MetodTM_vse_spets_Ctat_Kin

Рис. 2.7. Задание К2. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 5 – 8, 15 – 18, 25 – 28

40

Окончание вариантов задания К2

Рис. 2.8. Задание К2. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Примеры выполнения задания К2.

Определение скоростей точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Задача 1. Плоский механизм (рис. 2.9) состоит из стержня ОС и подвиж-

сти диска 1 радиусом r1 . Диск 3, также увлекаемый стержнем ОС, катится без

41

проскальзывания по подвижному диску 2. В точке D, расположенной на краю диска 3, шарнирно прикреплен стержень 4, к которому в точке Е шарнирно прикреплен поршень Е, способный совершать только вертикальное перемеще-

ние. Для заданного положения механизма (см. рис 2.9), когда стержень ОС го-

ризонтален, стержень DE направлен по линии вертикального диаметра диска 3,

найти скорости точек A, C, D, Е, угловые скорости дисков 2, 3 и стержня 4, ес-

ли: r1 = 6 см, r2 = 4 см, r3 = 2 см, DE = 10 см, ωOC = 1 рад/с.

Решение

Определим скорость точки А, общей для стержня ОС и диска 2:

VA = ωOC (r1 + r2 )=10 см/с. Вектор скорости VA перпендикулярен стержню ОС и

Для того, чтобы найти угловую скорость диска 3, необходимо определить

положение его мгновенного центра скоростей. С этой целью вычислим скоро-

сти точек В и С. Скорость точки В может быть найдена через угловую скорость диска 2: VB = ω2 BP2 = 20 см/с. Вектор скорости VB перпендикулярен отрезку

BP2 и направлен в сторону мгновенного вращения диска 2 вокруг своего центра скоростей P2 .

42

Скорость точки С определяется через угловую скорость стержня ОС:

VC = ωOC (r1 + 2r2 + r3) = 16 см/с. Вектор скорости VC перпендикулярен стерж-

ню ОС и направлен в сторону его вращения (см. рис. 2.10).

Построение мгновенного центра скоростей P3 диска 3 по известным ско-

ростям VB и VC показано на рис 2.10. Его положение определяется из условия,

что отношение скоростей двух точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, равно отношению расстояний от этих точек до мгновенного центра

VB = r3 + CP3 . Разрешая пропорцию относительно неизвестной ве-

VC CP3

личины CP3 , получим: CP3 = 8 см. Скорость точки С выражается через угловую скорость диска 3 VC = w3 × CP3 . Отсюда величина угловой скорости диска 3:

w3 = VC = 2 рад/с. Направление мгновенного вращения диска 3 вокруг своего

CP3

центра скоростей определяется известными направлениями скоростей точек С и В, принадлежащих диску 3 (см. рис 2.10). Скорость точки D VD = w3 × DP3 =

= 2 × 22 + 82 = 16,5 см/с. Вектор скорости VD перпендикулярен отрезку DP3 и

направлен в сторону мгновенного вращения диска 3 вокруг центра P3 .

Для определения скорости поршня Е воспользуемся теоремой о проекци-

ях скоростей точек плоской фигуры, согласно которой проекции скоростей

двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны между

циях скоростей точек плоской фигуры имеем равенство: VDcosa = VE cos0, от-

куда скорость точки Е: VE =16 см/с.

43

Мгновенный центр скоростей стержня 4 – точка P4 – определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей VD и VE , восстанов-

ленных, соответственно, из точек D и Е (см. рис. 2.10). Угловая скорость стерж-

ня 4, совершающего мгновенный поворот вокруг своего центра скоростей, бу-

дет равна: ω4 = VE , где EP4 – расстояние от точки Е до мгновенного центра

EP4

скоростей звена 4, EP4 = DE × ctga = 40 см. В результате, w4 = 0,4 рад/с. На-

правление мгновенного вращения звена 4 вокруг своего центра скоростей опре-

деляется направлением скорости точки D.

Задача 2. В плоском стержневом механизме (рис. 2.11) кривошипы ОА и ЕD вращаются вокруг неподвижных центров О и Е. В крайней точке D криво-

шипа ЕD к нему прикреплён шатун DB, вто-

рой конец которого в точке В прикреплён к кривошипу ОА. Шатун АС прикреплён в точке

А к кривошипу АО, а другим своим концом – к ползуну С, способному совершать только вертикальное движение. Все соединения шар-

Рис. 2.11. Стержневой механизм нирные.

В заданном положении механизма кривошип ОА вертикален, шатун DB

расположен горизонтально, кривошип ЕD наклонен под углом 60° к горизонта-

ли, а шатун АС отклонён на угол 30° от вертикального положения кривошипа

АО. Найти скорости всех отмеченных на схеме точек и угловые скорости всех звеньев, если линейные размеры звеньев механизма АС = 6 см, АВ = 2 см,

ВО = 8 см, DB = 10 см и скорость ползуна в данный момент VC = 4 см/с.

Решение

Кривошипы ОА и ЕD совершают вращательные движения вокруг непод-

вижных центров, следовательно, скорости точек А и В VA и VB перпендикуляр-

44

45

2.6. Задание К3. Определение ускорений точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Для заданного положения плоского механизма определить ускорения то-

чек звеньев механизма и угловые ускорения звеньев. Варианты заданий приве-

дены на рис. 2.13 – 2.15. Исходные данные выбираются из таблиц, расположен-

ных вместе со схемами вариантов заданий.

Рис. 2.13. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 1 – 4, 11 – 14, 21 – 24

46

Продолжение вариантов задания К3

Рис. 2.14. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 5 – 8, 15 – 18, 25 – 28

47

Окончание вариантов задания К3

Рис. 2.15. Задание К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении. Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Примеры решения задания К3. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении

Задача 1. Ступенчатый барабан 1 с радиусами ступенек R = 0,5 м и r = 0,3

м катится окружностью малой ступеньки по горизонтальной поверхности без

48

Решение

Найдём угловые скорости ωAC , ω1 шатуна АС и барабана 1. Шатун со-

вершает плоское движение. Его мгновенный центр скоростей Р2 находится на пересечении перпендикуляров к скоростям VA и VC (рис. 2.17). По условию,

скорость точки С направлена вертикально вниз. Точка А принадлежит как ша-

при котором мгновенный центр скоростей находится в точке касания с поверх-

точки А при вращении шатуна АС вокруг полюса С. Вектор нормального уско-

aAC , модуль которого вычисляется по формуле aAC = eAC × AC , направлен пер-

49