7.4. Влияние структуры и передаточного коэффициента су на устойчивость

В предыдущих параграфах было показано, что устойчивость системы зависит как от вида характеристического уравнения системы, так и от конкретных числовых значений коэффициентов уравнения. Существуют системы, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно неустойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, только изменив её структуру.

Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, содержащую одно инерционное звено и два идеальных интегрирующих. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

(7.46)

оно не содержит слагаемое с р в первой степени. Очевидно, что в данном случае не выполняется необходимое условие устойчивости – условие положительности коэффициентов, и никакие вариации параметров k и Т₁ не могут привести к появлению слагаемого р в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустойчива.

У рассматриваемых ниже одноконтурных систем алгоритмическая структура однозначно характеризуется типом и числом элементарных динамических звеньев, образующих контур системы.

Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устойчивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устойчивость. К первой группе звеньев относятся следующие:

идеальное интегрирующее

(7.47)

неустойчивое статическое звено первого порядка

(7.48)

консервативное (идеальное колебательное)

(7.49)

Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются форсирующие звенья. Обычно применяют форсирующие звенья первого порядка

(7.50)

Отметим, что широко применяемый в промышленной автоматике пропорционально-интегральный закон регулирования соответствует последовательному соединению идеального интегрирующего звена и форсирующего звена первого порядка:

(7.51)

Поэтому влияние этого закона на устойчивость двоякое: при больших значениях коэффициента интегральной составляющей k_и устойчивость хуже, при больших значениях коэффициента k_п устойчивость лучше.

Рассмотрим о б щ и е у с л о в и я с т р у к т у р н о й у с т о й ч и в о с- ти о д н о к о н т у н о й с и с т е м ы . Характеристическое уравнение системы в общем случае имеет вид

(7.52)

где D(p)=Пd_i(p) – произведение знаменателей ПФ отдельных звеньев, входящих в контур системы; K(р) – произведение числителей этих же функций.

Условия структурной устойчивости зависят от общего порядка n характеристического уравнения (7.52) и от вида полиномов D(p) и K(p). В полином D(p) входят знаменатели «плохих» звеньев (7.47)-(7.49), а в полином K(p) - числители «хороших» - форсирующих звеньев (7.50). Обозначим q – количество идеальных интегрирующих (7.47), t – количество неустойчивых (7.48), r - количество консервативных звеньев (7.49), входящих в систему.

Если форсирующих звеньев в контуре нет, т. е. если K(p)=k (где k – общий ПК разомкнутого контура), то условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств:

(7.53)

Для более сложных видов полинома K(p) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе.

Рассмотрим в л и я н и е одного из основных параметров системы – ПК разомкнутого контура на её устойчивость. Учтём, что у одноконтурных систем коэффициент k входит в выражение АФХ W(jω) как множитель:

(7.54)

где K^*(jω)|_ω=0=1.

Это означает, что длины вектора W(jω) при всех значениях ω пропорциональны коэффициенту k. При увеличении коэффициента k АФХ расширяется (рис. 7.6,а) и приближается к критической точке (-1; j0). Следовательно, увеличение ПК разомкнутого контура приводит к нарушению устойчивости системы.

Это правило справедливо для большинства реальных систем, у которых АФХ имеет форму плавной спирали (см. рис. 7.6,а). Однако существуют системы, у которых АФХ имеет клювообразную форму (рис. 7.6,б). В таких системах к нарушению устойчивости может привести не только увеличение, но и уменьшение ПК.

Рис. 7.6. Определение предельного ПК

Значение ПК, при котором АФХ проходит через точку (-1; j0), называют предельным или критическим.

Таким образом, установлена одна из важнейших в ТАУ закономерностей: чем больше общий ПК разомкнутого контура системы регулирования, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.

Предельное значение ПК зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим, например, статическую систему, состоящую из трёх инерционных звеньев первого порядка с передаточными коэффициентами k₁, k₂, k₃ и постоянными времени Т₁, Т₂, Т₃. Характеристическое уравнение этой системы

(7.55)

где a₀ = T₁T₂T₃; a₁ = T₁T₂+T₁T₃+T₂T₃; a₂ = T₁+T₂+T₃; a₃ = 1+k₁k₂k₃ = 1+k. (7.56)

Согласно критерию Гурвица, система третьего порядка будет находиться на границе устойчивости, когда

(7.57)

Подставив в условие (7.57) коэффициенты (7.56), получим

(7.58)

Разрешив это равенство относительно k_пр и выполнив некоторые дополнительные преобразования (деление на a_n), получим выражение для предельного коэффициента

(7.59)

Анализируя зависимость (7.59), можно доказать, что предельный коэффициент тем больше, чем меньше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени (например, Т₁ и Т₂) и чем ближе третья постоянная времени Т₃ к среднеарифметическому значению двух первых.

На основании выражения (7.59) можно сформулировать важное практическое правило: предельное значение ПК системы зависит от соотношения постоянных времени и не зависит от их абсолютных значений.

Отметим, что приведённое правило справедливо для систем любого порядка.