Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ СИММЕТРИЙ И ТЕОРИИ ГРУПП

А.П.ИСАЕВ

Лаборатория теоретической физики им.Н.Н.Боголюбова, ОИЯИ,Дубна

Международный университет”Дубна”

Аннотация.

Дан вводный курс теории симметрий и теории групп. Обсуждается как алгебраическая теория групп так и теория представлений групп и алгебр Ли. По - дробно рассматриваются представления линейных групп,а также представления группы Пуанкаре.Лекции рассчитан ы на студентов,специализирующихся в области теоретической физики, ядерной физики и физики элементарных частиц.

Содержание

1	Введение .							6
2	Конечные группы 7
	2.1Лекция1.Понятие симметрии.О		пределение группы и подгруппы.
	Отображения.Примеры групп и отображений. . . .				. . . . . . . .		.	7
	2.2Лекция2.Группы симметрий правильных			n-угольников(группы ди-
	эдра Dn).Смежные классы.Классы сопряженных элементов.Фак-
	тор группа.Прямое произведение групп. . . . . . . . . . . . . . . . .						17
	2.3Лекция3.Группа перестановок		Sn (симметрическая группа). . . . .					25
	2.4Лекция4.Теорема Эйлера и эйлер		ова характеристика.Правильные
	платоновские многогранники и их симметрии.Фуллерены.					. . . .	.	32
	2.5Лекция5.Кристаллографичес		кие группы.Квазикристаллы.Моза-
	ики Пенроуза. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					.	40
	2.6Лекция6.Матрицы.Матричны		е группы и группы линейных преоб-
	разований.Группы GL(n),	U(n), O(n) и Sp(2n). . . . . . . . . . . .					.	50
	2.7Лекция7.Матричные представле		ния групп.Характер представле-
	ния.Прямое произведение и пряма я сумма представлений. Приво -
	димые и неприводимые представления.Леммы Шура.				. . . . . . .		.	58
3	Группы и алгебры Ли71
	3.1Лекция8.Группа вращений	O(2) в двумерном пространстве( соб -
	ственные и несобственные вращения).Группа вращений в двумер-
	ном псевдоевклидовом пространстве O(1, 1). Параметризации групп
	SO(2), SO(1, 1). . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					.	71
	3.2Лекция9.Многообразия.Непре		рывные группы Ли.Компактные и
	некомпактные группы.Общее определение алгебр Ли. . . . . . . . .						84
	3.3Лекции10,11.Группа враще	ний в трехмерном пространстве O(3).
	Параметризации группы SO(3). Алгебра Ли группы SO(3). Универ-
	сальная накрывающая группа для группы SO(3). . . . . . . . . .						.	93
	3.4Лекция12.Унитарная группа		SU(2) и ее алгебра Ли. Связь алгебр
	Ли su(2) и sl(2). Алгебра Ли sl(2) и ее конечномерные представле-
	ния.Конечномерные представления групп Ли SL(2) и SU(2). . . . .							100


3.5Лекция13.Прямое произведение ко		нечномерных представлений груп-
пы SU(2) и его разложение в прямую сумму неприводимых пред-
ставлений.Коэффициенты Клебша-Гордана.			. . . . . . . . . . . .		.	113
3.6Лекция14.Унитарная группа		SU(N) и ее алгебра Ли. Базис Кар-
тана.Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли.
Алгебра Ли для группа SU(3) и матрицы ГеллМанна. . . . . . .					.	129
3.7Лекция15.Метод индуцированных		представлений.Унитарные пред-
ставления некомпактных групп SL(N, C). . . . . . . . . . . . . . .					.	138
3.8Лекция16.Простр	анство Минковского M. Группы Лоренца и Пу-
анкаре.Бусты.Алгебра Ли для группы Пуанкаре. . .				. . . . . . . . 142
3.9Лекция17.Группа	SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представ-
ления группы Лоренца.Матрицы Д ирака.Дираковские биспиноры.
Майорановские и вейлевские спиноры.Твисторы. . .				. . . . . . . .	.	150
3.10Лекция18. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления.
Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D−1,1) и ее представления.
Группы Spin(D − 1, 1). . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			.	161
3.11Лекция19.Уравнение Дирака		и многомерные спиноры. Зарядово-
сопряженные,вейлевские и май		орановские спиноры в многомерии.
Ковариантность уравнения Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					169
3.12Лекция20.Вектор Паули-Любан		ского и операторы Казимира груп-
пы Пуанкаре.Представления гру ппы Пуанкаре.Малая группа Виг-
нера.Индуцированные представления . Массивные и безмассовые пред-
ставления группы Пуанкаре. . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			176
3.13Лекция21.Скрытые симметрии		SO(4) и SO(3, 1) в квантовомеха-
нической модели атома водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .					.	188

Содержание второй части лекций.

Лекция22.Скалярные,спинорные и век	торные поля.Абелевы и неабелевы
калибровочные теории поля;поля Янга-	Миллса.Симметрические пространства.
Индекс отображения S3 → S3. Монополи и инстантоны в SU(2) теории Янга-
Миллса.

Лекция23.Суперсимметрия.Супергруппы и супералгебры Ли.

Лекция24.Алгебры Ли.Базис Картана.Диаграммы Дынкина.Классификация полупростых алгебр и групп Ли.

Лекция25.Конформные и супер-конформные группы и алгебры Ли.Алгебры Вирасоро и Каца-Муди и их представления.

	СеместрNo. 1.Защита курсовых проектов.
1.Группа перестановок.Элементы теории		матричных представлений группы -пе
рестановок.
2.Группа симметрий тетраэдра,октаэдра		и икосаэдра. Образующие, определяю-
щие соотношения,таблица Кэли.
3.Аналог теоремы Эйлера для3-х мерной сферы			S3. Замощение S3 полиэдрами.
(5)
4.Унитарные матрицы и унитарные группы.Группа				SU(2) и ее алгебра Ли. Мат -
рицы Паули.
5.Унитарные матрицы и унитарные группы.Группа				SU(3) и ее алгебра Ли, мат -
рицы Гелл-Манна.
6.Ортогональные матрицы и группы вращения.Группа				SO(3) и ее алгебра Ли. 7.

Ортогональные матрицы и группы вращения.Группа Лоренца и ее алгебра Ли. 8.Группы и алгебры Ли.

9.Алгебры осцилляторов.Представление алгебр Ли для групп	SL(n) и Sp(2n) c
помощью осцилляторов.

10.Матрицы Дирака,их свойства и представления.

11.Спинорные представления группы Лоренца.Майорановские и дираковские спиноры.

12.Алгебры с делением.Группа и алгебра кватернионов.

13.Алгебры с делением(ассоциативные и неассоциативные).Октонионы. (5) 14.Спин и изотопический спин(протон-нейтрон),оболочечная модель ядра,магические числа. (5)

15.Релятивистское уравнение Дирака для электрона и позитрона. 16.Унитарная симметрия в физике э лементарных частиц,кварки. (5) 17.Модель неабелевых калибровочных полей. (5)

18.Скрытая O(4) и O(3, 1) симметрия в квантовой модели атома водорода. (5) 19.Фермионы.Суперсимметрия.Супергруппы и супералгебры Ли. (5)

+ темы на свое усмотрение по согласованию с преподавателем СеместрNo. 2.Зачет + экзамен.

1Введение.

Данные лекции представляют собой элементарное введение в теорию групп.Лекции начинаются с обсуждения такого понятия как симметрия(происходит от греческого слова” συµµϵτρια ” – совместно измеренное или соразмерное) – свойство объекта или совокупности объектов сохранять свою форму или взаимное соответ-

ствие при каких-либо преобразованиях. ”Понятие симметрии неразрывно связано с понятием о красоте. При этом истинная, высшая красота требует небольшого нарушения симметрии придающего ей таинственный и манящий элементнеза конченности” [19].Мы рассматриваем"симме трии как гармонии пропорций"[1]и обсуждаем геометрическое понятие симметрии в различных формах,таких как зеркальная симметрия,переносная симме трия,симметрия орнаментов и кристаллов и т.д.Это рассмотрение естестве нно приводит к идее,обобщающей все эти

частные примеры симметрий,а именно	инвариантности некоторых объектов -от
носительно определенной совокупности(	группы)преобразований.Только после

этого можно перейти к абстрактному математическому определению группы.В такой последовательности изложения мы следуем совету,который сформулировал Феликс Клейн в его знаменитых"Л екциях о развитии математикиXIXв

столетии"[2].
Напомним,что термин"группа"был введен в математику .ЭГалуа	1, который и

считается основоположником теории групп.Действительно,понятие группы первоначально сложилось в теории алгебраических уравнений,благодаря открытиям Галуа.Операциями группы в этом случае являются n! перестановок из n корней x1, x2, . . . , xn рассматриваемого алгебраического уравнения n-ой степени

(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) = 0 .
Наконец приведем определение симметрий,которое дано в книге[1]	”симмет-

рия обозначает тот вид согласованности отдельных частей,который объединяет их в единое целое” или ”симметричное означает нечто обладающее хорошим соотношением пропорций” .

Данные лекции читались на кафедрах теоретической и ядерной физики Международного университета.Дубнаг в2006 – 2007годах.Я благодарен О.В.Оги-

1Эварист Галуа(1811 - 1832),занимаясь проблем ой разрешимости алгебраических уравнений, ввел в математику такие понятия как поле,группа и т.д.Является создателем"теории Галуа". Убит на дуэли в возрасте21года.

евецкому,И.К.Соболеву,В.А.Осипову,А.А.Владимирову,С.Н.Неделько,В.П.

Колонцову и др.за многочисленные пол езные обсуждения материала изложенного в этих лекциях.

2 Конечные группы

2.1Лекция1.Понятие симметрии.Определение группы и подгруппы.Отображения.Примеры групп и отображений.

Мы начнем с рассмотрения симметрий знаменитого древнего символа–пятико- нечной звезды(пентаграммы).Этот символ был известен еще древним грек(ам возможно и ранее)и иногда трактуется как символ женского начала.

С точки зрения определений симметрий, данных Г.Вейлем(см.Введение)пентаграмма на рис. 1представляет с обой идеально симметричный объект.



A	. O	C





E			D
E			D

рис. 1

рис. 2

Пятиконечные конфигурации,типа пент аграммы,часто встречаются в природе.Например,такую форму(см.рис. 1 ) имеют морские звезды. Если разрезать яблоко поперек,то можно обнаружить,что яблочные косточки располагаются в пяти камерах,симметрично расположенных относительно оси,проходящей перпендикулярно разрезу.Мандарин,как пр авило,состоит из пяти пар симметрично расположенных долей и.дт.

Прежде всего отметим известный еще древним грекам геометрический факт о пентаграмме,а именно

Утверждение1. ОтрезокACна рис.2делится точкойG (илиF)согласно про-

порции

:= φ = (1 + √

(2.1.1)

prop

5)/2 .

T.е.отрезокACделится точкойG(F)так,что отношение длины всего отрезка

к большей его части равно отношению длины большей части отрезка к длине

его меньшей части.Число

φ = (1 + √

5)/2 = 1, 61803398... называется золотым

сечением.

Доказательство. Сумма углов в правильном n угольнике равна (n − 2) · 180◦.

Т.о.,угол

ABC на рис.2равен

3 · 180◦/5 = 108◦. Т . к . правильный выпуклый мно-

гоугольник можно вписать в окружнос,тоь углы

ABE =

EBD =

DBC =

BAC = 36◦, т . к . опираются на равные дуги. Треугольник∆ABG – равнобедрен-

ный,т.к.

AGB = 180◦ − 3 · 36◦ = 72◦

AGB =

ABG = 72◦, следовательно

AB = AG = BC. Теперь заметим, что

∆GBC и ∆ABC подобны,откуда следует

(2.1.2)

prop1

Подставляя в(2.1.2)условие

GC = AC − AG мы получаем,что число φ = AGAC > 0

удовлетворяет уравнению

− φ

− 1 = 0 φ =

√

= φ

(1 +

φ − 1

√

не подходит,т.к.он

< 0).

(второй корень квадратного уравнения φ = (1 −

5)/2

Ч.т.д.

•

Рассмотрим теперь преобразования(движения)в плоскости,которые перево-

дят звезду на рис. 1саму в себя.Заметим,что поворот звезды относительно точки

O на угол 360◦/5 = 72◦ по часовой стрелке совмещает звезду саму с собой,при

этом вершина A переходит в B, B переходит в C и т . д ., и в концеE переходит в

A → B

B → C C → D D → E E → A

(2.1.3)

prop2

Обозначим операцию(движение в плоскости)соответствующую этому повороту

символом g1. Заметим теперь, что все повороты звезды относительно точки

O на

углы n · 72◦, (n = 1, 2, . . . , 5), как по часовой так и против часовой стрелки, совме-

щают звезду саму с собой.Обозначим эти повороты по,и против,часовой стрелки

символами gn и g−n, соответственно. Заметим также, что два последовательных

поворота(операций)на углы

n · 72◦ и m · 72◦, обозначаемые символами gn и gm,

дают поворот на угол (n + m) ·72◦, который соответствует символу gn+m. Согласно этому наблюдению определим на множестве поворотов {gk} операцию умножения по правилу

gn · gm = gn+m ,				(2.1.4)	umnD
т.е.умножение это последовательное применение двух соответствующих поворо-
тов,которые эквивалентны одному повор оту,который рассматривается как -ре
зультат умножения(в частности мы имеем gn = g1n).Данное умножение является
ассоциативным,т.к.очевидно мы имеем
(gn · gm) · gk = gn+m+k = gn · (gm · gk) .				(2.1.5)	umnD1
Обозначим поворот на нулевой угол(звезда остается на месте)символом				e. Оче -
видно,что gn · e = e · gn = gn, т . е . элементe является единичным элементом на
множестве поворотов gn. Более того мы имеем gn ·g−n = e = g−n ·gn и,следователь-
но,для любого поворота gn поворот g−n на тот же угол,но в обратном направле-
нии,определяет обратный элемент g−n = gn−1 по отношению к тому умножению,
которое мы определили.Наконец отметим,что
g5 = g15 = e = g−5	1 = g−5 ,			(2.1.6)	umnD2
откуда следуют равенства g−n = g5−n (n = 1, 2, 3, 4).
Все вышесказанное можно резюмировать следующим образом.Мы определили
набор(группу)из5операций(элементов)	gn (n = 0, 1, 2, 3, 4), которые можно
перемножать по правилам(2.1.4) – (2.1.6),элемент		g0 = e является единичным,а
элементы gn и g5−n являются взаимно обратными.Группа пяти элементов с такими
свойствами называется циклической группой5-ого порядка и обозначается				C5 или
Z5. Заметим, что любые два элемента группы C5 коммутируют,т.е.			gn ·gm = gm ·gn.
Группы у которых любые два элемента коммутируют,называются			абелевыми.
Рассмотрим пример неабелевой группы,для чего дополним группу			C5 поворо-
тов звезды еще одним преобразованием(элем	ентом),переводящим звезду на рис.
1 саму в себя. Для этого рассмотрим зеркальное отражение звезды относительно
вертикальной оси BO, проходящей через точки B и O на рис1.При этом вер-
шина звезды B остается на месте B → B, а остальные вешины переходят друг в
друга по правилу A ↔ C, E ↔ D. Обозначим это преобразование за r. Очевидно
повторное зеркальное отражение относительно BO возвращает вершины на свои
места:
r2 = e .				(2.1.7)	umnD3

Преобразование g1 ·r (где r зеркальное отражение относительно вертикальной)оси соответствует переходу

A ↔ B	E ↔ C		D → D .	(2.1.8)	prop3
Напомним,что сначала делается поворот		g1	а затем отражение r, (" слово "g1 · r
читается слева направо)т.е.мы имеем следующее действие на звезду справа:
	· g1 · r			(2.1.9)	left
В то же время для преобразования r · g1 мы имеем
A ↔ D	B ↔ C		E → E	(2.1.10)	prop4
Сравнивая(2.1.8)и(2.1.10)мы заключаем,что			g1·r ̸= r·g1 и,т.о.,соответствующая
расширенная группа преобразований является неабелевой.На самом деле легко
показать,что
g1 · r = r · g−1		g−1 · r = r · g1 .		(2.1.11)	umnD4

Расширенная группа симметрий пентаграммы(включающая и вращения и отражения)называется пятой группой диэдра, обозначается D5. Группа D5 имеет конечный порядок(число элементов)равный10,что легко понять перечислив все

ее элементы {e, gn, r, rgn} (n = 1, 2, 3, 4), воспользовавшись определяющими соотношениями(2.1.4), (2.1.6), (2.1.11)В. сю информацию о группах конечного порядка удобно суммировать в виде таблицы умножения(называется таблицей Кэли по имени английского математика19-ого столетия(1821 - 1895);предложена в1854 г.),которая для группы D5 имеет вид

	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4


e	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4
g1	g1	g2	g3	g4	e	rg4	r	rg1	rg2	rg3
g2	g2	g3	g4	e	g1	rg3	rg4	r	rg1	rg2

g3	g3	g4	e	g1	g2	rg2	rg3	rg4	r	rg1
g4	g4	e	g1	g2	g3	rg1	rg2	rg3	rg4	r


r	r	rg1	rg2	rg3	rg4	e	g1	g2	g3	g4

rg1	rg1	rg2	rg3	rg4	r	g4	e	g1	g2	g3

rg2	rg2	rg3	rg4	r	rg1	g3	g4	e	g1	g2
rg3	rg3	rg4	r	rg1	rg2	g2	g3	g4	e	g1
rg4	rg4	r	rg1	rg2	rg3	g1	g2	g3	g4	e

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015709.13 Кб21Groups-3.pdf
#
03.06.2015914.03 Кб55Groups-4.pdf
#
03.06.2015628.28 Кб39Groups-5.pdf
#
03.06.2015678.55 Кб18Groups-6.pdf
#
03.06.2015694.85 Кб18Groups-7.pdf
#
03.06.20152.02 Mб124Group_theory_lecture.pdf
#
27.03.20164.86 Mб58Handbook of Applied Cryptography.pdf
#
27.03.201624.13 Mб189Holpzaphel_-_Nonlinear-Solid-Mechanics-a-Contin.pdf
#
16.11.20181.1 Mб9homework_chemestry.doc
#
03.06.201512.95 Mб12Horizontal_Launch_-_a_Versatile_Concept.pdf
#
04.11.20183.45 Mб3HTM_CorticalLearningAlgorithms.doc

	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4


e	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4
g1	g1	g2	g3	g4	e	rg4	r	rg1	rg2	rg3
g2	g2	g3	g4	e	g1	rg3	rg4	r	rg1	rg2

g3	g3	g4	e	g1	g2	rg2	rg3	rg4	r	rg1
g4	g4	e	g1	g2	g3	rg1	rg2	rg3	rg4	r


r	r	rg1	rg2	rg3	rg4	e	g1	g2	g3	g4

rg1	rg1	rg2	rg3	rg4	r	g4	e	g1	g2	g3

rg2	rg2	rg3	rg4	r	rg1	g3	g4	e	g1	g2
rg3	rg3	rg4	r	rg1	rg2	g2	g3	g4	e	g1
rg4	rg4	r	rg1	rg2	rg3	g1	g2	g3	g4	e

	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4


e	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4
g1	g1	g2	g3	g4	e	rg4	r	rg1	rg2	rg3
g2	g2	g3	g4	e	g1	rg3	rg4	r	rg1	rg2

g3	g3	g4	e	g1	g2	rg2	rg3	rg4	r	rg1
g4	g4	e	g1	g2	g3	rg1	rg2	rg3	rg4	r


r	r	rg1	rg2	rg3	rg4	e	g1	g2	g3	g4

rg1	rg1	rg2	rg3	rg4	r	g4	e	g1	g2	g3

rg2	rg2	rg3	rg4	r	rg1	g3	g4	e	g1	g2
rg3	rg3	rg4	r	rg1	rg2	g2	g3	g4	e	g1
rg4	rg4	r	rg1	rg2	rg3	g1	g2	g3	g4	e

	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4


e	e	g1	g2	g3	g4	r	rg1	rg2	rg3	rg4
g1	g1	g2	g3	g4	e	rg4	r	rg1	rg2	rg3
g2	g2	g3	g4	e	g1	rg3	rg4	r	rg1	rg2

g3	g3	g4	e	g1	g2	rg2	rg3	rg4	r	rg1
g4	g4	e	g1	g2	g3	rg1	rg2	rg3	rg4	r


r	r	rg1	rg2	rg3	rg4	e	g1	g2	g3	g4

rg1	rg1	rg2	rg3	rg4	r	g4	e	g1	g2	g3

rg2	rg2	rg3	rg4	r	rg1	g3	g4	e	g1	g2
rg3	rg3	rg4	r	rg1	rg2	g2	g3	g4	e	g1
rg4	rg4	r	rg1	rg2	rg3	g1	g2	g3	g4	e