Groups-5

5Структурная теория алгебр Ли

5.1Основные определения

Определение22 Векторное пространство g (возможно бесконечно-мерное)имеющее дополнительную операцию

[ , ] : g g 3 (x, y) [x, y] 2 g,

которая называется скобкой,является алгеброй Ли если эта операция удовлетворяет следующим свойствам

1.билинейности,то есть скобка линейна по каждому аргументу;

2.кососимметричности: [x, y] = −[y, x];

3.тождество Якоби: [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

Если размерность векторного пространства g равна n, то будем говорить , чтоg является n-мерной алгеброй Ли.

Скобка [x, y] называется коммутатором элементов x и y.Пусть g содержит подмножества A, B g, тогда подмножество элементов из g вида {[x, y]; x 2 A, y 2 B} будем обозначать [A, B].

Определение23 Пусть g – алгебра Ли , и пустьp, i – векторные подпространства в g.

1.Если p удовлетворяет условию,что [p, p] p, то есть пространство p само становится алгеброй Ли(со скобкой индуцированной скобкой в g),то в таком случае, p называется подалгеброй Ли в g.

2.Если i удовлетворяет условию [i, g] i, то множество i называется идеалом в алгебре g.

Сама алгебра g и 0- мерное векторное подпространство{0} состоящее из одного0называются тривиальными идеалами в g.Если i есть идеал алгебры g, фактор - пространство g/i превращается в алгебру Ли при помощи скобки

[¯x, y¯] = [x, y]

57

где x¯, y¯ принадлежат g/i, а x, y 2 g их представители в g.Эта алгебра Ли называется фактор-алгебра Ли.В частности,

z := {x 2 g; [x, g] = 0}

есть идеал алгебры g.Подмножество элементов z называют центром алгебры g.Если z = {0} то говорят,что алгебра g не имеет центра.

Определение24 Линейное отображение ' : g ! g0 алгебры g в алгебру g0, удовлетво - ряющее соотношению

'([x, y]) = ['(x), '(y)]

для всех элементов x, y 2 g называется гомоморфизмом этих алгебр Ли.Более того, если это отображение взаимно-однозначное,то ' называется изоморфизмом алгебр.

Определение25 В частности , еслиg = g0, то гомоморфизм и изоморфизм алгебры самой в себя называется эндоморфизм и автоморфизм,соответственно.

Если ' : g ! g0 есть гомоморфизм алгебр Ли,тогда множество

Ker(') := {x 2 g; '(x) = 0}

является идеалом в g, и отображение ' индуцирует гомоморфизм алгебр Ли

'¯ : g/Ker(') ! g0

Для набора алгебр Ли g1, . . . , gn,их прямая сумма как векторных пространств

g = g1 · · · gn = {(x1, . . . , xn); xi 2 gi}

становится алгеброй Ли со скобкой

[(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)] = ([x1, y1], . . . , [xn, yn]).

Алгебра g называется прямой суммой алгебр g1, . . . , gn. В этом случае , каждая алгебраgi становится идеалом при вложении

i

'i : gi 3 x (0, . . . , x, . . . , 0) 2 g

58

Определение26 1. Алгебра g называется простой алгебры Ли если ее размер больше чем1 7 и она не имеет ни одного нетривиального идеала .

2.Конечная прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли.

3.Алгебра g называется редуктивной алгеброй Ли если она есть прямая сумма своего центра и полупростой алгебры Ли.

Пример. Алгебра Ли образованная 2n + 1 элементами u1, . . . , un, v1, . . . , vn, z

[ui, vj ] = δij z, [g, z] = 0

называется 2n + 1-мерной алгеброй Гейзенберга. Cz есть центр этой алгебры.

5.2Представления алгебр Ли

Пусть V пространство конечной размерности и элементы e1, . . . , en 2 V образуют базис в этом пространстве . Тогда каждому линейному преобразованию этого пространстваf 2 End(V ) можно поставить в соответствии матрицу по правилу

и отображение

End(V ) 3 f (aij )i,j=1,...,n 2 gl(n, C)

является изоморфизмом алгебр Ли.

Определение27 Пусть g – алгебра Ли , аV векторное пространство.Обозначим : g ! End(V ) гомоморфизм алгебр Ли.Пара ( , V ) называется представлением алгебры g в пространстве V , а само пространство V называется пространством представления.

7Легко понять,что2-мерная алгебра Ли всегда имеет1-мерный идеал.Следовательно,это условие эквивалентно условию,что размер алгебры больше или равен3.

59

Другими словами,представление есть отображение

g V 3 (x, v) (x)v 2 V

удовлетворяющее определенным условиям.Наиболее важным условием есть условие гомоморфизма

([x, y])v = [ (x), (y)]v (x, y 2 g, v 2 V )

Правая часть этого равенства определяется скобкой в алгебре End(V ) и эту формулу можно эквивалентно переписать как

([x, y])v = (x) (y)v − (y) (x)v (x, y 2 g, v 2 V )

Если ( , V ) есть представление алгебры Ли g, то пространство представление V называется g-модулем.

Заметим,что произведения xy и yx не являются элементами алгебры,тогда как произведение (x) (y) определяется матричным произведение в алгебре матриц End(V ) и принадлежит этой алгебре линейных преобразований векторного пространства.Ассоциативная алгебра с единицей составленная из всех возможных мономов x1 · · · xk, где xi 2 g, по модулю коммутационных соотношений в алгебре,называется универсальной обвертывающей алгеброй для алгебры g и обозначается U(g).Выражение"по модулю коммутационных соотношений в алгебре”означает,что если [x, y] = z, то элементы из универсальной обвертывающей x1 · · · [x, y] · · · xk и x1 · · · z · · · xk отождествляются.

Представление алгебры g ( , V ) индуцирует гомоморфизм ассоциативных алгебр ˜ :

U(g) ! End(V ) через

˜(x1 · · · xk) = (x1) · · · (xk)

Теорема7 Poincar´e-Birkho -Witt (PBW). Пусть g – алгебра Ли ( возможно беско -

нечномерная).Тогда

1. Пусть элементы x1, x2, . . . будут базисом g. Тогда множество элементов

{xm1 1 xm2 2 · · · ; mi 2 Z≥0},

где только конечное число чисел mi отлично от нуля,образуют базис в U(g).

60

2. Для подалгебр Ли gi (как векторных пространств)в алгебре g = g1 · · · gn будем иметь

U(g) = U(g1) · · · U(gn).

В частности , это разложение индуцирует изоморфизм векторных пространств

Определение28 Пусть ( , V ) представление алгебры g. Если векторное подпростран - ство U в V удовлетворяет

(x)u 2 U (x 2 g, 8u 2 U)

то тогда U называется инвариантным подпространством в V . В этом случае

2.Для каждого элемента алгебры x 2 g, его реализация (x) индуцирует линейное преобразование ¯(x) на фактор пространстве V/U. Представление (¯, V/U) называется фактор-представление.

Пусть ( i, Vi) (1 i k) будут представлениями g и рассмотрим прямую сумму про - странств представлений

V := V1 · · · Vk = {(v1, . . . , vk); vi 2 Vi (1 i k)}

Определим представление алгебры g на пространстве V как

(x)(v1, . . . , vk) := ( 1(x)v1, . . . , k(x)vk).

Тогда будет представление ( , V ) алгебры g,которое называется прямой суммой представлений ( i, Vi) и обозначается как

Mk

( , V ) = ( i, Vi)

i=1

61

Здесь каждое пространство Vi является инвариантным подпространством V .

Если ( , V ) является представлением алгебры g, то само пространств V и его тривиаль - ное подпространство {0} являются инвариантными подпространствами.Они называются тривиальными инвариантными подпространствами.Любое инвариантное подпространство за исключением самого V называется собственным инвариантным подпространством. Если V не содержит нетривиальных инвариантных подпространств,то тогда представление ( , V ) называется неприводимым представлением алгебры g.Представление,которое не является неприводимым,называется приводимым.Если U есть максимальное инвариантное подпространство,то фактор-представление (¯, V/U) является неприводимым.

Тривиальным представлением алгебры g на пространстве V называется такое представление,в котором все элементы алгебры реализованы нулевым оператором

(x)v = 0 (8x 2 g, 8v 2 V ).

Пример2 Пусть g будет (2n+1)-мерной алгеброй Гайзенберга.Построим ее представление в пространстве V = C[x1, . . . , xn] полиномов от переменных x1, . . . , xn, определяя действие элементов алгебры g на V как

где Id является тождественным оператором на пространстве полиномов V . ( , V ) является бесконечномерным неприводимым представлением алгебры Гайзенберга.Такое представление этой алгебры называется Шредингеровским представлением.

Пусть ( , V ) и ( 0, V 0) два представления алгебры g. Обозначим множество отображе - ний

Каждое из отображений Homg(V, V 0) называется сплетающим оператором между пространствами представлений V и V 0.Если T – сплетающий оператор из V в V 0, то Ker(T ) и Im(T ) являются инвариантными подпространствами в V и в V 0, соответственно . В случае , если V 0 = V то множество сплетающих операторов Homg(V, V ) называется Endg(V ).

62

Определение29 Пусть ( , V ) и ( 0, V 0) будут представлениями алгебры Ли g. Если все отображения из Homg(V, V 0) взаимно-однозначные,то тогда такие представления называются эквивалентными.

Теорема8 (Schur’s lemma.) Если ( , V ) является неприводимым конечно-мерным представлением алгебры Ли g, тогда Endg(V ) = C IdV , где IdV тождественный оператор на пространстве V .

5.3Присоединенное представление

Очень важным представлением любой алгебры Ли является так называемое присоединенное представление(adjoint representation) (ad, g), когда в качестве пространства представ - ления V выступает сама алгебра g. В этом случае каждому элементу алгебры x ставится в соответствие оператор ad(x) из пространства линейных преобразований алгебры End(g), определенный правилом

ad(x) := [x, y], (y 2 g)

и отображение

ad : g 3 x ad(x) 2 End(g)

является гомоморфизмом,то есть действительно является представлением,в силу тождества Якоби.В этой терминологии,идеал в алгебре g является инвариантным подпространством присоединенного представления и условие простоты конечно-мерной алгебры Ли можно переформулировать как требование неприводимости присоединенного представления.

Задача. Построить присоединенное представление алгебры su(2).

Определение30 Комплексно-значная симметричная8 билинейная форма h , i на алгебре Ли g называется g-инвариантной,если выполняется следующее соотношение

h[x, y], zi = hx, [y, z]i.

8Симметричность формы означает,что hx, yi = hy, xi.

63

Множество элементов алгебры

Radh , i := {x 2 g; hx, yi = 0 8y 2 g}

называется радикалом билинейной формы h , i.Если Radh , i = {0}, то билинейная форма h , i называется невырожденной.Если h , i является симметричной инвариантной билинейной форма,то множество Radh , i является инвариантным подпространством (ad, g). Таким образом,для простой конечно-мерной алгебры Ли g, Radh , i либо совпадает с g либо является пустым множеством {0} и следовательно , формаh , i либо равна0либо является невырожденной.

Для любого конечно-мерного представления ( , V ) алгебры g можно определить инвариантную билинейную форму BV на g следующим образом:

BV (x, y) := trV ( (x) (y)) (x, y 2 g)

Очевидно,что симметричность формы следует из свойства операции следа.В частности, если g является конечно-мерной алгеброй Ли g, то билинейная форма ассоциированная с присоединенным представлением алгебры называется формой Киллнга

B(x, y) := trg(ad(x)ad(y)) (x, y 2 g)

Следующая важная теорема называется критерием Картана.

Теорема9 Для конечно-мерной алгебры g, два следующих условиями , являются экви - валентными:

•g есть полупростая алгебра Ли.

•Форма Киллинга на алгебре g невырождена.

Теорема10 Если g есть простая,конечномерная алгебра Ли,то инвариантная симметричная билинейная форма на g единственна с точностью до умножения на скалярный множитель.Другими словами,симметричная билинейная инвариантная форма для простой алгебры Ли совпадает с формой Киллинга с точностью до умножения на скалярный множитель.

Задача. Вычислить значение формы Киллинга на базисных элементах для алгебры su(2).

64

5.4Критерий Картана в терминах структурных констант

Пусть в алгебре g задан базис {Ia}, a = 1, . . . , dim g.Коммутирование базисных элементов (31)определяется структурными константами Cbda ,для которых в силу тождества Якоби должно выполняться квадратичное соотношение(33).

1. Алгебра g называется абелевой если

3. Инвариантная подалгебра n – это подпространство n g такое что [n, g] n. Будем

нумеровать образующие подпространства n индексами с черточками: I¯1, . . . , Ip¯. Тогда из [n, Ia] n следует,что

C¯d = 0, b p, d > p, (38)

b,a

таким образом ненулевыми могут быть лишь константы ¯ .

C¯d

b,a

4.Алгебра Ли проста,если не имеет нетривиальных инвариантных подалгебр.

5.Алгебра Ли полупроста,если она не имеет абелевых инвариантных подалгебр.

Присоединенное представление в терминах структурных констант может быть определено как гомоморфизмadиз g в алгебру матриц размера dimg dimg по правилу

ad : Ia ! (Ia)db = Cabd .

Гомоморфность этого отображения следует из тождества Якоби(33). Проверьте этот факт.Определим на алгебре Ли метрику Киллинга:

Можно легко проверить,что свертка Cabc = Cabd gdc является полность антисимметрисным объектом по перестановке любой париндексов.Для этого достаточно его представить в виде

Cabc = Cabd tr (ad(Id)ad(Ic)) = tr ([ad(Ia), ad(Ib)]ad(Ic))

65