Ковалевский. Книжки по геостатистике / EAGE_Kovalevsky_SLTRU_2011_Geological_Modelling_on_the_Base_of_Geostatistics

Главными исходными данными при этом являются результаты сейсмических наблюдений по сети поисковых профилей. Основное внимание на данном этапе уделяется расчету скоростей сейсмических волн, суммированию и миграционным преобразованиям, поскольку именно эти процедуры определяют качество получаемых глубинных разрезов.

После того, как поисковая скважина, пробуренная в своде предполагаемой ловушки, подтверждает наличие в ней промышленных запасов нефти или газа, считается, что открытие месторождения состоялось. Дальше начинается разведочный этап. На этом этапе бурится группа разведочных скважин, а также, если это приемлемо по экономическим показателям, выполняются сейсморазведочные работы 3D. Область моделирования при этом еще более сокращается (до размера порядка десяти километров), поскольку охватывает уже только конкретное месторождение. Данную модель мы относим к третьему уровню иерархии. На этом уровне решаются задачи точной геометризации природного резервуара, определения уровней ВНК и ГНК, детального прогноза коллекторских свойств, подсчета запасов. Затем, уже в процессе разработки, в каждой пробуренной эксплуатационной скважине в обязательном порядке выполняются исследования методами ГИС, после чего в детальную геологическую модель резервуара вносятся необходимые уточнения.

Последний, четвертый уровень иерархии представляет геолого-технологическая модель, на базе которой ведется разработка месторождения. Геолого-технологическая модель создается на основе детальной геологической модели посредством пересчета последней на более крупную сетку.

Главная особенность геолого-технологической модели состоит в том, что она является динамической. То есть, в отличие от предыдущей (статической) модели, она включает еще и динамические параметры – давления и текущие насыщения в ячейках, дебиты скважин по воде, нефти и газу, объемы закачиваемой жидкости и т.д. Расчет динамических параметров модели производится при помощи специализированных программ – так называемых гидродинамических симуляторов. Отклонения расчетных динамических параметров на скважинах от реальных измеряемых значений указывают на необходимость коррекции исходной статической модели. Эту коррекцию называют адаптацией модели к истории разработки. Геолого-технологическую модель используют для прогноза и оптимизации процесса добычи многие годы, в течение всей жизни месторождения.

В ходе данного курса мы будем в основном говорить о моделях, относящихся к третьему уровню рассмотренной иерархии, то есть о детальных моделях природных резервуаров. Региональных моделей мы касаться не будем. Поисковые и гидродинамические модели мы будем рассматривать в отдельных, специально оговоренных случаях.

1.2. Этапы построения геологической модели

Как известно, модель природного резервуара строится в два этапа: на первом этапе создается геометрический каркас модели, выделяются пласты, строятся их кровли и подошвы, а затем, на втором этапе, прогнозируются свойства в объеме выделенных пластов.

Каркас детальной геологической модели создается на основании двух видов данных. Первое – это структурные поверхности, получаемые из 2D и 3D сейсмики. Очень часто это всего одна опорная отражающая поверхность, которая находится вблизи кровли резервуара, и еще, возможно, несколько субвертикальных поверхностей тектонических нарушений. Вторым видом данных при создании каркаса являются результаты детальной корреляции скважин по данным ГИС. По отметкам детальной корреляции на скважинах интерполируются стратиграфические поверхности,

7

причем в ходе этой интерполяции стараются учесть и рельеф опорного отражающего горизонта, и выделенные тектонические нарушения. Построенные стратиграфические поверхности и поверхности нарушений в совокупности составляют нужный нам каркас, или, другими словами, геометрическую модель. Главное назначение геометрической модели – на ее основе рассчитывается стратиграфическая сетка. На этом первый этап моделирования завершается.

На втором этапе геологического моделирования выполняется интерполяция скважинных данных о свойствах резервуара в межскважинное пространство. Эта интерполяция производится в координатах стратиграфической сетки. Почему? Поскольку стратиграфические поверхности в момент формирования осадочных пластов направлены горизонтально, изменчивость геологической среды вдоль них минимальна. Следовательно, интерполяция на стратиграфической сетке наиболее достоверна. Наряду со скважинными данными в ходе интерполяции свойств могут использоваться значения сейсмических атрибутов.

Выше мы описали не очень сложный процесс формального построения модели, основным содержанием которого являются процедуры интерполяции, сначала поверхностей, затем пространственных свойств. Но у этого процесса есть еще и вторая, неформальная сторона, которая его существенно усложняет. А именно, при построении модели необходимо помнить о том, что она должна соответствовать не только конкретным сейсмическим и скважинным данным, но и нашим знаниям о процессах формирования геологической среды.

Поэтому, уже на самом раннем этапе знакомства с данными, или даже просто на основании общих представлений о районе работ выдвигается гипотеза в отношении генезиса соответствующего геологического объекта. Далее, параллельно с созданием модели и включением в нее новых и новых данных эта гипотеза углубляется и уточняется. Зачем она нужна? Гипотеза в отношении генезиса геологического объекта нужна постольку, поскольку именно она представляет собой единственную объективную основу для интеграции и верификации самых разных видов данных. Действительно, что есть общего, например, у сейсмического разреза и у микрофотографий отшлифованного керна? Общим является то, что каждый из названных видов данных по-своему отображает один и тот же генезис геологического объекта – ту или иную древнюю обстановку осадконакопления, тектонический режим, постседиментационные процессы и т.д., и т.п. Если нам удается выработать гипотезу, которая подтверждает (и подтверждается!) всеми видами данных – на нашу модель можно положиться, и даже там, где данных недостаточно. И наоборот, пока правомерная гипотеза в отношении генезиса геологического объекта не выработана, модели у нас нет, и мы не можем доверять рассчитанным кубам свойств.

Каким образом мы включаем в модель представления о генезисе геологического объекта? Наиболее явными возможностями являются две. Первая возможность – это детальная корреляция скважин по данным ГИС. Отметки на скважинах в очень большой степени (а на разбуренных площадях – практически полностью) определяют стратиграфический каркас модели. Поэтому детальная корреляция скважин должна выполняться в связи с некоторой правомерной гипотезой в отношении типа и пространственного строения древней обстановки осадконакопления. Геостатистическая модель нуждается в качественной корреляции скважин ничуть не меньше традиционной детерминированной. Мы всегда будем исходить из того, что детальная корреляция скважин выполнена наилучшим образом. Но больше говорить о корреляции мы не будем.

Вторая возможность включить в модель наши представления о генезисе объекта – это интерполяция свойств в межскважинном пространстве. Получаемые в результате интерполяции пространственные распределения параметров должны соответствовать тем представлениям о генезисе геологического объекта, которые имеет геолог. Поскольку интерполировать данные

8

можно по-разному, возможность получить нужный результат всегда имеется. Вот об интерполяции мы будем говорить очень много.

1.3. Главная интрига геологического моделирования

Какие скважинные данные мы интерполируем в процессе построения геологической модели? Мы интерполируем литологию, пористость, проницаемость и насыщенность.

Здесь необходимо сделать одну оговорку. А именно, мы не имеем непосредственных значений литологии, пористости, проницаемости и насыщенности на подавляющем большинстве скважин. На основной части скважин мы имеем только данные ГИС – каротажные кривые различных геофизических методов. То есть, к интерполяции названных параметров мы сможем приступить лишь после того, как получим их значения на траекториях скважин в результате интерпретации данных ГИС.

Однако продолжим. Зададим следующий вопрос: зачем нам прогнозировать литологию, если для подсчета запасов и расчета фильтрации флюидов нам необходимы только пористость, проницаемость и насыщенность? Причина здесь в том, что мы не можем интерполировать пористость и другие параметры между скважинами напрямую. Почему? Чтобы ответить на это, рассмотрим следующий пример. Он включает гистограмму значений параметра альфа-ПС (нормализованного параметра ПС), рассчитанную по скважинным данным на некоторой площади, и гистограмму того же параметра после интерполяции скважинных данных в объеме среды

(рис. 1).

Рис. 1. Гистограммы значений параметра альфа-ПС. Красная кривая – по исходным скважинным данным, серая кривая – после интерполяции в объеме среды.

Обратите внимание, исходная гистограмма параметра по скважинным данным имеет двугорбый вид (красная кривая). Эта «двугорбость» указывает на то, что геологическая среда состоит из двух категорий пород – коллекторов с высокими значениями альфа-ПС и неколлекторов с низкими значениями. Пород с промежуточными значениями альфа-ПС немного. Среду такого типа называют категориальной. В некоторых случаях число категорий может быть больше двух.

9

Если интерполировать параметр между скважинами напрямую, то гистограмма значений пористости в объеме будет иметь вид, представленный на том же рисунке серой кривой. Поскольку скважины размещены на рассматриваемой площади равномерно (что мы увидим, когда будем рассматривать этот пример подробно), мы вправе ожидать сходства двух гистограмм. Однако никакого сходства нет – после интерполяции исходные явно выраженные максимумы распределения почти исчезают и бессмысленные промежуточные (по величине) значения альфаПС начинают преобладать. Очевидно, что такая интерполяция является ошибочной. То есть, мы видим, что непосредственно интерполировать скважинные данные в категориальной среде нельзя. Возможно, их вообще нельзя интерполировать. Это обстоятельство мы и называем главной интригой геологического моделирования.

Именно для исключения (насколько это возможно) показанной ошибки, до интерполяции этого или любого другого параметра производят разделение геологической среды на категории, то есть выполняют интерполяцию литологии. При этом чаще всего используют только две категории пород – коллектор и неколлектор. После названного разделения интерполяцию пористости производят обычно только в пределах коллектора. Такой подход позволяет лучше воспроизвести в объеме гистограмму скважинных данных (в той ее части, которая соответствует коллектору).

Однако в том, что мы исключаем из рассмотрения весь условный «неколлектор», ничего хорошего нет. Во-первых, мы сами себе создаем проблему порога. Попробуйте, например, выбрать пороговое значение для разделения среды на коллектор и неколлектор на гистограмме скважинных данных на рис. 1. Во-вторых, объем исключаемого неколлектора может быть очень велик, вследствие чего даже малая его пористость может иметь большое значение. Наконец, и это в-третьих, необходимо иметь в виду, что строгого обоснования интерполяция параметров в несвязной (или в многосвязной) области коллектора не имеет.

1.4. Детерминированная и геостатистическая модель

После широкого распространения геостатистики все предшествующее моделирование начали называть детерминированным. Зададим простой вопрос: «Почему, начиная с некоторого момента, детерминированное моделирование перестало нас устраивать?»

Рассмотрим в этой связи сечение куба литологии, который мы рассчитали для одной из детерминированных, как мы сейчас говорим, моделей (рис. 2). Этот куб точно соответствует имеющимся скважинным данным. Беда только в том, что его горизонтальная изменчивость в разбуренной части площади (левая половина сечения) резко отличается от той же самой изменчивости в неразбуренной части площади (правая половина сечения). Понятно, что такой особенности в реальной среде быть не может.

Из картины на рис. 2 можно сделать два вывода. Первый вывод (очевидный) состоит в том, что детерминированная интерполяция дает нам ложное представление о среде в правой части сечения, то есть там, где у нас недостаточная плотность данных. Второй вывод (менее очевидный) – левой половине мы тоже не можем доверять до тех пор, пока мы не определим, какова истинная изменчивость среды.

Так вот, детерминированное моделирование перестало нас устраивать ровно с того момента, как мы поняли, что оно не позволяет нам сначала определять, а затем воспроизводить в модели истинную пространственную изменчивость среды.

10

К каким негативным последствиям приводит детерминированное моделирование? К низкой точности прогноза? Нет, не только. Мы вообще не можем говорить о какой-либо точности прогноза на правой части сечения на рис. 2, когда картина принципиально неверна. Когда модель содержит столь очевидный изъян, наивно надеяться, что мы сумеем правильно подсчитать запасы, или, тем более, адаптировать ее к данным разработки.

Рис. 2. Сечение куба литологии детерминированной модели. Светлым тоном обозначен коллектор, темным – неколлектор. На врезке внизу – план размещения скважин и положение секущей плоскости.

Что вместо этого предлагает геостатистика? Единственного куба литологии, имеющего всюду истинную изменчивость (хотя бы как в левой части рис. 2) она дать не может, поскольку в неразбуренной части площади скважин как не было, так и нет. Но геостатистика может дать множество кубов литологии (так называемых реализаций), каждый из которых точно соответствует имеющимся скважинным данным (первое) и точно воспроизводит истинную изменчивость геологической среды (второе). Различия между этими реализациями (которые будут велики именно в правой части приведенного сечения) покажут нам неопределенность даваемого прогноза.

Но это еще не вся неопределенность. Говоря о реализациях куба литологии, мы забыли про его границы, то есть про кровлю и подошву резервуара. Недостатки детерминированной интерполяции границ на рис. 2 тоже видны – это разная изменчивость рельефа границ вблизи и вдали от скважин. Геостатистическая же интерполяция скважинных отметок даст нам

11

стратиграфические границы с истинной изменчивостью, но решение опять же будет неединственным. Вместо одной детерминированной границы мы получим множество реализаций этой границы. Соответственно, при расчете очередной реализации куба литологии мы должны будем использовать новую реализацию геометрических границ, то есть новую реализацию стратиграфической сетки. Точно так же мы должны будем действовать и дальше – применительно к каждой реализации куба литологии мы рассчитаем реализацию пористости, и потом, уже в связи с последней, реализацию проницаемости и насыщенности. В итоге, вместо одной детерминированной модели мы будем иметь достаточно большой набор ее реализаций (желательно несколько десятков), каждая из которых будет соответствовать скважинным данным и иметь истинную изменчивость структурных поверхностей и свойств.

Что мы будем делать с этими реализациями? Подсчитав запасы в каждой реализации, мы сможем подсчитать среднее значение запасов и среднеквадратичное отклонение от среднего. Последнее даст нам очень важную оценку – точность подсчета запасов. И второе, еще более главное – множество реализаций значительно расширит наши возможности в части адаптации модели к данным разработки. Об адаптации модели мы будем говорить в последней главе.

Вернемся теперь к вопросу об истинной изменчивости поверхностей и свойств. Как мы собираемся определять эту изменчивость, на глаз? Да, характер изменчивости виден на глаз (смотрите, например, на рис. 2), но формально изменчивость характеризуется посредством вариограммы. Что такое вариограмма, мы скоро узнаем.

Теперь, наконец, можно сказать, что такое геостатистика. Геостатистикой называют набор методов интерполяции точечных данных, позволяющих воспроизводить в пространстве их истинную изменчивость. Или, иначе, это набор методов интерполяции, основанных на использовании вариограмм. Геостатистической моделью называют такую модель, в которой при расчете структурных поверхностей и кубов свойств используются методы геостатистической интерполяции. Соответственно, геостатистическая модель представляет собой не единственную (детерминированную) модель, а набор равновероятных стохастических реализаций. Определение «стохастических» указывает на то, что при расчете реализаций в определенный момент мы будем использовать генератор случайных чисел.

Разумеется, реальный природный резервуар – он один. Но какой он – мы не знаем. Однако геостатистика показывает нам, каким он может быть, и каким он быть не может. Он может быть только таким, как одна из наших стохастических реализаций. И, наоборот, он не может иметь вид, который не входит в число наших стохастических реализаций. В частности, он не может быть таким, как детерминированная модель.

1.5. Обзор содержания курса

Как мы только что сказали, геостатистикой называют набор методов интерполяции точечных данных, основанных на использовании вариограмм. Это не совсем так, поскольку сегодня в геостатистику входит несколько новых методов, реализующих идею расчета стохастических реализаций на иных основаниях, без использования вариограмм. Тем не менее, свое изложение мы начнем с описания классической двухточечной геостатистики, основанной именно на вариограмме.

Первая после данного Введения глава курса (глава 2) называется «Ковариация и вариограмма». Понятие «ковариация» является в геостатистике основным. Достаточно понять, что такое

12

ковариация, как знание ковариации позволяет предсказывать поведение случайной переменной – и после этого можно считать себя геостатистиком. В стационарном случае ковариация имеет простую связь с вариограммой. После исходных определений мы рассмотрим, как рассчитывается экспериментальная вариограмма и какие модели используются для ее аппроксимации. Нам важно будет понять, какую информацию несет вариограмма сама по себе. С этой целью мы сравним образы случайной переменной, соответствующие разным моделям вариограмм. Обсуждая эти образы (которые и есть наши стохастические реализации) и их привязку к имеющимся точечным данным мы проясним суть геостатистики.

После этого, в главе 3, мы выясним, что же такое «кригинг», и как он связан со стохастическими реализациями случайной переменной. Кригинг является детерминированной интерполяцией (дающей единственное решение) точечных данных, основанной на использовании вариограммы. Рассматривая кригинг, мы восстановим истинную историю развития геостатистики, поскольку на самом деле идея кригинга на двадцать лет старше идеи расчета реализаций. Дальше в главе 3 мы выведем систему уравнений кригинга, рассмотрим его разновидности (простой, обыкновенный и универсальный кригинг), а также возможности кригинга в части фильтрации ошибок.

Вглаве 4 мы рассмотрим возможности кригинга в части учета, наряду с основными точечными данными, дополнительных пространственных данных – карт и кубов свойств. Если точечными данными в наших моделях являются скважинные данные, то дополнительными пространственными данными чаще всего являются данные сейсмики. Дополнительные пространственные данные могут учитываться тремя разными способами. Первое – как тренд. Второе – как дрейф. Третье – посредством использования их ковариации с данными скважин. Будет рассмотрена формальная основа и особенности каждого из трех подходов.

Вглаве 5, соблюдая историческую последовательность, мы перейдем от кригинга к стохастическим реализациям. Знание кригинга позволит нам рассмотреть основной алгоритм расчета реализаций – последовательное гауссовское стохастическое моделирование. Сам по себе названный алгоритм не сложен – сложным является обеспечение условий его корректного применения. Обеспечить названные условия мы можем при помощи двух процедур – или посредством разделения среды на категории пород при помощи индикаторного стохастического моделирования, или посредством формального преобразования данных «Normal Score». Будут рассмотрены обе названные возможности.

Материал, изложенный в главах 2-5, представляет собой логически связанный и математически строгий классический курс геостатистики. Однако использование классической геостатистики является допустимым лишь при выполнении весьма жесткого предварительного условия – моделируемая среда должна быть статистически однородной. Все детерминированные особенности среды (тренды, категории, аномальные области) должны быть предварительно выделены и исключены.

Проблема в том, что выполнить названное условие на практике очень сложно. Те же детерминированные особенности, которые не будут выделены, будут в реализациях стерты. Иначе и быть не может – геостатистика исходит из того, что детерминированных особенностей в среде нет. Именно поэтому распределения в пространстве категорий и свойств, получаемые посредством расчета стохастических реализаций, довольно часто кажутся геологу чересчур хаотичными.

Выход из названной ситуации нашли в том, что арсенал геостатистики дополнили двумя неклассическими (эвристическими) методами категориальной интерполяции, позволяющими геологу жестко контролировать пространственную форму монопородных тел. Первый из этих

13

методов – объектное моделирование. Второй метод – многоточечная геостатистика. Оба этих метода мы рассмотрим в главе 6. Идеи этих методов достаточно просты. Вариограмму они не используют.

Взаключительной части главы 6 мы рассмотрим подход под названием «Нечеткая геологическая модель». Нечеткая модель реализует категориальную интерполяцию количественных данных. Поскольку нечеткая модель работает с категориями, ее следует помещать рядом с индикаторным моделированием. Однако по решаемым задачам ее легче сравнивать с методом «Normal Score». Что мы и сделаем.

Вглаве 7 мы коротко рассмотрим относительно новый метод – стохастическую сейсмическую инверсию. Идея этого метода является блестящей, однако его реализация достаточно сложна. Тем не менее, количество успешных применений данного метода увеличивается.

Вглаве 8 (последней) мы сделаем самое интересное – попытаемся с помощью стохастических реализаций адаптировать геологическую модель к истории разработки. А именно, мы рассмотрим метод адаптации, известный под названием «множественный фильтр Калмана».

14

2. Ковариация и вариограмма

2.1. Как статистика появляется в геологии. Среднее значение и дисперсия

Как статистика появляется в геологии? Допустим, мы хотим определить значение пористости в некоторой точке на площади (в пределах некоторого горизонта). Если у нас есть образец из этой точки, то мы имеем совершенно определенное значение пористости P=15% (рис. 3 слева). Однако если у нас нет образца из этой точки, то мы можем сделать следующее: представить эту пористость как случайную переменную, и в качестве ее характеристики использовать функцию плотности вероятностей, рассчитанную по гистограмме пористости образцов Pi, взятых на этой площади в других местах (рис. 3 справа). Оценкой пористости в этом случае будет среднее значение случайной переменной mP = 15% и ее дисперсия σP, что намного лучше, чем ничего. Корень из дисперсии есть среднеквадратичное отклонение.

Среднее значение:

mP = E(P) = 1 ∑ Pi

N i=1,N

Дисперсия:

Рис. 3. Оценка пористости в неизвестной точке по гистограмме пористости на всей площади.

Выше мы впервые использовали термин «случайная переменная». Будем считать, что это такая переменная, которая принимает определенные значения с определенными вероятностями.

Необходимо иметь в виду, что, в отличие от среднего, дисперсия сильно зависит от локального осреднения данных. Допустим, мы рассчитываем среднее значение и дисперсию значений на некоторой карте (рис. 4). После локального осреднения (показаны значения мощности пласта на исходной сетке 1х1 и на укрупненных сетках с ячейками 5х5 и 10х10 от начальных) дисперсия значений уменьшается. Это называется эффектом основания. Вследствие эффекта основания

15

дисперсия пористости по керну всегда больше дисперсии пористости, выведенной по каротажу, а последняя, в свою очередь, всегда больше дисперсии пористости, выведенной из данных сейсмики.

Рис. 4. Дисперсия значений зависит от локального осреднения.

2.2. Стационарность

Зададим следующий вопрос: «Всегда ли мы, делая прогноз, можем полагаться на среднее и дисперсию?» Не всегда. Полагаться на среднее и дисперсию можно только тогда, когда случайная переменная ведет себя везде примерно одинаково. То есть так, как это показано на рис. 5. Такое поведение случайной переменной называется стационарным.

16