Group_theory_lecture

Оказывается,что можно установить чрезвычайно важную связь междуин вариантными подгруппами некоторого набора групп и гомоморфизмами между этими группами(определе ние гомоморфизма групп дано в Лекции1,см.Определение3).Рассмотрим гомоморфизм ρ : G → G′. Множество K элементов G, отображающихся с помощью ρ в единичный элемент e G′, называется ядром гомоморфизма ρ. Множество элементов I G′, в которое отображается группа G при отображении ρ, называется образом гомоморфизма ρ. Очевидно, что K и I являются подгруппами в G и G′, соответственно, причем

Утверждение4. Ядро K гомоморфного отображения ρ: G на G′ есть инвариантная подгруппа в G.

Док-во. Пусть K = K1 + K2 + . . . Km. Множество K есть группа,т.к.из ρ(Ki) = e′ и ρ(Kj ) = e′ следует ρ(KiKj ) = e′ и следовательно KiKj K. Кроме того e K и Ki−1 K, т . к .

K(ρ) и g1g2−1 ̸= e, а это противоречит нашему первоначальному утверждению о

21

является точной только если λ является изоморфизмом H в G (т.к.образом e в H может быть только один элемент,который очевидно совпадает с единицей в H). Проиллюстрируем этот факт с помощью диаграммы

Hλ G

Аналогично,последовательность

µ ′

G −→ G −→ e

является точной только если образом µ является вся группа G′ (или G отбражается на G′),т.к.вся группа G′ является ядром второго гомоморфизма G′ → e:

G µ G′

333343•e

Теперь предположим мы имеем точную последовательность

является инвариантной подгруппой в G. Т . кµ.(H′) = e, то смежный по H′ класс в G отображается в единственный элемент в G′:

µ(gH′) = µ(H′g) = µ(g) ,

и g, g′ G мы имеем:

µ(gH′g′H′) = µ(gg′) = µ(g)µ(g′) = µ(gH′)µ(g′H′) ,

22

и,следовательно, H′ – нормальная подгруппа в G. Т . о ., мы установили взаимнооднозначное соответствие групп G/H и G′:

Пример. Пусть Gi – абелевы группы( умножение можно заменить сложением, а единичные элементы будем обозначать нулем).Рассмотрим последовательность гомоморфизмов di (граничных операторов)

G0 −d→0 G1 −d→1 G2 −d→2 . . .

таких,что di+1 di(Gi) = 0. Тогда образ Imi = di(Gi) в Gi+1 образует инвариантную подгруппу в ядре Keri+1. Фактор группа Hi = Keri+1/Imi называется группой (ко)гомологий.Для точной последовательности имеем Keri+1 = Imi = di(Gi) и группы(ко)гомологий Hi тривиальны.

Важным понятием в теории групп является понятие классов сопряженных элементов в группе G.

Определение6. Подмножество элементов g˜0 = {g g0 g−1|g G}, где g0 фиксированный элемент группы G, называется классом сопряженных элементов для элемента g0.

Единица группы e образует класс сопряженных элементов,состоящий из одного элемента.Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов, .к. классы сопряженности или совпадают или не пересекаются.Это следует из равенств

Примеры.

1.Группа Cn расслаивается на n классов сопряженности {e}, {g1}, {g2}, . . . , {gn−1}, каждый из которых состоит из одного элемента.Действительно,группа Cn – абе - лева и g Cn мы имеем ggng−1 = gn. Такое расслоение на классы сопряженности, состоящие из одного элемента,с праведливо для всех абелевых групп.

2.Группа D2n+1 расслаивается на n + 2 класса сопряженности {e}, {gk, g−k} (k = 1, . . . , n), {r, rg1, . . . , rg2n}. То , что все несобственные элементы D2n+1 попадают в

23

один класс сопряженности следует из соотношения rgk(rgm)g−kr = rg2k−m и нечетности числа (2n + 1).

3.Группа D2n расслаивается на n + 3 класса сопряженности {e}, gn, {gk, g−k}

(k = 1, . . . , n − 1), {rg2k}, {rg2k+1}.

Определение7. Подмножество самосопряженных элементов группы G образует абелеву инвариантную подгруппу Z,которая называется центром группы

G.

Т.е.,центр Z группы G образован теми элементами из G, которые коммутируют со всеми элементами G. Доказательство того, что такое множество Z является

Определение8. Группа G называется простой, если она не имеет нетривиальных инвариантных подгрупп.Группа G называется полупростой, если она не

i ≤ n−1, называется нормальным рядом группы G. Факторгруппы G1/G2, G2/G3, G3/G4, . . ., называют факторами нормального ряда. Группа , имеющая нормаль-

1.Найти классы сопряженности для групп Dn.

2 . Докажите, что если порядок группы G равен 2n, а H – подгруппа порядка n группы G, то H – ее нормальная подгруппа. ( Указание: В G имеется только2 смежных класса,один из которых есть H, а второй можно реализовать как левый или как правый смежный класс по H.)

3.Если группа G конечна,то количество смежных классов по H называется индексом подгруппы H в G. Доказать теорему:

24

Теорема(Лагранжа). Порядок и индекс подгруппы H являются делителями порядка группы G.

4.Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел,кратных3,по подгруппе чисел,кратных15.

где {a1, a2, . . . , an} – некоторое новое размещение чисел {1, 2, . . . , n}. Т . о ., перестановка A является взаимно-однозначным отображением следующего вида

(очевидно,что столбцы в такой запис и мы можем переставлять произвольным образом,при этом отображение не меняется)мы понимаем перестановку,которая получается в результате последовательного применения A и B:

25

Циклическими перестановками или циклами (a1, a2, . . . , ak) ( k ≤ n) мы называем перестановки,которые объекты {a1, a2, . . . , ak} переставляют циклически a1 → a2, a2 → a3, . . ., ak−1 → ak, ak → a1, а остальные (n − k) объектов оставляют неизменными:

где мы использовали краткое обозначение для циклов

Заметим,что циклы,состоящие из разных символов,не влияют друг на друга,и соответственно,коммутируют друг с другом,например:

26

Действительно мы имеем: (a1, a2, a3, . . . , ak−1)(a1, ak) =

них транспозиций.Это утверждение легко понять на интуитивном уровне,т.к. любой объект ai из k объектов {a1, a2, . . . , ak} можно поставить на место любого элемента aj, а элемент aj на место ai (другие объекты останутся на своих -ме стах)осуществляя последовательные тра нспозиции данного объекта с соседними

объектами.Например,для случая j > i, мы сначала переставляем ai и ai+1, т . е . делаем транспозицию (ai, ai+1) (при этом объект ai будет расположен на i + 1-ом месте),потом соседнюю (ai, ai+2) и т . д . до последней соседней транспозиции объектов (ai, aj) (при этом объект ai будет расположен на j-ом месте,а все объекты

am (m = i + 1, . . . , j) будут располагаться на m − 1-ом месте).После этого,точно также(с помощью соседних транспозиций),объект aj с (j − 1)-ого места можно передвинуть влево на i-ое место.Теперь из Утверждения4очевидно следует,что любую перестановку можно сделать,осуществляя соседние транспозиции.

Для группы Sn обычно выбирают один из2-х наборов образующих:

1.)набор из (n − 1) образующих σi = (i, i + 1) (i = 1, . . . , n − 1) ( соседних транспозиций),которые удовлетворяют соотношениям группы кос

σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , [σi, σj ] = 0 (|i − j| > 1) , (2.3.8) braid

и σi2 = e (i = 1, . . . , n−1). Соотношения(2.3.8)можно изобразить графически если воспользоваться представлением

27

29

30