Nechepurenko_ФТИ
.pdf
КАНАЛ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ |
1003 |
|
|
v |
Jv |
|
Gp, Fv |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
0 |
0 |
|
/ |
x |
|
1 |
2 |
2 |
|
u |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J 0 |
L 0 |
G |
/ y L i W |
|
|
|
|
2 |
v v |
|||||
Re x2 |
|
y2 |
||||||||||||
Wx |
Wy |
L |
|
i |
|
|
|
w |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F |
/ x, / y, i |
|
Wx W / x Wy |
|
W / y. |
|
|||||||
y
1
Ненулевые граничные условия:
1 |
1 |
x |
u( 1, y,t) |
u ( y,t) |
v(x, 1,t) |
v (x,t) |
|
||||||
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
АППРОКСИМАЦИЯ |
1004 |
Аппроксимация методом коллокаций на Чебышевских сетках.
Координаты узлов по x |
и y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
для давления - корни |
1, , |
2q многочлена |
|
||||||
Чебышева U2qдля скорости – они же и |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
2q 2q |
|
|
|
|
|
|
|
p( x, y) |
p( x, y) |
|
k |
( x) |
l |
( y)p |
|
||
|
ˆ |
|
|
|
|
kl |
|||
|
|
k 1 l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2q |
2q |
|
|
|
|
|
|
v( x, y) |
v( x, y) |
|
|
k |
( x) |
|
l |
( y)v |
kl |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
k 1 l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
U2 q ( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
k |
( |
|
|
k )U2 q ( k ) |
k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
) ( ) |
|||||||||
|
|
|
|
( |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
( ) |
( |
2 |
1)U |
2q |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аппроксиманты подставляются в уравнения и требуется, что бы уравнения удовлетворялись во внутренних узлах сетки.
АППРОКСИМАЦИЯ |
1005 |
Аппроксимация методом коллокаций на смещенных сетках.
v pv p v p v p vp v |
|||
v pv p v p v p vp v |
|||
v pv p v p v p vp v |
|||
v v |
v |
v |
v v |
v ppv pp v pp v pp vppv |
|||
v v |
v |
v |
v v |
Координаты узлов по x и y : |
|
|
|
для давления - корни многочлена Лежандра |
L2q 1 |
||
для скорости – корни многочлена |
L2q 1 |
и |
1 |
Аппроксимация на лежандровских сетках обеспечивает эрмитовость сеточного оператора Лапласа и взаимную кососимметричность сеточных дивергенции и градиента.
Как в случае лежандровской, так и в случае чебышевской сетки, для вычисления производных элементарных (лагранжевых) многочленов в требуемых узлах сетки известны эффективные алгоритмы, реализованные в виде стандартных программ.
СИММЕТРИИ |
1006 |
|
Решение представимо в виде суммы следующих четырех попарно ортогональных функций, каждая из которых также является решением:
u, v, w, p u , v , w , p |
u , v , w , p |
|
|
u , v , w , p |
u , v , w , p |
В случае квадратного сечения второе и третье слагаемые каждое представимо в виде суммы двух попарно ортогональных решений. Например,
u , v , w , p |
u |
v |
, |
v u |
, w w , p |
p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
симметричные |
|
|
u |
v |
, |
v |
u , w |
w , p |
p |
|||
|
|
|
|
|
|
кососимметричные |
|
|
||||
def |
f (x, y) f ( x, y) |
|
f (x, y) f ( x, y) |
|
def |
|
f (x, y) |
|
|
|
f (x, y) |
f ( y, x) |
|
4 |
4 |
|||||
|
|
|
||||
1007
СИММЕТРИИ
Чебышевская сетка с числом внутренних узлов 58x58 приводит без
учета симметрий к nv |
10092, np |
3364, а с учетом симметрий к |
|
4 сеточным задачам с |
n 2523, n |
p |
841 |
|
v |
|
|
Лежандровская сетка с числом внутренних узлов 58x58 для скорости и 59x59 для давления приводит без учета симметрий к nv 10092
np 3481, а с учетом симметрий к
nv |
n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I :u u , v v , w w , p p |
||||||||
2523 |
870 |
|||||||||
IV :u |
u |
, v |
v |
, w |
w |
, p |
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2523 |
900 |
II :u |
u |
, v |
v |
, w |
w |
, p |
p |
|
|
|
III :u |
u |
, v |
v |
, w |
w |
, p |
p |
|
2523 |
841 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА |
1008 |
Аппроксимация
D dv J v G p C
dt |
v |
|
n n |
nv nv |
|
nv np nv |
n |
||
|
v v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
v |
Cp |
0 |
nv |
3np |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
np nv np n
Чебышевская |
без учета симметрии |
||
n nv |
np 7056 |
||
сетка |
|||
42х42 |
n |
168 |
|
|
v1 |
|
p1 |
|
v |
|
p |
|
|
|
v nv |
|
pn p |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
с учетом симметрий 2 системы каждая с
n nv np 1764 n
42
плюс 4 системы каждая с
n nv np 882 n 21
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
1009 |
|
ТЕОРЕМА 1. |
|
|
|
|
Пусть F и G полного ранга и матрица |
FD 1G невырожденная. |
|||
Тогда найдутся |
K, V , W , |
H такие, что |
||
|
v(t) |
K (t) Vx(t) |
|
|
где |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
x(t) exp{(t |
) H }W |
( |
)d |
|
|
t |
|
|
|
|
exp{(t |
|
) H }W ( |
)d exp{t H }V v(0) |
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|||
H |
x |
W |
|||
|
|
||||
dt |
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
n' nv np n / 2
n' n' n' n
1010
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗАДАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
v(t) 0, t 0, получить заданное v(T ) с симметрией (++,--,-+)
y
( y, t) - четная по y функция:
( y,t) 0, t 0, t T
x
|
|
|
|
Real{ ( y, t) exp(i z)} |
|
Метод коллокаций на чебышевской сетке 42x42 |
|||
Одна система с n |
nv np 1764 n |
21 |
||
|
T |
|
|
ТЕОРЕМА 1. |
|
|
|
|
|
x(T ) V *v(T ) |
exp{(T |
t) H }W (t)dt |
||
|
0 |
|
|
|
|
882 |
882 |
882 |
21 |
1011
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗАДАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
T |
T |
1/ 2 |
|
x(T ) exp{(T t) H }W (t)dt
(t) (t)dt |
min |
0 |
0 |
|
Точное решение, если оно существует, дает
|
(t) |
W exp{(T |
t) H } |
|
|
T |
|
: P |
x(T ) P |
exp{(T |
t) H }WW exp{(T t) H }dt |
|
|
0 |
|
Приближенное решение можно найти методом, описанным на слайде 707.
|
|
|
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ |
1012 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Re = 3000, |
α = 0.1 |
|
dx |
H x W |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
n |
882 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
882 |
|
|
|
(i |
) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Алгебраическая |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
~ (i |
|
|
|
|
k |
4 |
|
|
редукция |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(i ) |
) |
|
|
|
|
|
2 |
k |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
k2 2 |
dx |
~ ~ |
~ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
H x |
W |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~~ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Ox |
|
||
m 84
p |
21 |
q |
882 |