7.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица можно сформулировать так: линейная СУ, описываемая характеристическим уравнением

(7.10)

устойчива, если положительны все n+1 коэффициентов a_i, и все n определителей _i вида

. (7.11)

Если хотя бы один из определителей (7.11), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Матрицы (7.11), по которым вычисляют определители Гурвица _i, составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до a_i (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место коэффициентов с индексами больше n или меньше нуля проставляют нули. При этом каждая i-я матрица получается квадратной размером ii.

Всегда главный определитель _n

(7.12)

Если главный определитель _n=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учётом выражения (7.12) это условие распадается на два

(7.13)

Условию _n=0 соответствует один нулевой корень, т. е. апериодическая граница устойчивости, а условию_n-1=0 – пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим ч а с т н ы е с л у ч а и к р и т е р и я Г у р в и ц а для

n=1; 2; 3; 4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

(7.14)

условие устойчивости

(7.15)

т. е. положительность коэффициентов уравнения является в данном случае необходимым и достаточным условием. Действительно, при единственный корень уравнения будет отрицательным:р₁=-(а₁/а₀)<0.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

(7.16)

условие устойчивости

(7.17)

Таким образом, и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

(7.18)

условие устойчивости

(7.19)

Последнее неравенство при а₃>0 эквивалентно неравенству ₂>0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется, чтобы ₂>0. Учитывая выражение для ₂, можно сформулировать следующее мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка: произведение средних коэффициентов уравнения должно быть больше произведения крайних.

Частота колебаний на границе устойчивости (₂=0)

(7.20)

4. Для уравнения четвёртого порядка (n=4)

(7.21)

кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

(7.22)

Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (7.22) обеспечивает выполнение и условия ₂>0.

Таким образом, для устойчивости систем не выше четвёртого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель _n-1 были положительны.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 вычисление определителей становится громоздким.

Пример.Определим с помощью критерия Гурвица, устойчива ли система управления частотой вращения вала двигателя (см. раздел 5.2) при следующих значениях параметров:

Т_м=1 с;Т_э=0,1 с;Т_г=0,5 с;k=k_уk_тпk_гk_дk_тг=14. (7.23)

Характеристическое уравнение системы

(7.24)

Приводя это уравнение к форме (7.18), получим значения коэффициентов:

(7.25)

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т. е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим, выполняется ли достаточное условие: вычислим определитель

(7.26)

он больше нуля, следовательно, система устойчива.

Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение общего ПК kдопустимо по условию устойчивости.

Максимально допустимое значение коэффициента kнайдём из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости

(7.27)

Отсюда

(7.28)

а максимально допустимое значение общего ПК

(7.29)

Условию нахождения системы на апериодической границе устойчивости (а₃=0) соответствует второе предельное значение передаточного коэффициента

(7.30)

Поясним физический смысл этого результата. Знак «минус» соответствует положительной обратной связи в главном контуре системы. Следовательно, рассматриваемая статическая система устойчива и при положительной обратной связи, но если общий передаточный коэффициент по модулю меньше единицы.

Отметим, что точность системы в режиме положительной обратной связи совершенно неудовлетворительна.