Nechepurenko_ФТИ

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ

701

n n

n p

dx

A x

C u

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ: задано

xT найти

T

u : x(T )

exp{(T

t) A}Cu(t)dt xT

0

T

1/ 2

u

u(t) u(t)dt

min

0

def

T

W (t) exp{(T

t) A}C

x(T )

W (t)u(t)dt

xT

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ

702

Ортогональны и сами элементарные управления и цели, к которым

они приводят. Более того, набор u(k ) , k 1,...,r; является

достаточным для рассматриваемой задачи управления при любом x

T

.

ТОЧНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ

704

r

r

1/ 2

2

2

u(t)

k

u(k ) (t) u (t),

u

2

u(k )

u

k

k

1

k

1

T

T

(W * (t)Uk )* u (t)dt Uk*

W (t)u (t)dt

0,

k

1,...,n

0

0

T

W (t)u (t)dt

0

0

T

T

r

r

W (t)u(t)dt W (t)

k

u(k )

dt

k

d U

UD

k k

0

0

k 1

k

1

U

U1,...,Ur

, D

diag(d1,...,dr )

T

min

W (t)u(t)dt

UU x

(I UU )x

(I

UU )x

u L2 (0,T )

T

T

T

2

0

2

D

U*xT

0

неустранимая погрешность

:

2

2

x

, (D , )

u

min

D U * x

T

2

0

T

2

ВЫЧИСЛЕНИЕ P

T

exp{tA}CC exp{tA }dt

T

0

Метод 1:

a) T

2r ,

P

exp{tA}CC exp{tA }dt,

E exp{ A}

0

b) P P E P E* , E

2

E E и т.д.

2

Метод 2:

Если Re

( A)

0,

то P X : AX XA

CC * и

P

P

E P E*

T

T

T

n n

n r

r

r

n

min d j

/ max d j tol( 10 15 )

r

PT

U

D

U *

j

j

U *U

Ir

ВЫЧИСЛЕНИЕ

:

D

2

2 , (D , ) min

k

arg( k ) yk

r

2

2

r

d

k

y

k

k

2

,

d

k

y2

min

2

k

k 1

k

1

r

r

2

2

L( y; )

d

k

y

2

d

k

y

k

k

2

k

2

k

1

k

1

dL

dL

|

|

r

|

|2

2

2

0,

0

y

k

, F ( )

k

0

dy

d

k

1 dk

k 1 (1 dk )

2

2

Уравнение

F (

)

0

решаем методом Ньютона, стартуя из точки

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

801

x

2 x

, 0

1, x(t,0) u (t), x(t,1)

u (t)

2

t

0

1

x(0,

)

0, задано xT ( ). Найти u0 , u1 :

x(T , )

xT ( )