Ковалевский. Книжки по геостатистике / EAGE_Kovalevsky_SLTRU_2011_Geological_Modelling_on_the_Base_of_Geostatistics

Суть алгоритма стохастической инверсии состоит в том, что вместо решения обратной задачи мы много раз решаем прямую. Все шаги алгоритма показаны на рис. 71. Расчет начинается с того, что в кубе исследуемого пространства случайным образом выбирается некоторая вертикаль. С использованием разрезов импеданса по скважинам и вариограмм на выбранной вертикали рассчитывается набор реализаций импеданса (допустим, 20 реализаций). Далее, применяя формулу для коэффициента отражения от границы двух сред, по реализациям импеданса рассчитывают трассы коэффициентов отражений. Затем эти трассы сворачиваются с сейсмическим импульсом, в результате чего получаются 20 реализаций модельной трассы. Реализации модельной трассы сравниваются (по тому или иному критерию) с соответствующей реальной трассой, после чего из них выбирается наиболее близкая к реальной. Эта лучшая модельная трасса заносится в куб модельных трасс, а породивший ее вертикальный разрез импеданса помещается в куб прогнозных значений импеданса. Определенный таким образом разрез импеданса получает статус «разреза по скважине». Дальше выбирается следующая случайная вертикаль, на которой все повторяется с тем отличием, что при расчете на вертикали реализаций импеданса используется на одну скважину больше.

Рис. 71. Алгоритм стохастической сейсмической инверсии (пояснения в тексте).

После того, как мы обойдем все точки на плане XY, у нас будет куб модельных сейсмических трасс и куб импеданса. Горизонтальная непрерывность куба импеданса обеспечивается использованием горизонтальной вариограммы. Однако полученный куб импеданса мы не будем рассматривать как окончательный прогноз – мы будем рассматривать его лишь как первую реализацию куба импеданса. Затем мы точно так же рассчитаем вторую реализацию куба импеданса и т.д. Имея несколько реализаций, мы будем представлять степень неопределенности нашего прогноза.

107

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с горизонтальной вариограммой. При отходе от скважин вертикальные реализации импеданса получают большую свободу и их изменчивость возрастает. Увеличивая число этих реализаций (до ста и более), на удалении от скважин мы можем добиться сколь угодно высокой степени сходства между модельной и реальной сейсмикой. Но большого смысла в этом не будет. Почему? Дело вот в чем. Даже имея разрез импеданса по скважине (куда уж лучше), мы не можем точно воспроизвести зарегистрированную здесь же реальную сейсмическую трассу. Главная причина понятна – разрез импеданса на скважине определяется в другом частотном диапазоне и характеризует другой объем среды. Есть и дополнительные причины – мы не очень хорошо знаем форму сейсмического импульса, не учитываем ее изменение, не можем исключить влияние обрабатывающих процедур и т.д. Из этого вытекает, что при сейсмической инверсии не следует стремиться к точности воспроизведения сейсмики, более высокой, чем это возможно на скважине.

Пример стохастической сейсмической инверсии показан на рис. 72.

Рис. 72. Куб скоростей Vp и данные акустического каротажа Vp по скважинам. Слева результат детерминированной сейсмической инверсии, справа – одна из реализаций стохастической сейсмической инверсии (Кащеев, 2011).

108

8. Использование стохастических реализаций

8.1. Использование стохастических реализаций при прокладке траектории скважины

Сейчас мы приведем еще один довод в пользу того, что множество стохастических реализаций лучше одной детерминированной модели. Он касается случая, когда модель используется для прокладки траектории новой скважины. Вероятность того, что одна из множества реализаций окажется похожей на результаты бурения, несомненно выше.

На рис. 73 показан пример прокладки горизонтальной скважины с использованием трех реализаций модели резервуара.

Рис. 73. Прокладка траектории скважины с использованием трех реализаций модели резервуара (Ставинский и др., 2011).

109

Что мы видим на рис. 73? Сначала был произведен расчет большого числа реализаций модели и в каждой из них подсчитаны запасы. Распределение полученных величин позволило дать пессимистическую (P90), среднюю (P50) и оптимистическую (P10) оценку запасов. После этого из множества реализаций модели были выбраны три, собственные значения запасов которых находились вблизи оценок P90, P50 и P10. Выбранные реализации показаны на рис. 73. Цветовая палитра отображает параметр NTG, голубой цвет соответствует минимуму NTG. Корректирующая поправка к траектории скважины (выделена синим цветом) была рассчитана с учетом трех выбранных реализаций.

8.2. Использование стохастических реализаций для адаптации геологической модели к истории разработки

Геологическое моделирование многократно усложняется, когда мы ставим задачу адаптации модели к истории разработки. Почему адаптация модели к истории разработки так важна? Успешная адаптация свидетельствует о высоком качестве модели. Очевидно, что такую модель можно использовать для прогнозирования добычи и для опробования мероприятий, направленных на повышение эффективности добычи.

При работе с детерминированной моделью один из основных подходов к адаптации заключается в следующем. Рассчитываемые на гидродинамическом симуляторе показатели обводненения скважин подгоняются под фактические данные посредством изменения скин-факторов скважин. Данная процедура вовсе не лишена смысла – коррекция скин-факторов эквивалентна коррекции свойств резервуара (литологии, пористости, проницаемости) в некоторой окрестности скважины. Проблема лишь в том, что мы не видим этой коррекции резервуара – мы не видим, где и насколько мы увеличили или уменьшили качество коллектора. Соответственно, мы не можем построить карту остаточных запасов (Шелков, Богачев, 2010).

Стохастические реализации, в сравнении с детерминированной моделью, имеют в части решения задачи адаптации гораздо больший потенциал. Это очевидно – посредством реализаций мы как бы прощупываем геологическую среду. Самый простой способ адаптации – рассчитать на гидродинамическом симуляторе все реализации, после чего взять ту из них, характеристики которой ближе к реальным показателям. Но мы расскажем о гораздо более интересном и более сложном подходе к адаптации, основанном на использовании так называемого «множественного фильтра Калмана (Ensemble Kalman Filter, EnKF)». Наше изложение будет следовать работе Bianco et al., 2007.

Итак, прежде всего, вводится вектор-состояние модели yk,j

Здесь ms – статические параметры, значения в ячейках. Если у нас 20000 ячеек, то столбец ms будет включать 20000 значений пористости и 20000 значений проницаемости. Однако если считать, что между пористостью и проницаемостью имеется однозначная связь, то значения проницаемости можно не включать. Далее, md – динамические параметры в ячейках (насыщения и давления, плюс еще 40000 значений). Наконец d – характеристики дебита скважин (например,

110

коэффициенты обводнения, по числу скважин Nd). Индекс k есть индекс вектора состояния по времени, индекс j есть индекс реализации. Мы полагаем, что всего у нас есть Ne реализаций модели (допустим, Ne равно 100).

При помощи гидродинамического симулятора мы можем пересчитать состояние k-1 в состояние k (допустим, на 7 дней вперед):

Индекс «f» означает «прогноз», про индекс «u» мы скажем чуть позже.

Поскольку у нас много реализаций, мы можем сосчитать ковариационную матрицу Сfy,k (на каждое время k). Это ковариация элементов вектора состояния друг с другом (рис. 74):

j=1

Рис. 74. Ковариационная матрица Сfy,k . Пояснения в тексте.

Что можно сказать о показанной ковариационной матрице? На диагонали, как мы знаем, стоят дисперсии (значений в реализациях). Блок «А» показывает ковариацию статических параметров (пористости) в ячейках модели. Похожая матрица была у нас в разделе 3.2.1, но там шла речь о точках данных, здесь – о всех ячейках модели. Если расстояние между ячейками меньше радиуса вариограммы, соответствующий элемент матрицы C (блока «А») больше нуля, в противном случае – равен нулю.

Элементы блока «Б» показывают ковариацию статических и динамических параметров в ячейках модели. Элементы блока «B» показываютковариацию статических параметров в ячейках модели и

111

дебитов скважин. Элементы блока «Г» показывают ковариацию дебитов скважин. И так далее. Все элементы ковариационной матрицы (за исключением блока «A») связывают друг с другом значения пористости, давления и насыщения в ячейках модели и значения дебитов скважин. Это означает, что они являются аналогами уравнений гидродинамики. Но получили мы их исключительно за счет статистики, то есть за счет того, что у нас есть 100 реализаций вектора состояния.

На основании этих уравнений мы можем пересчитать отличия дебитов скважин в каждой реализации от реальных дебитов (разницу dk – d fk,j ) в поправки к вектору состояния той же реализации. Модельные дебиты скважин при этом притягиваются к реальным, но одновременно вносятся необходимые поправки в значения динамических и статических параметров ячеек. Ковариационная матрица обеспечивает корректность вносимых поправок. В частности, вариограмма значений пористости сохраняется.

Выражение для пересчета имеет вид:

Индекс «u» вектора состояния означает «исправленный». Матрица Cd, k есть ковариационная матрица размера Nd x Nd, ошибок измерения реальных дебитов. Если названные ошибки независимы, она является диагональной. Вспомогательная матрица Н имеет вид, показанный на рис. 75. Она позволяет вырезать из ковариационной матрицы Сfy, k и вектора y fk, j нужные фрагменты.

Рис. 75. Вспомогательная матрица H.

Расчет согласно выражениям (16) и (17) выполняется попеременно. Сначала мы делаем шаг по времени – при помощи гидродинамического симулятора пересчитываем вектор состояния на несколько дней вперед. Названный расчет выполняется для каждой реализации. Затем рассчитывается ковариационная матрица и с ее помощью вносятся необходимые (притягивающие модельные дебиты к реальным) поправки в вектор состояния каждой реализации. И так далее, по всему периоду разработки.

112

В статье, которую мы разбираем (Bianco et al., 2007), приводятся результаты опробования алгоритма на реальных данных. Они касаются площади, включающей 10 скважин, и имеющей историю разработки продолжительностью 1065 дней. На рис. 76 показаны кривые отношения газ/нефть по одной из скважин. Красные кривые представляют результаты гидродинамического расчета по исходным реализациям геологической модели, синие кривые – по уточненным. Всего использовалось 135 реализаций. Уточненными называются реализации, полученные на последнем шаге процесса адаптации (16) – (17). Можно видеть, что кривые, рассчитанные по уточненным реализациям, имеют меньший разброс и лучше соответствуют реальным данным.

Рис. 76. Отношение газ/нефть по скважине A1. Точки – реальные данные. Красные кривые – расчет по исходным реализациям резервуара. Синие кривые – расчет по уточненным реализациям резервуара. Bianco et al., 2007.

На рис. 77 показано стандартное отклонение пористости в одном из 10-ти слоев ячеек гидродинамической сетки. Вверху – расчет по множеству исходных реализаций. Минимумы стандартного отклонения – области синего и голубого цвета – соответствуют расположению скважин (серые точки; всего, как мы сказали, 10 скважин). Похожая карта была у нас на рис. 25 (справа). За пределами радиуса горизонтальной вариограммы (от скважин) стандартное отклонение достигает максимума. Внизу – расчет по уточненным реализациям. Можно видеть, что после уточнения реализации пористости стали ближе друг к другу. В одной из областей их сближение столь велико, что соответствует эффекту от бурения дополнительной скважины.

113

Рис. 77. Стандартное отклонение пористости в слое ячеек гидродинамической сетки. Вверху – расчет по исходным реализациям. Внизу – расчет по уточненным реализациям. Bianco et al., 2007.

Описанный пример вполне достоин того, чтобы закончить на нем нашу книгу. Но мы очень коротко упомянем еще одну статью. Она описывает международный проект-соревнование в сфере геологического и гидродинамического моделирования (Peters et al., 2009). Участникам проекта были предложены данные в отношении площади «Brugge». Они включали результаты разработки за первые 10 лет добычи (30 скважин, из них 10 нагнетательных и 20 добывающих), 104 стохастические реализации модели на гидродинамической сетке (60000 ячеек), а также давления и насыщения по данным 4D сейсмики.

И сама площадь «Brugge», и все данные в ее отношении были синтезированы искусственно. Исходная (скрытая от участников проекта) модель включала 20 миллионов ячеек. Задача, которую ставили организаторы соревнования, состояла в следующем. Требовалось, используя предоставленную историю разработки, уточнить исходные реализации модели и рассчитать оптимальную стратегию заводнения на 20 лет вперед. Предложенные стратегии проверялись на истинной модели, после чего победитель определялся по экономическим показателям (цена на нефть тоже была задана).

114

В таблице 2 перечислены участники проекта «Brugge» и методы адаптации модели к истории разработки, которые они применяли. Что мы хотим показать, помещая эту таблицу? Во-первых, мы хотим показать, кто сегодня является элитой в сфере геологического моделирования. Вовторых, мы хотим показать, что значительная часть участников проекта использовала подход к адаптации на основе множественного фильтра Калмана (который мы только что разобрали).

Табл. 2. Участники проекта «Brugge» и использованные ими методы адаптации модели к истории разработки (Peters et al., 2009).

Кто победил в проекте «Brugge»? Об этом вы при желании прочитаете сами. Скажу лишь то, что разница между наиболее успешной и наименее успешной стратегиями разработки (по итогам 20-ти лет, на одной площади с тремя десятками скважин) составила 0.4 миллиарда долларов. То есть мы видим, какова цена знаний по геостатистике.

115

Заключение и благодарности

Подведем, наконец, окончательные итоги. Разумеется, работа не свободна от недостатков. Крайне мал список литературы. Не упоминается имя основателя геостатистики Жоржа Матерона (и многие другие достойные имена). Некоторым описаниям не хватает математической строгости. Имеются пропуски. Отдельные вопросы изложены субъективно. Но мне самому, то, что получилось, (субъективно) нравится.

Что еще я могу сказать в этой связи? На все остальные претензии я отвечу афоризмом нашего директора А.С. Кашика: «Если я убеждаюсь, что чего-то не понимаю, я счастлив!»

У А.С. Кашика есть и второй афоризм: «Сделать за деньги не достижение, достижение – сделать без денег!» Этот второй афоризм нравится далеко не всем. Тем не менее, он многое определяет в атмосфере компании. Не думаю, что смог бы подготовить данную работу вне ЦГЭ. Хочу высказать свою благодарность за многолетнюю поддержку (иногда – просто эмоциональную, но очень часто – реальную) А.С. Кашику, Г.Н. Гогоненкову, С.Б. Денисову, С.И. Билибину, Т.Ф. Дьяконовой.

Основная часть примеров, показанных в данной книге, подготовлена в программной системе DVGeo. Многолетнее упорство ЦГЭ в разработке собственной системы геологического моделирования позволяет нам смотреть на мировых грандов (см. таблицу на предыдущей странице) не снизу-вверх, а как на коллег-соперников. Считаю необходимым назвать тех, кто делает систему DV-Geo. Руководитель разработки – М.В. Перепечкин, ответственная за разработку интерфейсов – Е.А. Духанова, главный тестировщик – И.А. Глобенко, разработчик геостатистического модуля – Д.И. Матросов. Я счастлив, что также являюсь членом этой группы.

Некоторые важные примеры, из числа показанных в книге, были заимствованы. Я благодарен Д.Е. Кащееву (ОАО «ЦГЭ») и П.В. Ставинскому (ОАО НК «Роснефть») за предоставленные материалы.

В ходе написания мне очень пригодился преподавательский опыт. Хочу поблагодарить С.Б. Турунтаева (МФТИ) и А.В. Петрова (РГГРУ) за возможность работы со студентами названных университетов.

И последнее. Я благодарен EAGE за предложение написать данную работу. Все сотрудники EAGE, с которыми я встречался и сотрудничал в этой связи (Питер Вервей, Ремко Бакс, Владимир Зуев, Юрий Петраченко) произвели на меня впечатление людей, реально осуществляющих интеграцию российских геологов и геофизиков в мировую научную среду.

116