.22. Расчетная схема для вычисления

2.21 – 2.22 следует направить в противоположную сторону. В соответствии с этим, выбранное на рис. 2.21 направление углового ускорения стержня ВС, по-

55

казанное дуговой стрелкой εCB , также следует заменить на противоположное.

56

3.СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

3.1.Основные понятия сложного движения точки

Рассматривается подвижное твердое тело и точка, перемещающаяся отно-

сительно тела.

Траектория точки в её движении относительно тела называется относи-

тельной траекторией. Скорость точки в этом движении называют относитель-

ной скоростью, ускорение – относительным ускорением.

Траектория точки, перемещающейся вместе с телом, называется перенос-

ной траекторией точки, скорость точки при таком её движении – переносной скоростью, а ускорение – переносным ускорением.

Суммарное движение точки вместе с телом и относительно тела называ-

ется сложным движением. Траектория точки относительно неподвижной сис-

темы координат называется абсолютной траекторией точки, скорость и уско-

рение – абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

При вычислении абсолютной скорости используется теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна гео-

метрической сумме относительной и переносной скоростей V = Ve + Vr , где

V , Ve , Vr – вектора абсолютной, переносной и относительной скоростей точки.

В случае, когда относительное движение точки задается естественным способом в виде закона изменения пути S = S(t) , величина относительной ско-

рости точки равна модулю производной: Vr = S&r . Если переносное движение точки есть вращение тела вокруг неподвижной оси, скорость точки в перенос-

ном движении будет: Ve = ωehe , где ωe – величина угловой скорости вращения тела, he – кратчайшее расстояние от места положения точки на теле до оси вращения тела.

57

При вычислении абсолютного ускорения используется теорема Кориоли-

са о сложении ускорений: при сложном движении абсолютное ускорение

точки равно геометрической сумме трех ускорений – относительного, пе-

реносного и ускорения Кориолиса a = ae + ar + aк , где a – вектор абсолютного ускорения точки; ae , ar –

вектора, соответственно, переносного

риолиса определяется векторным произведением aк = 2(ωe ×Vr ), где ωe – век-

тор угловой скорости переносного движения; Vr – вектор относительной скоро-

угол между вектором угловой скорости переносного движения и вектором от-

носительной скорости точки. Направление вектора ускорения Кориолиса может быть получено по правилу построения вектора векторного произведения.

На рис. 3.1 показан способ выбора направления вектора ускорения Ко-

риолиса по правилу Н. Е. Жуковского. Правило состоит в следующем: пусть имеем точку, движущуюся с относительной скоростью Vr . Построим плоскость

П, перпендикулярную вектору угловой скорости ωe , и спроецируем вектор Vr

на эту плоскость. Проекцию обозначим Vr (см. рис. 3.1). Чтобы получить на-

правление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной ско-

рости Vr повернуть на 90° в плоскости П вокруг оси переносного вращения в направлении этого вращения. Если сложное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, направление ускоре-

58

ния Кориолиса можно получить простым поворотом вектора относительной скорости на угол 90° вокруг оси переносного вращения в направлении этого вращения.

Относительное ускорение ar представляется как сумма векторов относи-

рии. (При движении точки по окружности радиус кривизны равен радиусу ок-

ружности, при движении по прямой – бесконечности и в этом случае arn = 0 .)

Значения переносного касательного и нормального ускорений при вращатель-

вой скорости вращения тела. Вектора ускорений строятся по общим правилам построения векторов нормального и касательного ускорений.

При поступательном переносном движении по прямой ωe = 0 ускорение Кориолиса и переносное нормальное ускорение равны нулю aк =0, aen = 0 . Пол-

ное переносное ускорение равно касательной составляющей, модуль которой вычисляется по формуле aeτ = V&e .

59