Group_theory_lecture

часовой стрелки;см.рис. 77)на некоторый угол

φ и всех отражений окружности

относительно произвольных осей проходящих через точку O.

Для начала рассмотрим подгруппу в O(2), а именно группу всех поворотов

окружности(без отражений),которая обозначается

SO(2)(=

lim Cn). При этом

мы имеем

n→∞

gφ gφ′ = gφ+φ′ , e = g0 , gφ−1 = g

−

φ .

(3.1.1) gphi

x′

= x cos φ

x

2

sin φ ,

′

′

1

1

−

(3.1.2)

xx

x2′

= x1 sin φ + x2 cos φ ,

(x1

, x2) = (x1, x2) · T (gφ),

где

T (gφ) =

.

cos φ

sin φ

(3.1.3)

tgphi

−sin φ cos φ

т.е.мы имеем( OA = OB = R – радиус окружности)

x1 = OA cos θ ,

x2 = OA sin θ ,

x′

= OB cos(θ + φ) = OA(cos θ cos φ

−

sin θ sin φ) = x cos φ

x sin φ ,

1

1

− 2

x2′

= OB sin(θ + φ) = OA(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = x1 sin φ + x2 cos φ ,

что эквивалентно(3.1.2).Т.о.,мы им еем двумерное матричное представление T

(3.1.3)для элементов gφ группы вращений SO(2):

T (gφ) T (gφ′) = T (gφ+φ′) , T (e) = I , T (gφ)−1 = T (g

φ) .

−

−1

0

, T (r)T (r)

T

(3.1.6)

T (r) = 0

1

= I .

reflo

Квадратичная форма(3.1.5)остается

инвариантной и при таком преобразовании

отражении.

Определение.

Группа SO(2) называется группой собственных двумерных -вра

щений,а ее расширение O(2) (включающее отражения)называется двумерной

ортогональной группой,или двумерной группой несобственных вращений.

Заметим,что

T (r)T (gφ) = T (g−φ)T (r), где , вообще говоря, мы имеем T (gφ) ̸=

T (g−φ) и,следовательно,в отличии от гр

уппы собственных вращений SO(2), груп-

па O(2) является неабелевой!

Двумерное представление абелевой группы SO(2) является приводимым.Дей-

ствительно,для комплексных координат

z = x1 + ix2 ,

z¯ = z = x1 − ix2 ,

(3.1.7)

zzb

(x1(φ), x2(φ)) = (x1 cos φ

−

x2 sin φ, x1 sin φ + x2 cos φ) = (x1, x2)

cos φ

sin φ

.

·

−sin φ

cos φ

(3.1.10)

xx2

При увеличении φ вектор вращается вокруг начала координат против часовой

стрелки.В результате дифференцирования(3.1.10)по

φ мы получаем дифферен-

циальные уравнения

d

(x1(φ), x2(φ)) = (x1, x2)

−sin φ

cos φ

= (x1(φ), x2(φ))

0

1

−1

0

dφ

·

−cos φ

−sin φ

Преобразования(3.1.10)полностью опре

деляются этими дифференциальными урав-

нениями и начальными условиями:

(x1(0), x2(0)) = (x1, x2). Далее мы имеем

dn

dn

(3.1.11)

(x1(φ), x2(φ)) = (x1(φ), x2(φ)) in

T (gφ) = T (gφ) in

eqiphi

dφn

dφn

и для малых углов φ мы получаем

T (gφ) = I + φ i +

2! i

+

3! i

+ O(φ

) ,

,

(3.1.12)

info2

i := *

01 0

+

φ2

2

φ3

3

4

1

−

T (gφ) =

cos φ

sin φ

= ei φ .

(3.1.13) ephi

−sin φ

cos φ

d

1

T (gφ)1

= i ,

(3.1.14) gen02

dφ

1

cos φ

sin φ

−sin φ

cos φ

= I cos φ + i sin φ = eiφ ,

с учетом свойства антисимметричности генератора i:

i = *−1 0 +

= *

1 −0 + = −i .

0 1

T

0 1

T

и экспоненциального представления(3

.1.13).Действительно,мы имеем

T (gφ)T (gφ)T = eφi ,eφi-T = eφ i eφ iT = eφ i e−φ i = I .

Все сказанное выше можно обобщить следующим образом.Если

gφ –преоб-

разование,зависящее от одного параметра

φ, удовлетворяющее gφ+φ′ = gφgφ′ и

Пример.

Рассмотрим произвольную антисимметричную 3 × 3 матрицу

A(φi) =

φ1

0

φ3

= φ1

1 0 0

+ φ2

0 0 0

+ φ3

0 0 1

=: φi ti

0 φ1

φ2

0 1 0

0 0 1

0

0 0

3

φ2

φ3 0

0 0 0

1 0 0

0

1 0

)i

−

−

−

−

− −

=1

Рассмотрим пространство F двумерных функций f (x1, x2) , отображающих точки

двумерной плоскости в вещественные(или

комплексные)числа.Это пространство

функций является бесконечномерным.Действие(3.1.10)группы

SO(2) на коорди-

наты двумерной плоскости индуцирует действие группы SO(2) на пространстве

функций F по правилу f (x1, x2) → f ′(x1, x2), где преобразованная функция имеет

вид

f ′(x1, x2) = gˆφ · f (x1, x2) = f (x1′′, x2′′) = f ((x1, x2)T (g−φ)) ≡ f (x1, x2, φ) , (3.1.15)

tranf

и определяется преобразованиями координат согласно(3.1.10):

(x′′, x′′) := (x ( φ), x ( φ)) = (x , x )T (g

−φ

) =

1

2

1

−

2 −

1

2

= (x1, x2) *sin φ −cos φ

(3.1.16)

xmp

+ = (x1 cos φ + x2 sin φ, −x1 sin φ + x2 cos φ) .

cos φ

sin φ

Иными словами,преобразованная функция

(поле),вычисленное в преобразован-

ной точке,дает то же самое значение,что и первоначальное поле,вычисленное в

исходной точке:

1

2

1 2

, где

1

2

1

2

. Вещественные

f ′(x′ , x′ ) = f (x , x )

(x′

, x′

) = (x (φ), x (φ))

(комплексные)функции

f (x1, x2), преобразующиеся по такому правилу, называ -

ются вещественными(комплекс

ными)скалярными полями.

Т.к.пространство функций

F бесконечномерно,то(3.1.15)определяет беско-

нечномерное представление группы SO(2). Инфинитезимальная форма преобра-

зования(3.1.15)имеет вид

,

-

f (x1, x2, φ) = 1 − φ · L12 + φ2 . . . f (x1, x2) ,

где оператор L12:

∂

L12 = x1 ∂x2 − x2 ∂x1

(∂xi :=

) ,

∂xi

и следует из равенства

∂

, x2, φ) = −L12 f (x1, x2, φ) .

(3.1.17)

inff

f (x1

∂φ

∂x1 f ′ = cos φ ∂x′′f ′

−

sin φ ∂x′′f ′ ,

∂x2 f ′ = sin φ ∂x′′f ′ + cos φ ∂x′′f ′ ,

(3.1.18) trd

1

2

1

2

∂φf ′ = (

x1 sin φ + x2 cos φ)∂x′′f′ + (

x1 cos φ

−

x2 sin φ)∂x′′f ′ .

−

1

−

2

Решение дифф.уравнения(3.1.17)можно записать в виде

gˆφ · f(x1, x2) = f(x1, x2, φ) = exp (−φ L12) · f (x1, x2) ,

где оператор gˆφ = exp (−φ L12) определяет бесконечномерное представление груп-

пы SO(2) на пространстве F .

Использование комплексных координат(3.1.7)значительно упрощает рассмот-

рение представлений группы SO(2). Для этих координат мы получаем

∂x1 = ∂z + ∂z¯ , ∂x2 = i(∂z − ∂z¯) , L12 = i (z ∂z − z¯∂z¯) ,

и уравнение(3.1.17)

переписывается в виде

∂φf (z, z,¯ φ ) = −i (z ∂z − z¯∂z¯) f (z, z,¯ φ )

f (z, z,¯ φ ) = e−iφ(z ∂z −z¯∂z¯)f (z, z,¯ 0) = f (e−iφz , eiφz,¯ 0) ,

где f (z, z,¯ φ ) := f(x1, x2, φ). В частности мы видим, что голоморфные поля f (z)

образуют инвариантные подпространства.Мономы вида

zn−kz¯n

( n) также об-

разуют инвариантные одномерные подпространства и преобразуются по правилу

(zn−kz¯n) → eikφ (zn−kz¯n). В полярных координатах

x1 = r sin θ ,

x2 = r cos θ ,

(3.1.19)

polyar

эти мономы имеют вид (zn−kz¯n) = r2n−ke−ikθ

и поле f (x1, x2) разлагается в ряд по

неприводимым представлениям SO(2):

∞

)

fn(r) einθ .

(3.1.20)

frphi

f (r sin θ, r cos θ) =

n=−∞

Пусть теперь поле f(z, z¯) удовлетворяет двумерному уравнению Клейна-Гор-

дона

,4 ∂z ∂z¯ = ∂x21 + ∂x22

- ,

,4 ∂z ∂z¯ + m2- f (z, z¯) = 0 ,

(3.1.21)

lapl

где m некоторая константа,независящая от

(z, z¯).

Если

f(z, z¯)

удовлетворяет

(3.1.21),то и преобразованное поле f(z, z,¯ φ ) (3.1.15)удовлетворяет(3.1.21),т.к.

при преобразованиях координат(3.1.16)мы имеем

∂z

→ eiφ∂z, ∂z¯ → e−iφ∂z¯ и,сле-

довательно,лапласиан ∂z ∂z¯ инвариантен относительно таких преобразований.Т. .

решения уравнения(3.1.21)образуют ин

вариантное подпространство в бесконеч-

номерном постранстве функций F и,т.о.,определяеют подпредставление группы

SO(2) в F . Это подпредставление нумеруется числом m.