Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

125

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

условия унитарности(3.11.6)получаем											[B1, B2] = 0. Т . оB.1,2												могут быть одно-
временно диагонализованы ортогональным преобразованием O и соответственно
получить B = diag(eiβ1 , eiβ2 , . . .). Выбирая затем U′ = diag(eiβ1/2, eiβ2/2, . . .) мы
приводим B к единичному виду с помощью матрицы U = U′ O.
Найдем явный вид преобразования U. Для этого заметим,																							что матрица B в
размерностях d = 2, 4 mod(8) имеет явный вид
B =	−i			0			0	1			B′			0		1			B′	· · ·				,		(3.11.8)	17
		0 i					1 0							1 0						· · ·
где блоки B′ равны
B′ =	0		−1				0	1				0	1		,		B′ (B′)				= 1 .					(3.11.9)	18
	1 0						1 0					−1 0
Для матриц B1 =				−i	0		и B2		=		0	1		существуют соответствующие мат-
				0	i						1	0
рицы U1,2, которые приводят их к единичному виду:
U1 = R			·	eiπ/4				0iπ/4	, U2 =					a a				, a, d							C .
			·		0		e−							d d
Т.о.для приведения к единичному виду матрицы																	B′	необходимо найти матрицу
U3, соответствующую матрице
		= 0 −1								0 1 =						0		0	0 −1
B3		= 0 −1								0 1 =						0 0 1 0							.
				1 0						1 0						0		1 0 0
								−
								−									1	0	0		0
																	1	0	0		0

Эта матрица имеет блочный вид															−
Эта матрица имеет блочный вид
U3 =		A B				, B = A					0 −1					, D = C					0 −1					,
		C D									1 0										1 0
Интересно получить,используя явный вид для матрицы																			U, явные чисто мнимые
представления для матриц γm (в силу уравнения(3.10.28)для																						B = 1).
Теперь мы более подробно обсудим свойства спиноров в четномерных про-
странствах.

Определим майорановское сопряжение ψ(M) ≡ ψT C. Легко проверить, что при лоренцевых поворотах спинор ψ(M) преобразуется также как и ψ (3.10.40).Если

171

спинор ψ удовлетворяет условию майорановости(3.11.4),то дираковское сопряжение переходит в майорановское сопряжение:

	= ψ†γ0 = ψT BT γ0 = −ψT γ0Cγ0 = ψT C	(3.11.10) mct
ψ

Другими словами условие майорановости можно представить в виде ψ = ψ(M). Аналогично(3.10.12)определим

γD+1 = (i)ν+1 γ0 · · ·γD−1 = σ3 σ3 · · · σ3 ,

(3.11.11)

γ2

= 1 , γ

= ( )ν+1Bγ

D+1

B−1

, γ

D+1

+ γ

D+1

= 0 .

D+1

−

С помощью матрицы γD+1 определяются вейлевские спиноры

(γD+1 + 1)ψ = 0

(γD+1 − 1)ψ = 0 .

(3.11.12)

weyl

Для майорановских спиноров(3.11.4)из этих условий следует

0 = (γD+1 ± 1)ψ = ((−)ν+1BγD+1B−1 ± 1)ψ = B((−)ν+1γD+1 ± 1)ψ

Т.о.,при ψ ̸= 0, условия (3.11.12) совместны с условием майорановости(3.11.4) только для случая нечетных ν или (D = 2 mod(4)). Так как майорановские спиноры существуют только при (D = 2, 4 mod(8)), мы заключаем, что нену - левые майорано-вейлевские спиноры могут быть определены только для D = 2, 10, 18, 26, . . . = 2 mod(8).

Добавление1.Ковариантность уравнения Дирака.
Уравнение Дирака(3.11.1)должно бы					ть ковариантно по отношению к преобра-
зованиям группы Лоренца(Пуанкаре).П					усть координаты пространства Минков-
ского преобразуются по правилам(3.8.13)					xn → x˜n = xm(Λ−1)mn. Тогда преобразо-
ванное уравнение Дирака,в силу его ковариантности, должно иметь вид
			,γm(i∂˜m − eA˜m(˜x)) − M- ψ˜(˜x) = 0 ,					(3.11.13)	15L
(γ-матрицы не преобразуются).Преобразова						ния полей должны быть такими,что-
бы это уравнение было эквивалентно(3.11.1).Форма коммутационных соотноше-
˜		n	n			˜	n
ний [∂m, x˜			] = δm диктует преобразование			∂m	= Λm∂n. Т . к . производная m =
˜	˜
(i∂m − eAm(˜x)) должна трансформироваться ковариантно, мы имеем
			˜	˜	n			(3.11.14)	dop3a
			(i∂m − eAm(˜x)) =Λ m(i∂n − e An(x))					(3.11.14)	dop3a

172

и соответствующее преобразование калибровочного поля Am имеет вид

(3.11.15)

dop3

Am(˜x) = Λm An(x) .

Подставим(3.11.14)в(3.11.13)

(γ

Λm(i∂n

− e An(x)) − M) ψ(˜x) = 0 ,

и пусть существует оператор S такой,что

SγnS−1 = γmΛmn .

(3.11.16)

dop4s

Это соотношение в инфинитезимальной форме для S = 1 + T + . . . эквивалентно

условию

[T,γ n] = γmωmn = γmωmn = −ωnmγm

Произвол в определении T фиксируется равенством [γn, T − T ′] = 0 и,т.к.пред-

ставление

γn

неприводимо,то

−

T ′

= const

определяется с точностью до

, т . е .

прибавления матрицы,которая пропорцио

нальна единичной матрице.Фиксируем

этот произвол требованием Tr(T ) = 0 (det(S) = 1).Тогда из(3.10.39)следует,что

T = 21 ωmnγmn (т.к. Tr(γmn) = 0) и соотношение(3.11.16)переписывается в виде

(3.11.17)

γmΛmn = exp(

ωmnγmn)γn exp(−

ωmnγmn)

dop4

Теперь,учитывая(3.11.17),для ковариа

нтности уравнения(3.11.13)мы должны

потребовать следующее правило преобразования спинорных полей

exp(−

(3.11.18)

dop5

γmn)ψ(˜x) = ψ(x) .

Формулу(3.11.18)можно переписать в виде(см. (3.8.13), (3.9.35))

γmn)ψ(x

ψ(x) = exp(2 ω

Λm) = (1 + 2 ω

γmn + ...)ψ(x + x

ωm + ...) =

= (1 + 21 ωmnγmn + xmωmn∂n + ...)ψ(x) = (1 + 21 ωmnγmn + 21 ωmn Mmn + . . .)ψ(x) .

dop6

(3.11.19)

Т.о.полными генераторами преобразова

ния Лоренца на спинорных полях явля-

ются операторы

Mmn(tot) = Mmn + γmn = (xm∂n − xn∂m) +

(γmγn − γnγm)

Вспоминая ком.соотношения для

Mmn (3.8.15)и

γmn (3.10.33)и очевидные условия

[Mmn, γkl] = 0, мы получем, что полный угловой момент Mmn(tot) удовлетворяет тем

же ком.правилам(3.8.15).

173

Добавление2.Тождества Фирца.

Вычислим след Tr от произвольного произведения γ-матриц,удовлетворяющих

алгебре Cl(p,q) с произвольной метрикой gmn (3.10.24)Прежде.	всего след от произ-
ведения нечетного числа γ-матриц равен нулю.Действительно,пусть		mi ̸= D + 1
( i):

Tr(γm1 · · ·γm2k+1 ) = Tr(γD+1γD+1γm1 · · ·γm2k+1 ) = Tr(γD+1γm1 · · ·γm2k+1 γD+1) = = −Tr(γD+1γD+1γm1 · · ·γm2k+1 ) = −Tr(γm1 · · ·γm2k+1 ) = 0 .

Здесь мы воспользовались циклическим свойсвом следа,а затем последней фор-

мулой в(3.11.11).Кроме того мы имеем	Tr(γD+1) = 0, т . к . для четногоD = 2ν
справедливо

Tr(γD+1) = Tr(γ0γ1 · · ·γD−1) = Tr(γ1 · · ·γD−1γ0) = −Tr(γ0γ1 · · ·γD−1) = 0 .

Если мы определим gD+1,D+1 = 1, то соотношения(3.10.24)применимы для всех матриц γ0, . . . ,γ D−1, γD+1 и этот набор матриц очевидно определяет представление алгебры Клиффорда в D + 1 = 2ν + 1 измерениях.Теперь легко(см. (3.9.24)) вычислить следы от любого произведения четного числа гамма-матриц γm (m = 0, 1, . . . , D − 1, D + 1)

Tr(γmγn) = 2ν gmn , Tr(γmγnγkγl) = 2ν (gmngkl − gmkgnl + gmlgnk) ,

Tr(γ1γ2γ3γ4γ5γ6) = 2ν [(g12g34 − g13g24 + g14g23)g56 − . . .]

где индексы 1, 2, 3, . . . обозначают m1, m2, m3, . . ., т . еγ.3 := γm3 , g34 := gm3m4 и т . д . Рассмотрим набор из 2D матриц(3.10.3)с учетом замены матриц по правилу

(3.10.23).Этот набор образует полную с				истему матриц в линейном пространстве
(2ν × 2ν ) матриц.Введем набор матриц				Γ		с верхним индексом
(2ν × 2ν ) матриц.Введем набор матриц				Γ	A	с верхним индексом

ΓA = {I,γ m1 , γm2 γm1 , γm3 γm2 γm1 , γ m4 γm3 γm2 γm1 , . . .}
(0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1) нормированный таким образом, что
		1
		1	Tr(Γ B ΓA) = δB ,
			Tr(Γ B ΓA) = δB ,
		2ν				A
		2ν
где δABkk = δmn11 δmn22 · · ·δmnkk для мономов одинаковой степени k:
							(3.11.20) ggA
	ΓBk = (γnk γnk−1 . . .γ n1 ) , ΓAk = (γm1 γm2 . . .γmk )						(3.11.20) ggA

174

и δABlk = 0 в случае мономов разной степени k

̸= l. Теперь для любой (2ν × 2ν)

матрицы Γ мы имеем

)

Γ =

CAΓA ,

CA =

Tr(Γ A Γ)

Γ =

Tr(Γ A Γ)ΓA ,

2ν

и т . к . матрицаΓ произвольна,то мы получаем условие полноты

)

(3.11.21)

δkj δil =

(ΓA)kl (ΓA)ij

P12 =

(ΓA)1 (ΓA)2 ,

ident10

2ν

из которого например следуют тождества

(γm)1 (γm)2 P12 = (γm)2 P12 (γm)2 = (γm)1 P12 (γm)1

(3.11.22)

ident11

)

(γm)kj (γm)il =

(γmΓA)kl (γmΓA)ij =

2ν

)

(3.11.23)

(ΓA)kl (γmΓAγm)ij =

(γm

ΓAγm)kl (ΓA)ij .

ident12

2ν

Сворачивая тождества(3.

11.21), (3.11.23)со спинорами , мы получаем тождества

Фирца

(−1)g

)

(3.11.24)

(

1ΓAΨ4)(

3ΓAΨ2)

fi1

(Ψ1Ψ2)(Ψ3Ψ4) =

2ν

(Ψ1γmΨ2)(Ψ3γmΨ4) = (−1)g

(Ψ1γmΓAΨ4)(Ψ3γmΓAΨ2) =

(3.11.25)

fi2

)

2ν

= (−1)g

(Ψ1ΓAΨ4)(Ψ3γmΓAγmΨ2) = (−1)g

(Ψ1γmΓAγmΨ4)(Ψ3ΓAΨ2)

)

2ν

где g = 0 для коммутирующих и g = 1 для антикоммутирующих спиноров.

Предложение Имеет место тождество

D−1

)

γmΓAk γm = (−1)k (D − 2k) ΓAk ,

(3.11.26)

pred??

m=0

где выражения ΓAk определены в(3.11.20).

Доказательство.

Действительно мы имеем(

0 ≤ m1 < m2 < m3 < . . . ≤ D − 1)

D−1	γm ΓAk γm =	γm(γm1 γm2 . . .γmk )γm+

m=0	m̸=m)1,...,mk	m=m1	,...,m
)		)		k

= (−1)k (D − k) ΓAk + γm1 (γm1 γm2 . . .γmk )γm1 + . . . + γmk

(далее будем протаскивать во всех слагаемых γmn справа зоваться тождеством γmn γmn = 1)

= (−1)k (D − k) ΓAk + (−1)k−1γm1 . . .γmk + (−1)k−2γm2 (γ

γm(γm1 γm2 . . .γmk )γm =

(γm1 γm2 . . .γmk )γmk =

на лево до γmn и поль -

m1 γm3 . . .γmk ) + . . . +

175

+(−1) γmk−1 (γm1 γm2 . . .γmk−2 γmk ) + γmk (γm1 γm2 . . .γmk−1 ) =
= (−1)k (D − k) ΓAk + k (−1)k−1 γm1 . . .γmk .
Q.E.D.
Пользуясь соотношением(3.11.26),мы можем переписать(3.11.23)в виде
1	D

	k)	)k	(3.11.27) ident14
(γm)1 (γm)2 P12 = 2ν	(−1)k(D − 2k)	ΓAk ΓAk =
	=0	A

1.Случай вейлевских спиноров. Пусть спиноры ΨK в (3.11.24), (3.11.25) (K = 1, . . . , 4) являются вейлевскими, т . е . удовлетворяют одному из соотношений(3.11.12). В этом случае мы имеем ΨK (1−γD+1) = 0 (или ΨK (1+γD+1) = 0) и , следовательно,

ΨK γm1 γm2 . . .γmk ΨK′ = 0 ( k) ,

где mi = 0, . . . , D − 1.

В этом случае ϵ = +1, и пользуясь соот-

2.Случай майорановских спиноров.

ношениями(3.11.7), (3.11.10),мы имеем

K γ(m1,...,mp)ΨK′ = ΨKT C γ(m1,...,mp )ΨK′ =

(3.11.28) slmajo

= (−1)

ΨK = (−1)

g+ (p−1)(p−2)

ΨK′ (C γ(m1,...,mp))

ΨK′γ(m1,...,mp)ΨK

где m1 < m2 < . . . < mp и g = 0 или g = 1 в зависимости от того являются ли спиноры коммутирующими или антикоммутирующими.Соотношение(3.11.28) можно также представить в виде двух тождеств

		,...,mp)ΨK′ = (		1)g
ΨK γ(m1		,...,mp)ΨK′ = (		1)g	ΨK′γ(m1,...,mp)ΨK (p = 4k + 1, 4k + 2) ,
			−
				1)g+1
	ΨK γ(m1,...,mp)ΨK′ = (			1)g+1		ΨK′γ(m1,...,mp)ΨK (p = 4k, 4k + 3) .
				−

3.12Лекция20.Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре.Представления группы Пуанкаре.Малая группа Вигнера.Индуцированные представления.Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.

Вектор Паули-Любанскогои и операторы Казимира группы Пуанкаре.

В этой лекции мы следуем изложению, представленному в книгах[21], [20], [22].

176

Напомним,что алгебра Пуанкаре P задается генераторами P m, Mmn, (m, n =

0, ..., 3), c определяющими соотношениями(3.8.15), (3.8.16).Перенормируем гене-

раторы P m,

Mmn:

Pm = −iPm , Mmn = −i Mmn ,

так,чтобы они были эрмитовыми операторами

Pˆm = Pˆm† , Mˆmn = Mˆmn†

. При этом

определяющие соотношения(3.8

.15), (3.8.16)перепишутся в виде

(3.12.1)

genP2

[Pn, Pm] = 0 ,

[Pn, Mkm] = i (gmnPk − gknPm) ,

[Mnm, Mkl] = i(g

− g

+ g

− g

) ,

(3.12.2)

genP3

nk ˆ ml

mk ˆ nl

ml ˆ nk

nl ˆ mk

Эта алгебра имеет два оператора Казимира M2, W 2, которые коммутируют со

всеми образующими P m, Mmn и,т.о.,определяют центр

в P:

M	2	ˆ ˆm	, W	2	= Wm W	m	,
		= Pm P

где Wm – компоненты вектора ПаулиЛюбанского(3.9.49)

	1	ˆ nk ˆr
Wm =	2	EmnkrM P	.

Используя(3.12.1)и(3.12.2),можно вывести соотношения

ˆm	ˆ
Wm P	= 0 , [Wm, Pn] = 0 ,

ˆ
[Mmn, Wk] = i(gmkWn − gnkWm) ,
[Wm, Wn] = i EmnkrW	k ˆr	,
	P

(3.12.3) centP

(3.12.4) genPPL

(3.12.5) genP4

(3.12.6) genP5

(3.12.7) genP6

с помощью которых легко доказывается центральность оператора W 2 (централь-

ˆ2

очевидна).Соотношения(3.12.5)оч

евидны.Соотношение(3.12.6)по фор-

ность P

ме совпадает с соотношением для [Mmn, Pk] (3.12.1),что естественно,т.к.и

Pk и Wk

– векторы и действие на них генераторов

Mmn алгебры группы Лоренца должно

совпадать

mn ˆ

n ˆ

mn ˆ

δωPk =

[ω

Mmn, Pk] = iωk Pn

δωWk =

[ω

Mmn, Wk] = iωk

Wn .

(3.12.8) genP7

Прямое доказательство(3.12.6)требует некоторых усилий:

[Mˆ mn,

EkhprMˆ hpPˆr] =

Ekhpr

,[Mˆ mn, Mˆ hp]Pˆr + Mˆ hp[Mˆ mn, Pˆr]- =

= 2Ekhpr ,(gmhMˆ np − gnhMˆ mp + gnpMˆ mh − gmpMˆ nh)Pˆr + Mˆ hp(gmrPˆn − gnrPˆm)-		,
	i

177

т.е.мы имеем

[Mˆmn, Wk] =

,(2EkmprMˆnp + 2EkpnrMˆmp)Pˆr + Mˆ hp(EkhpmPˆn

−EkhpnPˆm)- .

(3.12.9)

Теперь свернем равенство(3.12.9)с произвольными параметрами

ωmn = −ωnm:

ωmn[Mˆmn, Wk] =

,2(ωmnEkmpr + ωmpEknmr)Mˆ npPˆr + 2ωmnMˆ rpEkrpmPˆn- =

(учтем здесь свойство инвариантности тензора Eknpr относительно преобразований

Лоренца: ωmnEkmpr + ωmpEknmr + ωmrEknpm + ωmkEmnpr = 0)

,−2(ωmrEknpm + ωmkEmnpr)Mˆ npPˆr + 2ωmnMˆ rpEkrpmPˆn- = −iωmkEmnpr Mˆ npPˆr =

= −iω

ˆ qp ˆr

= iω

(gmkWn − gnkWm) ,

gnkEmqpr M P

что и доказывает(3.12.6).Соотношение(3.12.7)и центральность

W 2 теперь легко

доказывается с помощью второго соотношения(3.12.5)и(3.12.6).

Представления группы Пуанкаре.Малая группа Вигнера.Индуци-

рованные представления.

идентифицируются с операторами

В квантовой теории поля образующие Pk

энергии-импульса,а образующие

– с операторами полного углового момен-

Mnm

та.Т.о.оператор Казимира

ˆ2

(3.12.3)совпадает с оператором квадрата массы.

Мы будем характеризовать неприводимые представления алгебры Ли группы Пу-

анкаре так,что все состояния(вектора)в этом представлении будут являться

ˆ2

c некоторым фиксированным собств. зна -

собственными векторами оператора P

чением m2 ≥ 0. Вектора( поля) |Ψ с разными значениями m2 будут принадлежать

разным неприводимым представлениям(ядро оператора

− m I) – очевидно

неприводимо).С физической точки зре

ния естественно ограничиться рассмотре-

нием только представлений с положительной энергией Ψ|P0|Ψ > 0 для любого

ненулевого состояния |Ψ .

Второй оператор Казимира W 2 описывает спин состояний,соответствующих

векторам неприводимого представления алгебры Ли группы Пуанкаре.Для то-

го,чтобы прояснить это утверждение мы рассмотрим важное понятие подгруппы

стабильности группы Пуанкаре (или малой группы Вигнера).

Действие элемента g ≡ g(ak, ωmn) из собственной группы Пуанкаре на вектор

|Ψ можно определить с помощью экспоненциального отображения

U(g) |Ψ = exp

2−i(akPˆk +

ωmnMˆmn)3

|Ψ ,

(3.12.10)

unop

178

где параметры ak определяют сдвиг координат xk									→ xk + ak, а параметры ωmn
– лоренцевские вращения координат xk → Λknxn = (exp ω)kn xn и соответственно
операторов импульса(см. (3.12.8))
ˆ	ˆ	−1		ˆ	−1	)	n	ˆ	n	(3.12.11) LaOm
Pk → U(g) Pk U(g)			= Pn(Λ				k	= Pn (exp(−ω)) k .

В пространстве неприводимого представления группы Пуанкаре с заданной массой m рассмотрим подпространство состояний |q Vq с определенным4- х импульсом qk

				ˆ				(3.12.12)	genP8
				Pk \|q = qk \|q ,				(3.12.12)	genP8
таким,что
				qkqk = m2	q0 > 0 .			(3.12.13)	genP8a
Определим подгруппу Hq в группе Пуанкаре P как набор элементов g P таких,
что действие g на4-векторcкоординатами					qk оставляет этот вектор неизменным
(стабильным).Другими словами подгруппа						Hq это набор таких преобразований
g P, что соответствующие операторы U(g) оставляют подпространство Vq инва-
риантным.Подгруппу Hq мы будем называть подгруппой стабильности для Vq.
В соответствии с(3.12.11)и (3.12.12)мы получаем, что
ˆ	−1	)	n	ˆ		−1	U(g) \|q = qk U(g)	\|q ,
Pn(Λ		)	k	U(g) \|q = U(g)PkU(g)			U(g) \|q = qk U(g)	\|q ,
т.е. \|q′ = U(g) \|q , где				qk′ = qn Λnk = qn (exp(ω))nk .				(3.12.14)	genP9a
				qk′ = qn Λnk = qn (exp(ω))nk .				(3.12.14)	genP9a

Требование стабильности qk′ = qk приводит к условию qn ωnk = 0, общее решение которого может быть записано в виде

ωmn = Emnkr qk nr

где nr – координаты произвольного вектора. Т . о . элементы подгруппы стабильности Hq могут быть записаны в виде


	U(gq) = exp 2−i(akPˆk + 2Emnkr qk nrMˆ mn)3							( gq Hq) .	(3.12.15)	genP9
						1
Т.к.операторы		ˆ	и Wr коммутируют друг с другом,					то действие элементов U(gq)
Т.к.операторы		Pk	и Wr коммутируют друг с другом,					то действие элементов U(gq)
на вектора \|q простраства Vq эквивалентны действию
exp	2−i(akPˆk +		1		Emnkr qk nrMˆ mn)3		\|q = exp(−i α) exp(−inrWr) \|q ,		(3.12.16)	genP99

				2

179

где α = ak qk. Т . е . операторы(3.12.15),при ограничении их действия на Vq, выра - жаются через вектора Паули-Любанского

exp(−i α) exp(−inrWr) . (3.12.17) genP10

Вспоминая коммутационные соотношения(3 .12.7),мы заключаем,что координаты вектора Паули-Любанского образуют алгебру Ли при ограничении на простран-

ство Vq, причем эта алгебра Ли( и соответствующая группа Ли Gm) зависит от того рассматриваем мы массивный случай qkqk = m2 > 0 или безмассовый случай qkqk = m2 = 0 (ниже мы рассматриваем эти случаи более детально).Фазовый множитель exp(−i α) соответствует группе U(1), т . еH. q = Gm U(1).

Все вектора из Vq описывают состояния частиц с одним и тем 4же-импульсом q и одинаковым полным спином. Следователь но,с физической точки зрения,два любых линейно независимых состояния |1 , |2 Vq должны соответствовать раз-

личной поляризации спина(различной про екции спина)и должны переводиться друг в друга с помощью преобразований из Hq (представление Hq на Vq неприводимо).Более того для конечного квантового с пина,спектр его поля ризаций(проекций)конечен.Т.о.,для физически мотив ированных неприводимых представлений группы Пуанкаре действие подгруппы Hq на Vq неприводимо,а все подпространства Vq – конечномерны.

Все множество элементов группы Пуанкаре P (многообразие группы P) рас - слаивается на множество правых(левых)смежных классов по отношению к подгруппе Hq. Пространство всех таких смежных классов называется однородным пространством и обозначается P/Hq.Ясно,что точки P/Hq могут быть запараметризованы преобразованиями Лоренца Λ[p], переводящими4импульс q в 4- импульс p, лежащий на той же массовой поверхности(3.12.12).Согласно(3.12.14)мы имеем

pk = qn (Λ[p])nk .

Соответствующий унитарный оператор U(Λ[p], 0) (3.12.10)переводит пространство Vq в пространство Vp. В массивном случае выберем тестовый импульс q в виде qn = (m, 0, 0, 0), тогда удобный кандидат на роль Λ[p] имеет вид

	p0		/m		pj /m
	p0		/m		pj /m
Λ[p] =				δ	+	0
	p /m			δ	+	0

		i		ij		pipj
		i		ij		pipj

						m(m+p )
						m(m+p )

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015709.13 Кб21Groups-3.pdf
#
03.06.2015914.03 Кб55Groups-4.pdf
#
03.06.2015628.28 Кб40Groups-5.pdf
#
03.06.2015678.55 Кб18Groups-6.pdf
#
03.06.2015694.85 Кб18Groups-7.pdf
#
03.06.20152.02 Mб125Group_theory_lecture.pdf
#
27.03.20164.86 Mб58Handbook of Applied Cryptography.pdf
#
27.03.201624.13 Mб189Holpzaphel_-_Nonlinear-Solid-Mechanics-a-Contin.pdf
#
16.11.20181.1 Mб9homework_chemestry.doc
#
03.06.201512.95 Mб12Horizontal_Launch_-_a_Versatile_Concept.pdf
#
04.11.20183.45 Mб3HTM_CorticalLearningAlgorithms.doc