Nechepurenko_ФТИ
.pdf
МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
109 |
Решение линейных систем: |
Ax |
b |
|
Ax |
x |
||||||||
Вычисление собственных значений и векторов: |
|||||||||||||
det( |
I A) 0 |
||||||||||||
A |
LU либо LL* , |
если |
A |
A* |
0 |
|
|
||||||
A |
QR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
U V * |
|
|
Q Q* , если |
A A* |
|
O(n3 ) |
||||||
A |
QSQ * либо A |
|
|
|
|||||||||
A |
QS |
A |
Z * , B |
QS |
B |
Z * |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Использование разложений: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ax b (QR)x b Rx Q*b |
|
|
||||||||||
|
|
|
(LU )x b Ly b, Ux y |
O(n2 ) |
|||||||||
|
(QSQ* )x |
x |
|
|
Sy |
y, y |
Q* x |
|
|
||||
|
МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
110 |
||
Трехдиагональная матрица: |
|
|
|
|
Ax b |
|
|
O(n) |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Ленточные
Блочно-ленточные матрицы (сжатие ленты, LU-разложение, быстрые прямые методы).
Разреженные общего вида (методы Арнольди, Ланцоша, Дэвидсона, CG, GMRES и т.п. с предобусловливателями на основе неполного LU разложения, мултигрида, ортогональных многочленов, SOR и т.п.).
МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
111 |
LINPACK, EISPACK 1960-1970-е LAPACK с конца 1980-х
детальная проработка алгоритмов, максимальный учет специфики матриц, BLAS
SPARSE_PACK с 1990-х MKL c конца 1990-х MATLAB с конца 1990-х
попытка освободить пользователя от необходимости думать как решается задача
B B* , A XBX *
ˆˆ*
вматлабе A A
A : ( A A* ) / 2
|
СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ |
112 |
||||
A U V * , UU * |
VV * |
I |
|
|
||
diag ( 1,..., |
n ), |
1 |
... |
n |
0 |
|
AV U |
Avi |
iui |
|
A*U V |
|
A*ui ivi |
•решение систем с прямоугольными и плохо обусловленными матрицами
•сжатие информации
•построение ортонормированных базисов
Алгоритм Голуба-Кахана |
|
ˆˆ ˆ |
* |
|
n |
|
|
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A V U |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S |
X * X , найти с.з. Пусть |
min |
/ |
max |
10 16 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
Q Q*, | ˆ |
j |
| |
n |
max |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||
X |
U V *, | ˆ j |
|
j | |
n |
max, |
|
|
2 |
|
ПРОЕКТОР |
113 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Cn m |
X * |
|
X |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rank P m |
P |
X |
|
X * |
|
|
|
|
|
|
y |
y|| |
|
y |
, |
|
y|| |
|
y X |
1 |
|
... |
y |
m |
X |
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
( y, X |
j |
) |
|
y |
j |
X |
j |
, X |
j |
|
|
y |
j |
X * y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||||
y|| |
|
y X |
1 |
... |
|
y |
m |
X |
m |
|
|
XX * y, |
y (I XX * ) y |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ |
201 |
( p, q, n)
|
dx |
|
A |
x |
|
C |
u |
|
|
|
|
|
|||||
B |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
n n |
|
n n |
n p |
|||||
u1
u |
|
– управление (вход) |
|
||
|
u p |
y1 |
– наблюдение (выход) |
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
– состояние |
|
|
|
yq |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
||
y |
|
O |
x |
|
|
|
|
|
q |
n |
|
rank C |
p |
rank O |
q |
n p, q
xn
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
202 |
• Выделение линейных фрагментов
Нелинейная
часть
u(t) |
|
dx |
|
|
|
B |
(t) Ax(t) Cu(t) |
||
y(t) |
dt |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
y(t) |
Ox(t) |
||
|
|
|
|
|
•Линеаризация относительно стационарного состояния в предположении малости управления
dx |
f (x, u) |
|
|
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt (t) |
Ax(t) Cu(t) |
|||
|
|
|
|
|||||
f (0,0) 0 |
f |
|
|
|
f |
(0,0)u |
||
|
f (x,u) |
|
(0,0)x |
|||||
|
x |
|
u |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
203 |
Некоторые приложения
•Анализ соединений в интегральных схемах
•Управление гидродинамическими течениями и ламинарно-турбулентным переходом
•Стабилизация летательных аппаратов
Задачи
•задано u(t), найти y(t)
•задано y(t), найти u(t)
•u(t)=0 и задано y(t) (t>0), найти x(0)
•задано x(0), найти оптимальное u(t) (t<0)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ |
204 |
|
Теорема 1. Если пучок sB-A – регулярный,
т.е. ker A ker B {0}, то найдутся невырожденные матрицы X , Y такие, что
|
sB |
A |
X |
sIn |
f |
S |
0 |
|
Y , nf |
ni |
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
sN |
In |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
(S) |
f |
|
def |
|
det(sB |
A) |
0 |
|
|
||
(B, A) s : |
– конечный спектр |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
– нильпотентная матрица: |
N l |
0, |
N l 1 |
0 |
0 |
|||||
l |
1 – индекс (бесконечного собственного значения) |
0 0 |
|||||||||
0 0 0
205
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(n3 ) |
|
|
|
|
sB A |
Q(sS B |
S A )Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det S |
( B ) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
( B) |
( A) |
|
( B) |
|
( A) |
|
det S |
( A) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
||||||
sS( B) |
S ( A) |
sS11 |
S11 |
sS12 |
S12 |
R |
|
|
( B ) |
|
|||
|
|
L |
0 |
|
sS |
( B) |
S |
( A) |
diag S |
0 |
|||
|
|
|
|
|
22 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
22 |
|
|
|
|
|
sS( B) |
S ( A) |
sS( B) |
S ( A) |
In |
M L |
sS( B) |
S ( A) |
|
0 |
In |
M R |
11 |
11 |
12 |
12 |
|
f |
11 |
11 |
|
|
|
f |
|
0 |
sS( B) |
S ( A) |
0 In |
|
0 |
sS( B) |
S ( A) |
0 In |
||
|
|
22 |
22 |
|
i |
|
|
22 |
22 |
|
i |
X
sS11( B) |
S11( A) |
|
0 |
sI n f |
S11( A) S11( B) 1 |
0 |
|
S11( B) |
0 |
|
0 |
sS 22( B) |
S22( A) |
|
0 |
sS 22( B) S22( A) 1 |
In |
0 |
S22( A) |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y