Ковалевский. Книжки по геостатистике / EAGE_Kovalevsky_SLTRU_2011_Geological_Modelling_on_the_Base_of_Geostatistics

Рис. 36. Последовательный обход ячеек сетки по случайной траектории.

Алгоритм ПГСМ состоит в следующем. Мы последовательно обходим точки на сетке (те, в которых у нас нет значений) по случайной траектории. В каждой очередной точке мы рассчитываем значение кригинга и стандартное отклонение кригинга, используя для этого значения в известных точках (рис. 37а). Далее мы строим распределение Гаусса с центром, соответствующим полученному значению кригинга, и стандартным отклонением, равным полученному стандартному отклонению (рис. 37б). То есть мы определяем, какие значения и с какими вероятностями наш параметр может иметь в этой точке. Затем мы реализуем эти вероятности – случайным образом выбираем из этого распределения некоторое значение (рис. 37в). Вот это выбранное случайно значение мы и заносим в рассматриваемую точку

(рис. 37г). Помещенное в точку (в ячейку) значение присоединяется к числу известных данных, то есть получает статус «значение в скважине». После этого на сетке выбирается следующая случайная точка, которая не должна совпадать ни с одной из уже определенных. Для новой точки все повторяется, но с одним изменением – в расчете кригинга участвует уже на одну точку больше, чем на предыдущем шаге. После того, как мы заполняем значениями все ячейки сетки, расчет реализации считается завершенным.

67

Рис. 37. Расчет реализации методом ПГСМ: а – значение кригинга и удвоенного стандартного отклонения; б – распределение возможных значений; в – интегральное распределение, выборка при помощи случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1]; г – значение, определенное посредством случайной выборки.

Расчет следующей реализации начинается с того, что мы оставляет на плане (как и в начале предыдущего расчета) только истинные исходные значения. После этого мы выбираем новую случайную траекторию обхода точек. Понятно, что при повторном обходе новые значения во всех точках, кроме точек с исходными данными, будут отличаться от предыдущих. То есть, вторая реализация будет отличаться от первой. Всего, таким образом, мы должны рассчитать достаточно большое число реализаций, например 100. Чтобы представить, насколько сильно реализации могут отличаться друг от друга, достаточно рассчитать две.

Почему мы считаем, что вариограмма значений рассчитанных таким образом реализаций будет совпадать с вариограммой данных? Потому, что следуя описанному алгоритму, мы просто выбираем нужную нам реализацию из бесконечного числа, изначально соответствующих заданной вариограмме. Процесс этого выбора можно пояснить с помощью рис. 38. На исходной картине показаны реализации, проходящие через известные точки. Мы выбираем новую точку, определяем в ней значение кригинга и его стандартное отклонение σ, после чего случайным образом выбираем значение в новой точке и оставляет только те реализации, которые принимают в ней именно выбранное значение. Таких реализаций будет тоже бесконечное число, но отличаться друг от друга они будут уже меньше. Потом мы возьмем следующую точку, определим значение в ней и так до тех пор, пока различия между реализациями не станут бесконечно малыми.

68

Рис. 38. Расчет одной конкретной реализации можно представить как постепенное сужение исходного бесконечного множества реализаций, соответствующих вариограмме γ(h).

В заключение сделаем два замечания. Если мы рассчитываем реализации на сетке 100х100 узлов, то ближе к концу нам придется решать систему уравнений кригинга со многими тысячами точек данных (то есть со многими тысячами уравнений). В пространстве 3D число точек данных будет еще большим. Поэтому при расчете реализаций обязательно используется опция «скользящая окрестность» с ограничением по числу учитываемых (ближайших) точек. И второе. Если у нас есть дополнительные данные – карта или куб значений вспомогательной переменной и функция кросс-ковариации (кросс-вариограмма) основной и вспомогательной переменной, то мы можем рассчитывать реализации посредством решения системы уравнений совместного кокригинга (13). При этом отличия реализаций друг от друга будут меньше, и все они будут коррелировать с картой или кубом вспомогательной переменной.

5.2. Кригинг и стохастические реализации в пространстве 2D. Методика анализа качества интерполяции

На рис. 39 показаны две возможности интерполяции поверхности по одним и тем же точечным (скважинным) данным. Слева показан результат, полученный посредством кригинга, справа – одна из стохастических реализаций. Кригинг, по сравнению с реализацией, сильно сглажен. На рис. 40 показаны соответствующие гистограммы и вариограммы. Обратите внимание – гистограмма кригинга значительно уже гистограммы данных (дисперсия кригинга меньше дисперсии данных). Так и должно быть, поскольку кригинг увеличивает частоту средних значений. Вариограмма кригинга имеет больший радиус в сравнении с моделью вариограммы данных, то есть той вариограммой, по которой он сам рассчитан. И второе – порог у вариограммы кригинга значительно ниже порога вариограммы данных, поскольку порог равен дисперсии. Но, повторим, никакого противоречия здесь нет. Цель кригинга не в том, чтобы воспроизвести гистограмму и вариограмму исходных данных, а в том, чтобы обеспечить минимум вариаций. А вот гистограмма и вариограмма реализации воспроизводит (насколько это возможно) гистограмму и вариограмму данных (рис. 40). Потому мы и говорим, что именно реализации, а не кригинг, показывают нам реальную среду.

69

Рис. 39. Стратиграфическая поверхность, рассчитанная по отметкам на скважинах и данным сейсмики. Слева – интерполяция кригингом, справа – одна из реализаций.

Рис. 40. Слева: гистограмма невязок отметок на скважинах и сейсмической поверхности, гистограмма отклонений кригинга от сейсмической поверхности, гистограмма отклонений реализации от сейсмической поверхности. Справа: экспериментальная вариограмма невязок отметок на скважинах и сейсмической поверхности, вариограмма отклонений кригинга от сейсмической поверхности, вариограмма отклонений реализации от сейсмической поверхности. Светло-зеленая линия – сферическая модель вариограммы данных, по которой рассчитывался кригинг и реализации.

Данный расчет является важным примером в методическом плане. Результат любой интерполяции мы оцениваем по трем критериям. Первое – насколько хорошо на плане (или в объеме) воспроизводятся исходные точечные данные. Второе – насколько хорошо на плане (или в объеме) воспроизводится гистограмма точечных данных. И третье – насколько хорошо на плане (или в

70

объеме) воспроизводится вариограмма точечных данных. Рассчитанная реализация поверхности (рис. 39 справа) устраивает нас по всем трем критериям.

Замечание. При расчете гистограммы скважинных данных часто рекомендуют использовать опцию «декластеризация». Последняя означает, что данные каждой скважины следует брать с весовым коэффициентом, пропорциональным площади, приходящейся на соответствующую скважину. При этом скважины, удаленные от других, вносят в расчет гистограммы намного больший вклад. Мы не рекомендуем использовать названную опцию, поскольку она противоречит нашему базовому предположению о статистической однородности среды.

Описанную выше методику анализа качества интерполяции мы будем применять постоянно. И мы увидим, что так удачно (как в примере на рис. 40) все складывается далеко не всегда.

5.3. Исходные данные примера в пространстве 3D. Детерминированная интерполяция в пространстве 3D

Следующая наша задача – показать особенности геостатистической интерполяции в пространстве 3D. На протяжении нескольких параграфов (и даже глав) мы будем рассматривать один и тот же пример – фрагмент реальной площади в Западной Сибири, включающий 198 скважин (Ковалевский, Перепечкин, 2011). При этом, чтобы не отвлекаться от главного, мы будем обсуждать в этом примере только интерполяцию свойств, но не поверхностей. То есть, наше исходное состояние – мы имеем пространственную стратиграфическую сетку и значения скважинного параметра в ячейках, которые лежат на траекториях скважин. На основании этих данных мы будем рассчитывать значения параметра во всех ячейках нашей сети.

Какой скважинный параметр мы будем интерполировать? Мы будем интерполировать значения каротажного параметра APS (альфа-ПС). Параметр APS удобен для демонстрации методов интерполяции потому, что он имеется вдоль всей траектории скважины, в отличие от пористости, которая рассчитывается только в пределах коллектора.

Замечание. В названной постановке мы опускаем вопрос об осреднении каротажного параметра APS в пределах ячеек на траекториях скважин. Проблема осреднения в пределах ячеек существует, но останавливаться на ней мы не будем. На ошибку, ассоциированную с осреднением каротажного параметра в пределах ячеек, пока закроем глаза.

В разделе 3.7 мы уже упоминали о том, что существует (и широко применяется) множество методов интерполяции, не имеющих никакой связи с геостатистикой. На рис. 41 показан результат так называемой «весовой» интерполяции скважинных значений APS.

71

Рис. 41. Размещение скважин на площади, каротажные кривые APS и результат их «весовой» интерполяции в объеме среды. Куб интерполированных значений показан в условиях палеореконструкции. На вертикальном слайсе отмечены индексы стратиграфических горизонтов. Красный цвет палитры примерно соответствует песчаникам, зеленый – глинам.

Формально весовая интерполяция описывается выражением (15):

Здесь x0 – точка интерполяции в пространстве 3D, Z(xi) – значение параметра в точке данных xi, Ri – расстояние между точкой интерполяции x0 и точкой данных xi, n – число точек данных. Суть этой интерполяции проста – ближние точки влияют на интерполированное значение сильнее, дальние точки – слабее. В случае совпадения точки интерполяции с точкой данных (в пределе), вес последней устремляется в бесконечность, и результат интерполяции совпадает со значением именно в этой точке. При удалении точки интерполяции на бесконечность (в пределе), веса всех

72

точек становятся одинаковыми, и результат интерполяции совпадает со средним арифметическим. Можно также модифицировать решение – брать расстояния в степенях, отличных от двойки, ограничивать число влияющих точек, вводить регуляризацию (сглаживание), дополнительно учитывать анизотропию по направлению. Например, можно учесть анизотропию по вертикальному и горизонтальному направлению. Для этого расстояние R между точками следует представить как сумму (то есть корень из суммы квадратов) вертикальной и горизонтальной составляющих, и вертикальную составляющую, для повышения ее значимости, умножить на коэффициент анизотропии k. Допустим, k=100. Даже после названных усложнений весовая интерполяция остается простой и понятной.

Сделаем небольшое уточнение. Интерполяция, показанная на рис. 41, является не трехмерной, а «квазитрехмерной». Это означает, что она рассчитана посредством двухмерной интерполяции в каждом слое ячеек стратиграфической сетки. В нашем кубе таких слоев 170. Выбор квазитрехмерной интерполяции следует из характера исходных данных. Поскольку скважинные данные по вертикали являются «сплошными», их вертикальная интерполяция (пока мы не начали рассчитывать стохастические реализации) не нужна.

На первый взгляд полученное решение (рис. 41) выглядит вполне удовлетворительно. Оно точно воспроизводит исходные данные и разумно интерполирует их в межскважинном пространстве. В частности, мы сразу видим область повышенных значений APS в пределах горизонта AV3, предположительно – погребенное русло. Однако для более глубокой оценки результата интерполяции мы (следуя нашей методике) должны выполнить анализ гистограмм и вариограмм.

Гистограммы и вариограммы значений в кубе и в исходных скважинных данных показаны на рис. 42. Мы видим, что гистограмма исходных значений воспроизводится в кубе удовлетворительно. Вертикальная вариограмма данных воспроизводятся в кубе тоже удовлетворительно – это есть следствие квазитрехмерной интерполяции. Но горизонтальная вариограмма данных воспроизводится в кубе очень плохо. Радиус горизонтальной вариограммы в кубе 1600 м против 750 м у вариограммы скважинных данных. Из сравнения горизонтальных вариограмм можно сделать вывод о том, что весовая интерполяция неправильно воспроизводит (сильно сглаживает) горизонтальную изменчивость среды.

Рис. 42. Последовательно – гистограммы, горизонтальные вариограммы, вертикальные вариограммы. Красные линии – для исходных скважинных данных, серые линии – для значений в кубе после весовой интерполяции.

73

На что еще следует обратить внимание? Гистограмма скважинных значений APS явно негауссовская. Это говорит о том, что наша среда не является статистически однородной. Мы можем предположить, что она состоит из нескольких категорий пород, однако трудно сказать, из какого числа категорий – двух, трех или большего. Еще одна особенность – пороги горизонтальной и вертикальной вариограмм (прежде всего для скважин, но и в кубе тоже) сильно различаются. Это показывает, что дисперсия значений в слоях сетки меньше дисперсии значений вдоль вертикалей. Горизонтальные пласты более однородны по свойствам, чем вертикали.

5.4. Кригинг и стохастические реализации в пространстве 3D

Выше мы много говорили о том, когда можно применять геостатистику. Напомним, что условие, по сути, только одно – среда должна быть статистически однородной. Первый критерий статистической однородности – гистограмма свойств должна быть гауссовской. Второй критерий – вариограмма должна выходить на плато. Но что делать, если среда не является статистически однородной? Об этом мы тоже говорили. Если в среде есть области, различающиеся по статистическим свойствам (а горизонты AV1, AV2,..., AV5 явно различаются, см. рис. 41), то каждую такую область следует рассматривать отдельно. Если в среде присутствуют детерминированные особенности (а погребенное русло в пласте AV3 есть именно такая особенность), то они должны быть выделены и исключены. Если среда состоит из разных категорий пород (а у нас, судя по гистограмме, именно такой случай), то ее необходимо разделить на категории. Все названные требования просты и понятны. Проблема только в том, что выполнить их очень трудно.

Вместе с тем мы говорили, что, имея вариограмму, мы всегда можем формально рассчитать кригинг и стохастические реализации. Может быть, все не так страшно? К нашим экспериментальным вариограммам (горизонтальной и вертикальной) можно подобрать следующую комбинированную модель:

где

Exp(x) = 1− exp(x)

есть обозначение экспоненциальной модели вариограммы.

Рассчитаем кригинг скважинных данных, используя подобранную модель. Результат представлен на рис. 43. Гистограмма и вариограммы интерполированных значений показаны на рис. 44.

74

Рис. 43. Интерполяция кригингом скважинных значений APS.

Рис. 44. Последовательно – гистограммы, горизонтальные вариограммы, вертикальные вариограммы. Красные линии – для исходных скважинных данных, синие линии – для значений в кубе после кригинга.

75

Какие особенности имеет рассчитанная интерполяция кригингом? На горизонтальном сечении мы видим, что при отходе от точек данных на расстояние порядка радиуса вариограммы (у нас это 750 м), кригинг тянется к среднему. Именно об этом мы говорили в разделе 3.9. Увеличение доли средних значений (в сравнении с исходными данными и в сравнении с весовой интерполяцией) мы видим и на гистограмме. Увеличение числа средних значений понижает дисперсию значений, что отражается на порогах вариограмм. Главное же состоит в том, что горизонтальную изменчивость среды кригинг воспроизводит неправильно. Кригинг сглаживает горизонтальную изменчивость примерно так же, как и весовая интерполяция.

Теперь посмотрим на стохастическую реализацию (рис. 45), рассчитанную по той же вариограмме. Гистограмма и две вариограммы реализации показаны на рис. 46. Можно видеть, что стохастическая реализация хорошо воспроизводит экспериментальные вариограммы. Это очень важно – мы гораздо лучше, чем на рис. 41 и 43, воспроизводим горизонтальную изменчивость геологической среды. Но что касается гистограммы, то ее мы испортили окончательно. Никаких следов исходных «горбов» в интерполированном кубе не осталось. Распределение значений APS в нашей реализации превратилось почти в нормальное.

Почему это произошло? Геостатистика исходит из того, что моделируемая среда является статистически однородной, и что распределение значений в ней – нормальное. Его мы и получили. То, что гистограмма исходных точечных значений является двугорбой, для геостатистики значения не имеет. Из объема с нормальным распределением свойств можно выбрать точечные данные с каким угодно распределением.

Мы же, наоборот, считаем, что гистограмма исходных данных имеет значение, и что интерполяция в объеме среды должна ее воспроизводить. Поэтому результат с гауссовской гистограммой по объему нас не устраивает.

76