Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

125

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

(во втором соотношении индексы ik и im переставлены местами).Из этих соотношений сразу следует равенство нулю всех компонент,у которых хотя бы2индекса совпадают и,соответственно,имеют место тождества

Ei1,i2,...,in = (−1)P (σ)Ej1,j2,...,jn

E i1,i2,...,in = (−1)P (σI ) ,

(2.6.4)

eeee

где P (σ), P (σI ) четности перестановок σ,σ I Sn

σ = j1

j3 . . . jn−1

σI =

1 2

3 . . .

n − 1

(2.6.5)

sigm0

i1 i2 i3 . . . in−1 in

i1 i2 i3 . . .

in−1

т.е. P (σ) = 0, если перестановка σ четная,и

P (σ) = 1, если перестановка σ нечет-

ная.

Итак,согласно(2.6.4)все ненулевые компоненты(которых очевидно

штук)

равны ±1 в зависимости от того, является перестановка

σI (2.6.5)четной или

нечетной.

Заметим,что формула(2.6.2)следует из

(2.6.1),а(2.6.3)из(2.6.2).Действи-

тельно,легко понять,что правая

часть(2.6.2)пропорциональна

Ej1,j2,...,jn , а ко -

эффициент пропорциональности det(A) следует из(2.6.1),если положить

jk = k.

Формула(2.6.3)следует из(2.6.2),если ее свернуть с

Ej1,j2,...,jn и воспользоваться

нормировкой:

Ei1,i2,...,in Ei1,i2,...,in =

(−1)P (σI )(−1)P (σI )

(2.6.6)

1 = n! .

normE

i ,i ,...,i

1 2)n

σI)

Определение детерминанта det(A) (2.6.1) – (2.6.3)с по

мощью антисимметрич-

ного тензора E ≡ ||Ei1,i2,...,in ||, данное выше, чрезвычайно удобно. Из этого опреде-

ления,например,мгновенно следуют соотношения

det(AB) = det(A) det(B) ,

(2.6.7)

detAB

det(A) = det(AT ) .

(2.6.8)

dets

Кроме того,пользуясь антисимметричным тензором

E, можно явно выписать ком-

поненты обратной матрицы A−1 = ||(a−1)ij||

(a−1)j1i1 =

(Ei1,i2,...,in ai2j2 · · ·ain jn Ej1,j2,...,jn ) .

(2.6.9)

detam

det(A) (n

−

1)!

j ,...,j

i2,...),i n=1

Формула(2.6.7)следует из цепочки равенств

Ei1,...,in (ab)i1 1 · · ·(ab)in n =

det(AB) =

Ei1,...,in (ai1 j1 bj1 1) · · ·(ain jn bjn n) =

,...,i

i ,...,i =1

1 )n

j1,...,jn=1

	n	Ei1,...,in (ai1 j1 · · ·ain jn )(bj1 1 · · ·bjn n) = det(A)			n	Ej1,...,jn (bj1 1 · · ·bjn n) =
=		Ei1,...,in (ai1 j1 · · ·ain jn )(bj1 1 · · ·bjn n) = det(A)				Ej1,...,jn (bj1 1 · · ·bjn n) =
i ,...,i =1			j1	,	...,j	=1
1	)n		j1	,	)n

j1,...,jn=1

= det(A) det(B) .

Формула(2.6.8)очевидно следует из(2.

6.3),

a (2.6.9)вытекает из соотношения

'i1 (a−1)j1i1 ai1j0 = δj1j0 , которое доказывается с учетом очевидного тождества для

частичной свертки антисимметричных тензоров

(Ej0,j2,...,jn Ej1,j2,...,jn ) = (n − 1)! δj1j0 .

(2.6.10) pasve

...,j

j2, )n

Равенства(2.6.6), (2.6.10)вытекают также из общего соотношения

δi1j1

δi1j2

. . .δ i1jn

. . . ..

i1,i2,...,in

j1,j2,...,jn

δi2j1

δi2j2

. . .δ

i2jn

= det

. . .δ

inj1

inj2

injn

которое следует из(2.6.1)если в качестве матрицы

A выбрать матрицу ∆ с ком -

понентами amk = ∆mk(σI , σJ ) = δim jk , где im, jk определяются перестановками σI

. . .

+ . Действительно из(2.6.1)мы получа-

(2.6.5)и σJ = * j1

. . . jn−1

ем

−

k1,k2

,...,kn

jm1 ...jmn

m1,...,mn

det(∆) =

,...,m

...,k

δ ik1 ...ikn

) =

)

, )n

)

P (σK )

σJ σM (1,...,n)

P (σM )

P (σK )

P (σJ−1

σI σK )

= n! σK ,σM (−1)

δσI σK (1,...,n)

(−1)

n! σK (−1)

(−1)

)

(−1)P (σK )+P (σJ )+P (σI )+P (σK ) = (−1)P (σI )+P (σJ ) = Ei1,i2,...,in Ej1,j2,...,jn ,

σK

jm1 ...jmn

jm1

jmn

и мы определили перестановки

где δ ik1 ...ikn

= δ ik1

· · ·δikn

. . . mn + .

σK = * k1

. . . kn +

, σM =

* m1

1 2 . . . n

2 . . .

Матрица A называется вырожденной, если det(A) = 0, и невырожденной, если det(A) ̸= 0.

Заметим,что преобразования транспонирования T , комплексного сопряженияи эрмитова сопряжения † матриц удовлетворяют условиям

(AT )T = A , (A ) = A , (A†)† = A ,

(A B)T = BT AT , (A B) = A B , (A B)† = B† A† .

Преобразования матриц с такими условиями называются(анти)инволюциями .

Определим функцию exp(A) от матрицы A в виде ряда: exp(A) = '∞ 1 An.

n=0 n!

Предложение. Пусть A - n × n матрица,тогда выполняется тождество:

det(eA) = eTr(A) . (2.6.11) expsp

Доказательство. Мы докажем эквивалентное утверждение( aij → taij )

det(etA) = etTr(A) ,

(2.6.12) expsp1

где t – параметр. Сначала проверим, что левая часть(2.6.12)удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению

∂t det(etA) = Tr(A) det(etA) ,

(2.6.13) expsp2

что и правая часть(2.6.12).Это уравнение следует из представления для детерминанта(2.6.3).Действительно положим B = etA, ∂tB = AB, тогда из (2.6.3) следует

(Ei1,i2,...,in bi1j1 bi2j2 ···bin jn Ej1,j2,...,jn ) =

∂t det(B) =

∂t

,j ,...,j =1

,i2),...,i n=1

j1,...,jn =1 Ei1,...,in ,(ab)i1j1 bi2j2 · · ·bin jn + . . . + bi1j1 · · ·bin−1jn−1 (ab)in jn -Ej1,...,jn =

i ,...),i =1

j2...jn

j1j3...jn

det(B)

= j1,...,jn =1 Ei1,...,in ,ai1j1 δi2...in

+ ai2j2 δi1i3...in + . . .-Ej1,...,jn

i ,...),i =1

−

1 1), n

Ei1,i2...,in (ai1j1 ) Ej1,i2,...,in

det(B)

,i ...,i

(n 1)!

= (2.6.10) = Tr(A) det(B) ,

j2...jn

. Равенство(2.6.12)выполняется тождествен-

где мы положили δi2...in

:= δi2

· · ·δin

но,т.к.обе части(2.6.12)удовлетвор

яют одному и тому же дифференциально-

му уравнению первого порядка(2.6.13)

и имеют одинаковые начальные условия

det(etA)|t=0 = 1 = etTr(A)|t=0 .

Замечание.

Положим B = eA, тогда равенство(2.6.11)представляется в виде

det(B) = exp(Tr(ln B)) .

(2.6.14) espln

Заметим,что для матриц B, которые с помощью некоторой матрицы V преобразованием подобия B → V BV −1 = D сводятся к диагональной матрице D = diag(d1, d2, . . . , dn), утверждение(2.6.14)становится очевидным, т . к . для левой части имеем

det(B) = det(V −1DV ) = det(D) = d1 · · ·dn ,

а для правой

exp(Tr(ln B)) = exp(Tr(V −1(ln D)V )) = exp(Tr(ln D)) = exp(ln(di)) = d1 · · ·dn .

Подчеркнем,однако,что далеко не вс е матрицы приводятся к диагональному виду с помощью преобразования подобия.

Далее нам понадобятся следующие типы матриц

1. Матрица S симметрична, если

S = ST ;

эта матрица обладает зеркальной симметрией Z2 при ее отражении относительно главной диагонали;

2. Матрица A антисимметрична, если

A = −AT ;

соответственно мы имеем det(A) = det(−I) det(AT ) = (−1)n det(A), т . е . в нечетномерном случае матрица A всегда вырождена: det(A) = −det(A) = 0;

3. Матрица H эрмитова, если

H= H† ;

исоответственно det(H) = det(H) , т . еdet(. H) R. 4. Матрица O ортогональна, если

O · OT = I ;

т.о.,мы имеем det(O)2 = 1, или det(O) = ±1.

5. Матрица U унитарна, если

U · U† = I ;

и det(U) det(U) = 1;

6. Четно-мерная матрица V называется симплектической, если

V · C · V T = C ,

где C некоторая невырожденная антисимметричная матрица C = −CT ; при этом мы имеем det(V )2 = 1.

Приведенные в пунктах1.) – 6.)соотношения на детерминанты следуют из тож-

дества(2.6.8).

2.Матричные группы и группы линейных преобразований.Группы

GL(n), SL(n), U(n), O(n) и Sp(2n).
Определение. Векторным(линейным)пространством		V называется множе-
ство объектов(векторов) x, y, . . ., которые можно умножать на числа α,β, . . .
и складывать друг с другом,и при это м результат будет снова объектом из V:
αx + βy = z V .			(2.6.15) vect11
Векторное пространство V называется n-мерным,если в		V существуют n ли-
нейно независимых векторов ei (i = 1, 2, . . . , n) таких,что		x V имеет место
разложение x = 'i xiei. Числа {xi} называются координатами вектора x:
x = (x1, x2, . . . , xn) .
Координаты xi7 могут быть вещественными числами(пространство			V веще-
ственное)или комплексными числами(пространство	V комплексное).

Соотношение(2.6.15)в коор динатах записывается в виде

(αx1 + βy1, α x2 + βy2, . . . ,α xn + βyn) = z .

Определение. Группа с невырожденными матрицами в качестве элементов и матричным умножением в качестве группового умножения называется -мат ричной группой.

Любая n × n матрица T = ||tij|| определяет линейное преобразование в n-мерном векторном пространстве V:

x = (x	, x , . . . , x )		→	x	′ = (x′	, x′	, . . . , x′	) :	(2.6.16) preobr
1	2	n	→		1	2	n		(2.6.16) preobr
	xj′ =	'i=1 xi tij , x ′ = x T .
		n

Т.о.,матричной группе соответствует гр уппа линейных преобразований в пространстве V. Все невырожденные линейные преобразования n-мерного векторного пространства V над полем K образуют группу GL(n, K) (группу инвариантности

7Координаты xi могут принадлежать любому числовому полю K.

пространства V),т.е.группа	GL(n, K)		это группа всех невырожденных матриц
(n × n) с коэффициентами из K.
Определение. Функция f(x, y) от двух векторов пространства V называет-
ся билинейной формой,если
f (αx + βz, y) = αf (x, y) + βf (z, y) , f(x,αy + βz) = αf (x, y) + βf (x, z) .
Билинейная форма f (x, y) невырождена,если из условия f (x, y)				= 0, y V,
следует x = 0.
Рассмотрим3важных примера матричных групп.Для этого определим на ком-
плексном пространстве V три специальные невырожденные билинейные формы:
симметричную (x, y) = (y, x), антисимметричную (x, Cy) = −(y, Cx) и эрмитову
x, y = y, x :			n
			j)	(2.6.17)	2form1
	(x, y) =		xj yj ,	(2.6.17)	2form1
			=1
	n
	)	xj Cjk yk (CT = −C) ,		(2.6.18)	2form2
(x, Cy) =		xj Cjk yk (CT = −C) ,		(2.6.18)	2form2
	j,k=1
			n
	x, y =		j)	(2.6.19)
	x, y =		xj yj .	(2.6.19)	2form3
			=1
Т.к.нечетно-мерная антисимметричная матрица C всегда вырождена(соответ-
ственно будет вырождена и форма (x, Cy)),то мы будем рассматривать в случае
антисимметричных форм только четномерные пространства.
Преобразования(2.6.16),оставляю		щие инвариантными симметричную (x, y),
антисимметричную (x, Cy) и эрмитову x, y формы,будут реализовываться со-
ответственно ортогональными T = O, симплектическими T = V и унитарными
T = U матрицами.Действительно,ра			ссмотрим для примера симплектические
преобразования векторов x ′	= x V ,	y ′	= y V . Соответствующее преобразование

антисимметричной квадратичной формы имеет вид

(x, Cy) −→

(x′, Cy′) =	n		xkVkj Cjl ymVml =	n	xk Vkj Cjl V T	ym =
	=1			j,k,m=1	lm
n	'j,k,m T		n	'
'k,m=1 xk (V C V		)km ym = 'm=1 xk Ckmym = (x, Cy) ,

т.е.в случае симплектических преобразований:	V C V T = C, антисимметричная
форма (x, Cy) не меняется.Аналогично рассмат	риваются случаи ортогональных

и унитарных преобразований для симметричных и эрмитовых форм,соответственно.

Итак,ортогональные,симплектичес кие и унитарные преобразования являются преобразованиями симметрии соответствующих билинейных форм(2.6.17) – (2.6.19)Отсюда следует,что совокупности ортогональных O(n), симплектических Sp(n) (n- четное ) и унитарных U(n) матриц должны образовывать группы -от носительно матричного умножения.Групп овое свойство следует из того,что два последовательных преобразования из одного и того же класса матриц сохраняют величину соответствующей билинейной формы. Групповое свойство можно проверить и непосредственно.Например,есл и мы имеем две симплектические матрицы

V1 и V2:

V1 C V1T = C , V2 C V2T = C ,

то и их произведение V1V2 будет симплектической матрицей:

V1V2 C (V1V2)T = V1V2 C V2T V1T = V1 C V1T = C .

Аналогичную проверку можно легко сделать и для ортогональных и унитарных матриц.

Все матричные группы O(n), Sp(n) и U(n) – бесконечномерны( т . к . мы имеем дело с бесконечным числом матриц соответствующего класса)и являются подгруппами в общей группе GL(n) всех линейных невырожденных преобразований T (2.6.16)в n-мерном векторном пространстве V. Если мы ограничимся только специальными матричными преобразованиями T GL(n), такими что det(T ) = 1, то мы очевидно выделим из группы GL(n) специальную матричную подгруппу SL(n) (название происходит от английских слов"special linear"),которая так-

же бесконечномерна.Аналогично,н алагая дополнительные условия det(O) = 1 и det(U) = 1 на элементы групп O(n) и U(n), мы выделяем из этих групп подгруппы,

которые обозначаются SO(n) и SU(n), соответственно.
									a	b
Пример. Рассмотрим группу симплектических матриц V = * c d + в двумерном
										0	1
пространстве с симплектической формой,задаваемой матрицей										C = * 1	−0 +.
Условие симплектичности V · C · V T = C принимает вид								−0	+	det(V ) = 1
*	1 −0	+ = * c d	+ *	1 −0	+ * b d	+ = * ad	bc	−0	+	det(V ) = 1
	0 1	a b		0 1	a c	0	bc	ad
						−
Т.е.,единственное условие,которое след						ует из симплектичности произвольной 2×2

матрицы V , это det(V ) = 1. Но это же условие выделяет подгруппу SL(2) из группы всех невырожденных матриц 2 × 2. Т . о ., в двумерном случае, мы установили

изоморфизм матричных групп Sp(2) SL(2).

2.7Лекция7.Матричные представления групп.Характер представления.Прямое произведение и прямая сумма представлений.Приводимые и неприводимые представления.Леммы Шура.

1.Матричные представления групп.Точные и неточные представления.
Матричное представление T группы G есть гомоморфизм ρ = T : G → Γ группы
G в матричную группу Γ. Другими словами представление T группы G определяет
матричную группу Γ, на которую гомоморфно отображена группа G. Каждому
элементу g группы G поставлена в соответствие матрица T (g) =			\|\|tij(g)\|\| Γ
таким образом,что
T (g−1) = (T (g))−'1	,	T (e) = I .	(2.7.1)	pred
T (g1)T (g2) = T (g1g2) ←→	k tik(g1)tkj(g2) = tij (g1g2)
Представление T называется n-мерным если T (g) ( g G) являются n ×n матри-
цами,и эти матрицы определяют линейные преобразования в n-мерном векторном
пространстве Vn. Пространство Vn, в котором действует Γ, называется простран-
ством представления.
Представление T группы G называется точным, если T (G) = Γ изоморфна G,
т.е.имеется взаимно однозначное соответствие между элементами			Γ и G. Пред -
ставление будет неточным, если более чем один элемент группы G представляется
одной и той же матрицей из Γ.
Пусть представление T группы G не точное и пусть H = Ker(T ) – ядро гомо-
T
морфизма G → Γ. Тогда T будет точным представлением факторгруппы G/H.
Пример. Гомоморфное отображение T группы D5 в группу чисел Γ = {1, −1}
такое,что
T (gm) = 1 , T (rgm) = −1 ( gm C5 D5) ,
есть одномерное неточное представление.Действительно, Ker(T ) = C5 – нетриви-
ально,и как мы знаем D5/C5 = C2. В тоже время гомоморфизм C2 → Γ = {1, −1},
задаваемый T , есть точное представление группы C2.
2.Эквивалентные представления.
Пусть Vn – n-мерное векторное пространство и линейное преобразование T
переводит вектор x Vn в вектор y Vn:
y = T · x yi		= xj Tji ,	(2.7.2)	prT

где {xi}, {yj} – координаты векторов x, y в базисе {ei}. Сделаем линейное преобразование базиса в пространстве Vn с помощью невырожденной матрицы A = ||aij||:ei ′ = 'j aij ej. При этом координаты двух векторов x и y преобразуются согласно правилам xj = 'i x′iaij, yj = 'i yi′aij, что следует из цепочки равенств

x = xj ej = x′iei ′ = x′iaij ej ,

(в дальнейшем мы будем придерживаться соглашения, что по повторяющимся индексам идет суммирование).Тогда матрица T линейного преобразования(2.7.2),

переводящего в , трансформируется в матрицу ˜ −1, переводящую эти

x y T = AT A

же вектора,но представл	енные в новых координатах
′	′	′	′	−1	′	˜
yj = xi Tij yk akj = xk aki Tij		ym	= xk aki Tij ajm		= xk	Tkm .

Пусть представление T группы G в Γ реализовано матрицами T (g) = ||tij(g)||g G. Тогда матрицы( записанные в новой системе координат)

˜	−1	)mj		˜	−1	,	(2.7.3) podob
tij (g) = aiktkm(g)(a		)mj		T (g) = A T (g) A		,	(2.7.3) podob
			˜	группы G, которое называется
реализуют новое матричное представление T				группы G, которое называется
						˜	снова яв-
представлением эквивалентным T . Тот факт, что новое представление T							снова яв-

ляется гомоморфизмом в матричную группу Γ (т.е.действительно является представлением)следует из простого рассуждения:

˜ ˜ ˜

T (g1)T (g2) = AT (g1)A−1 AT (g2)A−1 = AT (g1)T (g2)A−1 = AT (g1 g2)A−1 = T (g1 g2) .

3.Характер представления.

Для эквивалентных представлений и ˜ мы имеем тождество для следов

T T

˜	−1	) = T r(T (g)) ( g G) .	(2.7.4) tsp
T r(T (g)) = T r(A T (g) A

Определим функцию на группе G, зависящую от T ,

χT (g) := T r(T (g)) ( g G) ,

которая называется характером представления T . Из (2.7.4)очевидно следует, что

для эквивалентных представлений T и T их характеры совпадают χ						/	= χT . Кро -
		1				/
						T
ме того,элементы	g1	и	g2	из одного и	того же класса сопряженнос(ти.е.		g	G
ме того,элементы		и		из одного и	/

такой,что g1 = gg2g− ) имеют одно и тоже значение характера χT (g1) = χT (g2) и

χT (e) = n, где n – размерность представления T , а e – единичный элемент в G.

4.Прямое произведение и прямая сумма представлений.

Рассмотрим два матричных представления T (1) и T (2) группы G, одно из ко-

торых является n-мерным,а второе m- мерным . Для элементов g G эти пред-

ставления реализуются матрицами T (1)(g) = ||tik(1)(g)||,

T (2)(g) = ||tab(2)(g)|| (i, j =

1, . . . , n, a, b = 1, . . . , m).Матрицы

T (1)(g),

T (2)(g) определяют линейные преобра-

зования векторов x = (x1, . . . , xn) Vn и y = (y1, . . . , ym) Vm

xk′ = xi tik(1)(g) ,

yb′

= ya tab(2)(g)

x ′

= x T (1)(g) ,

y ′ = y T (2)(g) .

(2.7.5)

Построим из двух векторов x и y новый (n ×m)-мерный вектор z Vnm (который

обозначается z = x y) с (n × m) координатами

zia = (x y)ia = xi · ya

= z = (x1y, x2y, . . . xny) =

(2.7.6)

prvect

= (x1y1, x1y2, . . . , x1ym; x2y1, . . . , x2ym; . . . ; xny1, . . . , xnym) .

Матричное преобразование этого n × m-мерного вектора определяется согласно

преобразованиям(2.7.5)

xk′ · yb′ = xi · ya tik(1)(g) tab(2)(g)

(x y)kb′

= (x y)ia

,T (1)(g) T (2)(g)-ia,kb ,

Композитная n · m × n · m матрица

T (3)(g) := T (1)(g) T (2)(g) = || ,T (1)(g) T (2)(g)-ia,kb || = ||tik(1)(g) tab(2)(g)|| ,

которая в соответствии с расстановкой координат(2.7.6)записывается в блочном

n × n виде

t11(1)(g)tab(2)(g),

. . . , t1(1)n (g)tab(2)(g)

(3)

t21(1)(g)tab(2)(g),

. . .

, t2(1)n (g)tab(2)(g)

(g) =

. . .

tn1 (g)tab (g), . . . , tnn (g)tab (g)

(1)

(2)

(1)

(2)

определяет новое представление T

(3)

= T

(1)

(2)

группы G,

которое называется

прямым произведением представлений T (1) и T (2). Заметим, что у матрицы T (3)(g) матричные индексы становятся двойными: ia и kb. Свойство гомоморфизма для такого представления следует из гомоморфности отображений T (1), T (2) и его лег-

ко проверить(для простоты вычислений мы

пользуемся безиндексной формой

записи)

T (3)(g1)

T (3)(g2) =

T (1)(g1)

T (2)

)

T (1)(g2)

T (2)(g2) =

= T

(1)

(g1)T

(1)·

(2) ,

(2)

(1)1

(2)

-(3)

(g1g2)

(g2) T

(g1)T

(g2) = T

(g1g2) T

(g1g2) = T

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015709.13 Кб21Groups-3.pdf
#
03.06.2015914.03 Кб55Groups-4.pdf
#
03.06.2015628.28 Кб40Groups-5.pdf
#
03.06.2015678.55 Кб18Groups-6.pdf
#
03.06.2015694.85 Кб18Groups-7.pdf
#
03.06.20152.02 Mб125Group_theory_lecture.pdf
#
27.03.20164.86 Mб58Handbook of Applied Cryptography.pdf
#
27.03.201624.13 Mб189Holpzaphel_-_Nonlinear-Solid-Mechanics-a-Contin.pdf
#
16.11.20181.1 Mб10homework_chemestry.doc
#
03.06.201512.95 Mб12Horizontal_Launch_-_a_Versatile_Concept.pdf
#
04.11.20183.45 Mб3HTM_CorticalLearningAlgorithms.doc