Ковалевский. Книжки по геостатистике / EAGE_Kovalevsky_SLTRU_2011_Geological_Modelling_on_the_Base_of_Geostatistics

Почему мы должны выбирать аппроксимирующую кривую только из списка так называемых моделей вариограмм и не можем предложить какую-то свою? Причина в том, что точки вариограммного облака, которые мы усредняем, не автономны, а имеют взаимную связь. Произвольная аппроксимирующая функция может потребовать наличия в вариограммном облаке точек с отрицательной ординатой (квадратом разности). В отношении функций, представленных на рис. 15 (и еще некоторых других) доказано, что такого противоречия быть не может (Chiles, Delfiner, 1999). Можно также использовать линейную комбинацию разрешенных моделей с положительными коэффициентами.

2.8. Параметры вариограммы: радиус, порог, эффект самородков, поведение вблизи нуля

После того, как мы подобрали модель к экспериментальной вариограмме, мы полагаем, что именно эта модель характеризует пространственную изменчивость случайной переменной Z(x). Рассмотрим модель экспериментальной вариограммы подробнее (рис. 16).

Рис. 16. Главные характеристики вариограммы: радиус R, порог C, эффект самородков С0 и крутизна вблизи начальной точки.

На что необходимо обратить внимание? Первое, на что мы смотрим – выходит ли экспериментальная вариограмма на «плато». Невыход вариограммы на плато означает, что поведение переменной Z(x) в границах исследуемого участка не является стационарным. Обычной причиной этого является наличие тренда. Тренд в поведении переменной необходимо выявить и исключить, иначе геостатистика неприменима.

Уровень плато C называют порогом вариограммы. Как следует из выражений (4), (6), порог вариограммы равен дисперсии значений Z(x).

27

Второе, на что мы смотрим – имеет ли вариограмма наклонный участок, или же она имеет вид «ступеньки». На показанной вариограмме (рис. 16) наклонный участок есть. Удаление h, на котором наклонный участок заканчивается и вариограмма выходит на плато, называют радиусом вариограммы R. Радиус вариограммы показывает расстояние, на котором значения переменной Z(x) становятся независимыми друг от друга.

Если наклонного участка нет и радиус вариограммы R равен нулю – то это случай неблагоприятный. Такую вариограмму называют вариограммой «белого шума». Она говорит о том, что значения случайной переменной даже в соседних точках никак не коррелируют друг с другом. Геостатистика прогнозировать значения такой переменной не может. Однако чаще всего дело обстоит так, что корреляция значений в соседних точках все-таки есть, но мы ее не видим изза недостаточной плотности данных. В этой ситуации мы должны найти способ повысить плотность данных, хотя бы только локально. Для расчета вариограммы локального уплотнения данных вполне достаточно (при условии статистической однородности Z(x)).

Если вариограмма имеет хорошо выраженный наклонный участок и последующее плато – геостатистика применима и результат мы получим. В этом случае имеет смысл обратить внимание на две другие особенности вариограммы – на эффект самородков и поведение вблизи нуля.

Эффектом самородков С0 называют уровень вариограммы при h равном нулю. Эффект самородков означает, что при стремлении расстояния между точками пар к нулю, вариация значений в этих точках стремится к некоторому ненулевому значению. Эффект самородков указывает на наличие в данных некоррелированного случайного шума.

И последнее – о поведении вариограммы вблизи нуля. Обратите внимание – модели вариограмм (рис. 15) отличаются друг от друга именно крутизной своих начальных участков. Эта особенность показывает, резкими или плавными являются изменения Z(x) на расстояниях много меньших радиуса вариограммы R. Вытекающие из этого различия в поведении Z(x) мы рассмотрим чуть позже.

Выше мы перечислили основные особенности вариограммы достаточно формально. По сути, мы их только назвали. Однако мы будем возвращаться к этим особенностям в разных ситуациях, и неоднократно.

2.9. Анизотропия вариограммы. Вариограмма в пространстве 3D

Мы только что рассмотрели расчет экспериментальной вариограммы по известным точечным данным на плане XY. Этими данными могли быть или значения пористости в скважинах, или отметки на скважинах глубины некоторой поверхности, и т.п. Рассчитав вариограмму, мы начинаем считать, что она описывает изменчивость случайной переменной Z(x) на всей области ее определения.

Но надо иметь в виду следующее обстоятельство. Истинная изменчивость переменной Z(x) может зависеть от направления. В ходе расчета вариограммы, который мы только что описали, учитывалась только длина отрезков между точками пар, но не направления этих отрезков. При таком подходе анизотропию Z(x) мы никогда не увидим. Поэтому полученный результат может быть ошибочным. Если есть основания предполагать наличие анизотропии, расчет вариограмм должен производиться раздельно по направлениям (с некоторой шириной диаграммы захвата, рис. 17). Как правило, на плане XY определяют только два направления – направление с

28

максимальным радиусом вариограммы, и (нормальное к нему) с минимальным. При малом количестве точек данных расчет вариограмм по направлениям может быть затруднен.

Рис. 17. Расчет экспериментальной вариограммы по выделенному направлению.

Что касается расчета вариограммы Z(x) в пространстве 3D, то очень частым является случай, когда мы делаем это на основании скважинных данных в координатах стратиграфической сетки (hi, hj, hk). При этом горизонтальная и вертикальная вариограмма рассчитываются раздельно – горизонтальная по точечным данным в каждом слое сетки, а вертикальная – вдоль траекторий вертикальных скважин (или после проектирования скважинных данных на вертикаль). Как правило, изменчивость геологической среды по вертикали примерно в сто раз выше изменчивости по горизонтали.

Допустим, при раздельном расчете горизонтальной и вертикальной вариограммы мы получили следующие результаты:

Горизонтальная вариограмма описывается сферической моделью с радиусом 1000 м и порогом

0.0025:

Вертикальная вариограмма описывается сферическая моделью с радиусом 1.6 м и порогом 0.0025:

Выше мы использовали традиционное обозначение для сферической вариограммы:

29

После этого мы можем представить вариограмму в пространстве 3D как сумму горизонтальной и вертикальной модели. Показанную анизотропию называют «геометрической».

2.10. Априорная модель случайной переменной

Итак, если разобраться, мы сделали уже довольно много. К двум известным характеристикам пространственной случайной переменной (среднему и дисперсии) мы добавили третью – вариограмму. В стационарном случае вариограмма имеет однозначную связь с ковариацией. Вариограмма (ковариация) характеризует изменчивость случайной переменной. Мы научились рассчитывать экспериментальную вариограмму. Мы твердо знаем, что опираться на среднее и дисперсию (и на вариограмму) мы можем только в стационарном случае. Мы также знаем критерии стационарности, основные причины нестационарности и как нестационарный случай свести к стационарному.

Двинемся дальше. Триаду – среднее, дисперсию и вариограмму (ковариацию) – называют априорной моделью случайной переменной. Зададим следующий вопрос – что определяет априорная модель сама по себе? Что мы знаем о случайной переменной, если, кроме априорной модели, никаких других данных о ней у нас нет.

Будем отвечать по порядку. Среднее значение определяет, что случайная переменная одинаково часто принимает значения больше или меньше указанной величины. Дисперсия определяет, насколько далеко случайная переменная может отклоняться от своего среднего. Вариограмма определяет, какова корреляция между значениями случайной переменной в соседних точках пространства. Или, другими словами, насколько резко меняются значения случайной переменной вокруг своего среднего и в коридоре, определяемом дисперсией. И все.

На рис. 18 показаны образы случайной переменной в пространстве 2D, соответствующие пяти разным априорным моделям. Средние значения и дисперсии во всех пяти случаях одинаковы, различаются только вариограммы.

30

Рис. 18. Реализации случайной переменной Z(x) в пространстве 2D. Средние значения и дисперсии значений Z(x) во всех пяти случаях совпадают, различия обусловлены только различиями вариограмм.

Первая из показанных картин соответствует вариограмме белого шума. Для геостатистики этот случай является предельно неблагоприятным. Но и встречается он, можно сказать, только в теории.

Следующие картины 2, 3, 4, 5 соответствуют вариограммам с одинаковым радиусом 1000 м. Можно видеть, что пространственный размер областей с повышенными и пониженными значениями Z(x) (красный и синий цвет соответственно) на всех этих картинах примерно одинаков и сопоставим с радиусом вариограмм.

Однако модели вариограмм различаются, и на картинах мы это хорошо видим. Сферическая и экспоненциальная вариограммы отходят от нуля круто – и мы наблюдаем, что переход от больших значений к малым на картинах 2 и 3 происходит достаточно резко. Кубическая же и еще в большей степени гауссовская вариограммы отходят от нуля плавно – соответственно, изменение значений случайной переменной на картинах 4 и 5 происходит плавно.

То есть, мы можем ответить на наш вопрос так. Априорная модель достаточно подробно описывает свойства значений случайной переменной, но не сами эти значения. Это означает, что каждой априорной модели может соответствовать бесконечное число образов, типа показанных на рис. 18. Отдельные же образы называют реализациями случайной переменной.

31

2.11. Суть геостатистики

Предположим теперь, что наряду с априорной моделью Z(x) мы имеем одну точку данных. То есть мы знаем, что в точке x0,y0 значение Z(x0,y0) равно Z0. Что изменится в этом случае? В этом случае из бесконечного числа реализаций мы должны оставить только те, которые в точке с координатой x0,y0 имеют значение Z0. Таких реализаций тоже будет бесконечно много. Как они будут выглядеть? Для модели белого шума ничего не изменится – мы просто не заметим, что все реализации в какой-то одной точке имеют одинаковое значение. Но вот реализации с гауссовской вариограммой будут иметь в точке x0,y0 не просто одно одинаковое значение, но и, в силу плавности изменения Z(x), некоторое одинаковое пятно, и это будет заметно.

А если у нас будет не одна, а большее число точек данных? Множество реализаций будет «зажато» во всех этих точках. В окрестности каждой такой точки все реализации будут иметь близкие значения. И если точек данных будет достаточно много, общие черты в реализациях будут преобладать. Разумеется, конкретное содержание понятия «много» зависит от соотношения размера области и радиуса вариограммы. Для вариограммы белого шума данных никогда не будет «много».

На рис. 19 показаны шесть реализаций Z(x), рассчитанных по гауссовской вариограмме и 20-ти точкам данных. Обратите внимание – точки данных расположены неравномерно. Наибольшее сходство между реализациями имеет место в области с максимальной плотностью данных, и наоборот.

Рис. 19. Гауссовская вариограмма с радиусом 1500 м. Набор реализаций случайной переменной Z(x), отвечающих известным значениям в 20 точках.

Вот в этом суть геостатистики. Вместо одной карты (кровли горизонта, пористости и т.п.), построенной на основании некоторого числа точечных данных, и которая ничего не говорит о

32

своей надежности, мы получаем бесконечное число так называемых реализаций, которые (первое) соответствуют экспериментальной вариограмме и (второе) воспроизводят значения в имеющихся точках данных. Все эти реализации равновероятны. Реальность, разумеется, у нас одна. Какая она, мы не знаем, но реализации показывают нам, какой она, по имеющимся данным, может быть.

По полученным реализациям мы сразу можем судить, насколько точным является наш прогноз в той или иной области. Там, где реализации отличаются друг от друга незначительно – прогноз точен, и наоборот. Кроме того, при помощи множества реализаций мы отвечаем на ряд очень важных вопросов, на которые детерминированное моделирование ответить в принципе не может. Какие это могут быть вопросы?

Например, нас интересует, связана ли локальная залежь «А» с основной частью месторождения, или она является изолированной (рис. 20)? Чтобы ответить на этот вопрос мы считаем 100 реализаций поверхности «кровля резервуара» и смотрим, как они располагаются относительно уровня ВНК. И видим, что 90 реализаций показывают локальную залежь как изолированную, и только 10 – как связанную. На основании этого расчета делаем вывод о том, что с вероятностью 90% локальная залежь «А» является изолированной. В показанном примере изменчивость реализаций кровли резервуара не очень велика потому, что наряду со скважинными данными при ее расчете используется еще и отражающая сейсмическая граница.

33

Рис. 20. Две реализации поверхности «кровля резервуара» вместе с детерминированной поверхностью ВНК. Вверху – локальная залежь «А» изолирована от основной части месторождения. Внизу – локальная залежь «А» соединена с основной частью месторождения.

Или второй вопрос – нас интересует, связаны ли коллекторские тела «А» и «В» (рис. 21)? Считаем 100 реализаций куба пористости и видим, что в 90 из них коллекторские тела связаны, а в 10 – не связаны. На основании этого расчета делаем вывод, что с вероятностью 90% коллекторские тела «А» и «В» связаны.

34

Рис. 21. Реализации куба пористости. Вверху – коллекторские тела «А» и «В» связаны. Внизу – тела «А» и «В» не связаны.

Обратите внимание – первый пример касается расчета структурного каркаса геологической модели (геостатистической интерполяции в пространстве 2D), а второй – прогноза ее свойств (геостатистической интерполяции в пространстве 3D).

И, наконец, самое главное – подсчет запасов. Построив 100 реализаций геологической модели на некоторой площади и подсчитав запасы нефти в каждой из них, мы получаем гистограмму запасов (красная кривая на рис. 22). Допустим, среднее значение запасов по 100 реализациям получилось 2380 тысяч тонн. Но в Государственной Комиссии по Запасам (ГКЗ) у нас примут не эту цифру, а меньшую, так называемую оценку P90 – 2280 тысяч тонн. Оценка P90 является более осторожной – она означает, что с вероятностью 90% мы получим больше, чем она указывает. По аналогии легко понять, какой смысл имеют оценки P10 и P50.

35

Рис. 22. Оценка неопределенности подсчета запасов.

Теперь представим, что мы построили на той же площади детерминированную модель, подсчитали в ней запасы и получили то же значение, что и среднее по геостатистическим реализациям – 2380 тысяч тонн. Разумеется, никто не будет рассматривать эту цифру как абсолютно точную. Оценку погрешности детерминированной модели производят экспертным путем. Анализируют, какова может быть ошибка при расчете мощности продуктивного горизонта, параметра NTG, пористости и нефтенасыщенности.

Но у экспертных оценок точности есть три недостатка. Первое – они не являются дифференцированными в пространстве. Очевидно, что эксперт не может оценить погрешность, например, пористости отдельно в каждом элементарном объеме модели – он дает одну оценку для всего пласта. Второе – эксперту трудно представить, как могут сочетаться погрешности одного параметра в разных точках пространства. И третье – еще более трудно представить, как могут сочетаться друг с другом погрешности разных параметров. Поступают достаточно просто – сначала повсеместно берут оптимистические значения всех параметров, а затем – пессимистические, и смотрят различия в запасах.

Для сравнения – при расчете геостатистических реализаций оценка точности параметров модели дифференцирована в пространстве. В частности, вблизи скважин погрешности параметров (различия реализаций) всегда значительно меньше, чем вдали от них. Далее – реализации показывают, как могут сочетаться погрешности (отклонения от средних значений) каждого параметра в пространстве. Что же касается погрешностей разных параметров, то при расчете геостатистических реализаций модели их возможные сочетания учитываются естественным путем (в отдельных случаях для исключения противоречий принимаются специальные меры). Отклонения одного и того же или разных параметров реализаций в ту или иную сторону от средних значений очень часто компенсируют друг друга. В результате действия трех названных

36