Groups-5

Пусть V –конечномерный неприводимый sl(2)-модуль.Так как он конечномерен,то в нем должен быть вектор старшего веса v0 2 V такой,что ev0 = 0. В противном случае , данный модуль содержал бы вектора с произвольно большими весами и следовательно не был бы конечномерным.Определим v−1 = 0, а vk = fkv0/k!, k ≥ 0.Из коммутационных соотношений(40)можно проверить следующие формулы

evk = (λ − k + 1)vk−1

Первые два соотношения очевидны.Докажем третье.Оно следует из следующей цепочки вычислений

Так как собственные значения векторов vk все различны,значит они линейно независимы. Докажите этот факт. Так как модуль V конечномерный,то имеется наименьшее целое число m такое,что vm 6= 0, а vm+1 = 0.Очевидно,что и все остальные вектора vm+k, k ≥ 2 также будут нулевыми в силу связи vm+k f . В силу своей линей - ной независимости вектора (v0, v1, . . . , vm) образуют базис конечномерного модуля V .Его размерность равна dimV = m + 1.Пользуясь формулами(42)легко построить матричное представление алгебры sl(2) в конечномерном пространстве V .

Как же добиться выполнения условия vm 6= 0, а vm+1 = 0. Рассмотрим последнее соотношение в(42)при k = m + 1: e vm+1 = (λ − m)vm. Очевидно , что так какvm 6= 0, а

должно равняться0,то единственная возможность это сделать,потребовать чтобы

λ = m.

Cдругой стороны,если λ = m то e vm+1 = 0 и вектор vm+1 если он отличен от нуля, становится новым старшим вектором в модуле V .Этот новый старший вектор в свою очередь порождает нетривиальное инвариантное подпространство в V , что противоречит неприводимости модуля V .Итак если V неприводимо,то vm+1 должен равняться нулю. Таким образом нами доказано следующее

67

Утверждение11 Все конечномерные неприводимые представления алгебры Ли sl(2) (40) соответствуют представлениям старшего веса,при этом вес старшего вектора является неотрицательным целым числом.

Задача. Проверить что формулы(42)в простейшем нетривиальном конечномерном представлении m = 1 определяются матрицами(41).

68