MetodTM_vse_spets_Ctat_Kin

3.2. Задание К4. Определение скорости и ускорения точки при сложном движении

Задание включает две задачи.

В задаче 1 переносное движение точки является вращательным. Враще-

ние тела относительно неподвижной оси задается законом изменения угла по-

ворота: ϕe = ϕe (t) или законом изменения его угловой скорости: ωe = ωe (t).

Движение точки относительно тела отсчитывается от её начального положения в точке С и задается законом изменения длины дуги окружности или отрезка прямой линии: CM = Sr = Sr (t) .

Определить абсолютные скорость и ускорение точки в заданный момент времени t1.

В задаче 2 переносное движение точки является поступательным, прямо-

линейным. Поступательное движение тела, несущего точку задается законом изменения координаты xe = xe (t) . Движение точки относительно тела отсчиты-

вается от её начального положения в точке С и задается законом изменения длины дуги окружности или отрезка прямой линии: CM = yr = yr (t) .

Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени t2 , который либо задаётся в исходных данных задачи, либо задаются условия,

из которых он находится.

Номера вариантов заданий даны на рис. 3.2 – 3.5. Варианты исходных данных приведены в табл. 3.1.

60

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ

В момент t = t2 точка М прошла 2/3 пути СВ

Рис. 3.2. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 1 – 3, 11 – 13, 21 – 23

61

В момент t = t2 точка М прошла путь СВ

Рис. 3.3. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 4 – 6, 14 – 16, 24 – 26

62

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ = R

Рис. 3.4. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 7 – 9, 17 – 19, 27 – 29

63

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ = R

Рис. 3.5. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 10, 20, 30

Таблица 3.1

Исходные данные для заданий по сложному движению точки

64

Пример выполнения задания К4. Сложное движение точки

Задача 1. Фигура, состоящая из половины диска и равнобедренного тре-

угольника (рис. 3.6), вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости фигу-

ры и проходящей через вершину А треугольника. Вращательное движение зада-

66

сти: BM = Sr = 9πt2 см. Положительное направление движения точки М на рис. 3.6 показано дуговой стрелкой Sr . Радиус диска R = 9 см. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.

Решение

Вращение фигуры будет для точки М переносным движением. Относи-

тельное движение точки М – её движение по окружности обода диска.

Для определения положения точки М на ободе диска вычислим расстоя-

ние, которое она прошла на заданный момент времени. Длина дуги окружности,

происходит в положительном направлении, что отмечено дуговой стрелкой ωe

на рис. 3.7. В момент времени t1 = 1 с точка М находится в положении М1. Ско-

рость Ve переносного движения точки в рассматриваемый момент времени

67

Вектор скорости переносного движения точки Ve перпендикулярен линии

АМ1 и направлен в сторону вращения фигуры (см. рис. 3.7).

Относительное движение точки задано естественным способом, как закон изменения длины дуги ВМ. В этом случае скорость относительного движения

точки в положении М1 происходит в положительном направлении, указанном на рис. 3.7 дуговой стрелкой Sr .

Вектор Vr относительной скорости точки в положении М1 направлен по касательной к траектории относительного движения в сторону положительного направления движения (см. рис. 3.7).

Абсолютную скорость точки находим по теореме сложения скоростей

V =Ve + Vr . Направление вектора абсолютной скорости, полученное по правилу сложения векторов, показано на рис. 3.5. Для определения величины абсолют-

ной скорости выбираем прямоугольные оси координат М1xy (см. рис. 3.7) и про-

ецируем обе части векторного равенства теоремы сложения скоростей на эти

68

янная величина. Так как значение второй производной S&&r положительно, век-

rτ

тор ускорения ar направлен по касательной к траектории относительного дви-

жения в точке М1 в сторону положительного направления относительного дви-

жения, отмеченного дуговой стрелкой Sr .

висит от времени.

Отрицательное значение производной ϕ&&e < 0 при условии, что расчетная величина угловой скорости положительна: ϕ& e > 0, означает, что вращательное движение замедленное и переносное угловое ускорение εe направлено в сторо-

ну, противоположную направлению вращения.

rτ

Вектор ae переносного касательного ускорения точки в её положении М1

перпендикулярен линии АМ1 и направлен противоположно вектору перенос-

ной скорости Ve (см. рис. 3.8). Модуль переносного касательного ускорения ра-

69