Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Group_theory_lecture

.pdf

Скачиваний:

141

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

T (2)(g1)

Пример. Рассмотрим2представления группы															C3: одномерное представление
T (1):
T (1)(e) = 1 ,					T (1)(g1) = exp(2πi/3) ,						T (1)(g2) = exp(4πi/3) ,												(2.7.7)			1mrep
и 3- х мерное представление T (2) = T (R):															T (R)(g2) =
T (R)(e) =		0	1	0	, T (R)(g1) =				1	0	0		,		T (R)(g2) =				0	0	1		. (2.7.8)			regc3
		1	0	0					0	0	1								0	1	0
		0 0 1							0 1 0										1 0 0

Новое представление T (3) = T (1) T (R)										является3-х мерным и имеет вид															.
T (3)(e) =	0	1	0	, T (3)(g1) = e 3						0		0	,				T (3)(g2) =			0		0	e43		.
							0			0		2πi								0		4πi	0
	1	0	0					2πi											e 3					πi
	0 0 1						0 e23					0							e 3			0	0

										πi										4πi
										πi										4πi
С другой стороны, из векторов x, y мы можем построить новый (n+m)-мерный
вектор w Vn+m с (n + m) координатами w = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) и далее
рассмотреть матричные (n + m)-мерные преобразования T (4)(g) вектора w, кото -
рые проистекают из(2.7.5).Оказывается,что таким образом мы строим новое
матричное представление T (4)						= T (1) T (2)					группы G. Матрицы T (4)(g), соглас -
но правилам(2.7.5),будут представля									ться в виде блочнодиагональной матрицы
размера (n + m) × (n + m):
T (4)(g) =					(1)	(2)0				= T				(1)		(g)		(2)	.				(2.7.9)			pryam
T (4)(g) =					\|\|tij (g)\|\|	(2)0				= T						(g)		(2)	.				(2.7.9)			pryam
																		0
					0	\|\|tab (g)\|\|								0				T (g)

Отображение T (4) группы G в матричную группу Γ(4), реализованную матрицами (2.7.9),очевидно явля ется гомоморфизмом:

T (4)(g1)T (4)(g2) = T (1)(g1)

T (1)(g2)

T (2)(g2)

=		T (1)(g1g2)	T	(2)	0		= T (4)(g1g2)
		0	T		(g2g2)

Матрица T (4)(g) (2.7.9)называется прямой суммой матриц T (1)(g) и T (2)(g) и обозначается T (4)(g) = T (1)(g) T (2)(g), а соответствующее новое представление T (4) = T (1) T (2) называется прямой суммой представлений.

Пример. Рассмотрим2представления группы												C3: одномерное представление
T (1)	(2.7.7)и3-х мерное представле						ние(2.7.8).Новое представление								T (4) = T (1)
T (R) является4-х мерным и имеет вид
(4)		0	1	0	0	(4)		0	0	0	1		(4)	0		0	1	0
		1	0	0	0		e	2πi	0	0	0			4πi		0	0	0
T (e) =		0	0	1	0	, T (g1) =		0	1	0	0		, T (g2) =	0		0	0	1	.
		0	0	0	1			0	0	1	0			0		1	0	0
		0	0	0	1			0	0	1	0			0		1	0	0

Характеры для прямого произведения T (3) = T (1) T (2) и прямой суммы T (4) = T (1) T (2) представлений вычисляются по характерам представлений T (1) и T (2):

χT (3) (g) = χT (1) (g) · χT (2) (g) , χT (4) (g) = χT (1) (g) + χT (2) (g) .
5.Приводимые и неприводимые представления.
Заметим,что преобразование подобия(2.7.3)с некоторой фиксированной	(n+m)×

(n + m) матрицей A, примененное к матрицам T (4)(g) (2.7.9),дает,как мы видели выше,эквивалентное (n + m)-мерное представление,которое однако уже не будет иметь блочно-диагона льного вида(2.7.9).Наприм ер,перестановка(перенумеровка)строк и столбцов является пре образованием подобия,при этом очевидно блочно-диагональная структу ра(2.7.9)будет нарушена.

С другой стороны, для некоторого заданного матричного представления, мы можем попытаться найти преобразование подобия,которое приводит данное представление к блочно-диагона льному виду и тем самым разбить это представление в сумму двух представлений.Однако,такую обратную процедуру сделать не всегда удается.Тем самым мы приходим к следующему определению:

Определение.		Представление,которое преобразованием подобия(2.7.3)мо-
жет быть приведено к блочно диагональному виду(2.7.9),называется вполне

приводимым. Если матричное представление группы G преобразованием подобия
(2.7.3)приводится к виду					ib\|\|	=			,	X(g) = 0 , (2.7.10)
T (g) = \|\|tij (g)\|\| , \|\|				(2)				(2)
	(1)		x(g)				T (1)(g)	, X(g)
										̸
	0	, \|\|tab (g)\|\|					0	, T (g)

(т.е.нижний левый 8 блок равен нулю)то представление называется приводимым Если таких преобразований подобия не существует,то представление называ-

pryam1

8Очевидно,что представление будет приводимым и в случае обнуления только верхнегопра вого блока,т.к.такое представление эквивалентно представлению(2.7.10) (эти представления связаны специальным преобразованием подобия–перестановкой строк и столбцов).

ется неприводимым. Свойство гомоморфизма: T (g1)T (g2) = T (g1g2) для представления(2.7.10)требует выполнения тождеств

(1)(g

X(g

)

T (1)(g

)

, X(g

)

(2)

, T

(2)

= T

, T

(g1)

(g2)

(g1)T

(2)

)T (2)(g

2) = T

(g1g2)

(2)

(1)

(1)(g

)

, T (1)(g

)X(g

) + X(g

(1)

X(g

)

, T (g1)T (g2)

, T (g1g2)

Представление(2.7.10)соответствует преобразованиям

(n + m)-мерных”ком-

позитных”векторов (x, y) → (x′, y′) (где x, x ′ Vn и y, y ′

Vm),а само преобра-

зование с матрицами(2.7.10),для координат этих векторов,имеет вид

x′

= xj T

(1)(g) , y′

= yb T

(2)(g) + xj Xja(g) .

Из вида этого преобразования следует(необходимо положить равными нулю все

координаты xi),что подпространство

Vm Vn+m преобразуется”само через се-

бя”,т.е.остается инвариантным

подпространством при всех преобразованиях вида

(2.7.10),соответствующих разным элементам

g группы G. Наличие ( или отсут-

ствие)инвариантных подпространств для

данного представления является экви-

валентным,важным критерием приводим

ости(или неприводимости)этого пред-

ставления.

Очевидно,что

n- мерные матрицы T (1)(g) реализуют представление группы G

меньшей размерности чем T (g). Т . о ., если матричное представление приводимо, то из него всегда можно выделить представление меньшей размерности.

Важно иметь конструктивный критерий приводимости или неприводимости представлений.Такой критерий дается леммой Шура.

Лемма Шура. 1.)Матрица A ̸= 0, коммутирующая со всеми элементами группы G в неприводимом матричном представлении T : T (g)A = AT (g) ( g G), кратна единичной матрице, .е. A = λI (λ ̸= 0).

2.)Пусть T (1): G → GL(n) и T (2): G → GL(m) – два неэквивалентных неприводимых представления группы G в n- и m- мерных векторных пространствах Vn, Vm, и A линейное отображение Vn → Vm такое,что g G мы имеем T (1)(g)A = AT (2)(g) (если n ̸= m, то A представляется прямоугольной m × n матрицей),тогда A = 0.

Док-во. 1.)Матрица A, коммутирующая со всеми матрицами T (g) ( g G), дей - ствующими в векторном пространстве V, где T (g) неприводимое представление,

является невырожденной матрицей.Иначе,пусть вектора x V такие,что xA = 0. Очевидно,что эти вектора образуют линейное подпространство,которое мы обозначим Ker(A). Из условия T (g)A = AT (g) следует,что xT (g)A = xAT (g) = 0. Т.о.,если x Ker(A), то xT (g) Ker(A) ( g G), т . еKer. (A) является инвариантным подпространством в V (случай Ker(A) = V, когда подпространство Ker(A) совпадает со всем пространством V, исключается, т . к . в этом случае мы имеем A = 0) и , следовательно, представление T (g) приводимо,что противоречит условиям Леммы.Т.о.,мы получили,что A невырождена и Ker(A) = .

Далее,пусть λ ̸= 0 является собственным значением матрицы A с собственными векторами v, образующими подпространство Ker(A − λI ) V. Тогда , из условия vT (g)(A − λI ) = v(A − λI )T (g) = 0 ( g G), следует , что либо Ker(A − λI ) является инвариантным подпространством и следовательно представление приводимо(а это противоречит условиям Леммы),либо (A − λI ) = 0. Ч . т . д . 2.)Пусть A ̸= 0. Так же как и в предыдущем пункте мы доказываем,что Ker(A) является инвариантным пространством в Vn. Аналогично мы показываем, что Img(A) является инвариантным подпространством в Vm. Действительно, x Vm

и g G мы имеем x AT (2)(g) = x T (1)(g)A,		т . еImg. (A)T (2)(g)	Img(A). Из
неприводимости представлений T (1) и T (2) (и A ̸= 0)следует,что			Ker(A) =
и Img(A) = Vm и,следовательно,отображение		A : Vn → Vm – изоморфизм, т . е .
представления T (1) и T (2) эквивалентны,а это противоречит условию Леммы.Сле-
довательно A = 0.				•
Следствие1.	Из Леммы Шура следует,что если существует ненулевая мат-
рица A ̸= λI , такая что T (g) A = A T (g) ( g G),то представление			T приводимо.
Следствие2.	Другим следствием Леммы Шура является,что все неприво-
димые конечномерные представления абелевой(коммутативной)группы				G – од -

номерны.Действительно для любого представления T такой группы и g, h G, мы имеем T (g)T (h) = T (h)T (g). Пусть T – неприводимо. При фиксированном h оператор T (h) коммутирует со всеми T (g) и в силу неприводимости T мы име-

ем(Лемма Шура): T (h)	= λ(h)I, где λ(h) скалярная функция,а I единичная
матрица.Аналогично,фикс	ируя любой другой элемент h G мы получаем,что

представление T неприводимо только если T (h) = λ(h)I ( h G), а это значит, что оно одномерно.

Пример1.Группа C3. Регулярное представление T (R) определяется соотноше-

ниями

g1 · (e, g1, g2) = (g1, g2, e) = (e, g1, g2)T

(R)

(g1) ,

(R)

g2 · (e, g1, g2) = (g2, e, g1) = (e, g1, g2)T

(g2) ,

и дается матрицами(2.7.8).С оответствующие характеры равны

χR(e) = 3 ,

χR(g1) = 0 ,

χR(g2) = 0 .

(2.7.11)

chiR

Т.к.группа C3 абелева,то очевидно существует не единичная матрица(н пример,

любая из матриц TR(g1), TR(g2), кроме , естественно, TR(e)),которая коммутирует

со всеми матрицами регулярного представления(2.7.8).Т.о.,согласно Лемме Шу-

ра,представление(2.7.8)приводимо.Де

йствительно,замет им,что собственными

векторами матриц(2.7.8)являются вектора

v1 = (1, 1, 1) ,

v2 = (1, q, q2) ,

v3 = (1, q2, q) ,

(2.7.12)

sobv

где q := e2πi/3. Составим из этих векторов строки матрицы A и столбцы матрицы

A−1:

A =

q12

A−1 = 1

(2.7.13)

aaa

1 q2

1 q q2

(при доказательстве того,что матрица A−1 является обратной к A, необходимо

воспользоваться тождеством q2 +q+1 = 0, вытекающим из q3 −1 = 0 → (q−1)(q2 +

q + 1) = 0).Тогда

Aij Tjk(R) = λiAik

и матрицы(2.7.8) посредством преобразований

подобия(2.7.3)с A и A−1 (2.7.13)приводятся к виду

0 .

T˜(R)(e) = 0 1 0

, T˜(R)(g1) =

0 q 0

, T˜(R)(g2) = 0 q2

0 0 1

0 0 q2

0 0 q

(2.7.14)

regc31

Т.о.,регулярное представление(2.7.8)

приводимо и оно является прямой суммой

трех одномерных неприводимых представлений:

T (R) = I Γ Γ ,

(2.7.15)

sumpr

тривиального представления I(C3), т . еI.(gk) = 1; точного представления Γ(C3):

T (e) = 1 , T (g1) = e2πi/3 = q , T (g2) = e4πi/3 = q2 (q3 = 1) ,

(2.7.16) to4

и комплексно сопряженного представления Γ(C3) :

T (e) = 1 , T (g1) = e−2πi/3 = q2 , T (g2) = e−4πi/3 = q .

(2.7.17) to4z

Для одномерных представлений имеем T (g) = χT (g) и таблица характеров для рассмотренных представлений группы C3 строится следующим образом

	(e)	(g1)	(g2)
.	(e)	(g1)	(g2)
.
I(C3)	χI = 1	χI = 1	χI = 1

Γ(C3)	χΓ = 1	χΓ = q	χΓ = q2
Γ(C3)	χΓ = 1	χΓ = q2	χΓ = q

T (R)(C3) χR = 3 χR = 0 χR = 0

Из первых3-х строк этой таблицы сразу ж е следуют значения характеров для регулярного представления T (R)(C3) (2.7.11),которые,согласно(2.7.15),равны сум-

ме характеров неприводимых представлений: χR = χI +χΓ +χΓ . С другой стороны легко увидеть,что в результате пр ямого произведения представлений I(C3), Γ(C3) и Γ (C3) мы получаем снова неприводимые одномерные представления:

I(C3) Γ(C3) = Γ (C3) , I(C3) Γ (C3) = Γ (C3) ,

Γ(C3) Γ(C3) = Γ (C3) , Γ(C3) Γ (C3) = I(C3) , Γ (C3) Γ (C3) = Γ (C3) ,

(т.к. χΓχΓ = χΓ , χΓχΓ = χI и χΓ χΓ = χΓ).Отождествляя тривиальное представление I(C3) с единичным элементом, мы получаем абелеву группу C3 (изоморфную C3) с элементами– неприводимыми представлениями {I(C3), Γ(C3), Γ (C3)} и умножением– (представления Γ(C3) и Γ (C3) – взаимно обратны по отношению к умножению ).Группа C3 неприводимых представлений C3 называется дуальной группой к группе C3.Для абелевых групп дуальная группа всегда изоморфна

исходной(замечательный результат .ЛС.П	онтрягина).Для неабелевых групп это
не так.

Пример2.Группа S3.

Построим таблицу характеров для неабелевой группы D S , элементы которой

3 = 3

обозначим (e, g1, g2, r, rg1, rg2). Левое регулярное представление T (R) определяется из соотношений

g1 · (e, g1, g2, r, rg1, rg2) = (g1, g2, e, rg2, r, rg1) = (e, g1, g2, r, rg1, rg2) · T (R)(g1) , r · (e, g1, g2, r, rg1, rg2) = (r, rg1, rg2, e, g1, g2) = (e, g1, g2, r, rg1, rg2) · T (R)(r) ,

Соответственно,две образующие g1 и r группы D3 в регулярном представлении

принимают вид(точки обозначают нули)

	1 0 0				. . .							. . .				0	1	0
	1 0 0				. . .							. . .				0	1	0
		0 0 1			. . .								. . .			1	0	0
(R)		0 1 0			. . .					(R)		. . .				0	0	1
		.	.	.	0	1	0						1	0	0	.	.	.
		.	.	.	0	1	0						1	0	0	.	.	.

T (g1) =		.	.	.	0	0	1	,	T		(r) =		0	1	0	.	.	.	(2.7.18) regd3
		.	.	.	0	0	1						0	1	0	.	.	.
		.	.	.	1	0	0						0	0	1	.	.	.
		.	.	.	1	0	0						0	0	1	.	.	.

Мы видим,что матрицы этого представл ения построены из блоков матриц -ре гулярного представления группы C3 (2.7.8).Зная собственные вектора(2.7.12), мы можем сразу же найти одномерные инвариантные пространства для представ-

ления(2.7.18),которые определяются векторами	w1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (тривиаль-
ное представление T (1)(gk) = T (1)(rgk) = 1) и w2	= (1, 1, 1, −1, −1, −1) (одномер-

ное представление,различающее четные и нечетные перестановки T (2)(gk) = 1, T (2)(rgk) = −1).Можно выделить также два дву мерных инвариантных пространства,натянутых на вектора

w3± = (1, q, q2, ±1, ±q2, ±q) = (v2, ±v3) , w4± = (±1, ±q2, ±q, 1, q, q2) = (±v3, v2)

w3±T (g1) = q w3± , w4±T (g1) = q−1 w4± , w3±T (r) = ± w4± ,

т.е.,кроме двух одномерных представлений			T (1)	и T (2), мы имеем два эквива-
лентных неприводимых представления T (+)			и T (−) (связанных преобразованием
подобия с матрицей A = diag(1, −1))
T (±)(g1) = q	01	, T (±)(r) =			0 ±1	,
0	q−				±1 0

Выбирая матрицу A в виде( в каждой строке стоят координаты векторов w1, w2, w3±, w4±):

		1	1			1			1			1
		1	1			1		1	1			1
		1	1			1		1	1		1
		1	q			q2		−1	−q2		−q
A =													,
A =				2								2	,
		1	q	2		q		1	q		q	2
		1	q			q		1	q		q
		1	q			q	2	1	q	2		q
		1	q			q		1	q			q
		1	q		2		q	−	−		−2
		1	q				q	1	q		q

	−		−			−


после преобразования подобия для матриц(2.7.18)имеем																		0					. . . .
					0 1 . . . .													0				1	. . . .
						1 0 . . . .														1 0 . . . .
																					−

AT	(R)	(g1)A−	1	=		.	.	q	0 . .				, A T	(R)	(r) A−	1	=		. .				0 1 . .
AT		(g1)A−		=		.	.	0 q−		1	. .		, A T		(r) A−		=						1 0 . .
						.	.	0 q−			. .							. .					1 0 . .



						.	.	.	.		q 0								. .				.	.	0 1
						.	.	.	.		0 q−	1											.	.	1 0
						.	.	.	.		0 q−							. .					.	.	1 0

(2.7.19)

regd31

Теперь легко вычислить таблицу характеров для представлений группы

= S

(1, 1, 1) = e

(2, 1)

(3, 0)

T (1)(S

)

χ (1) = 1

(1) = 1

T (2)(S3)

χT (2) = 1

χT (2) = −1

χT (2) = 1

T (+)(S3)

χT (+) = 2

χT (+) = 0

χT (+) = −1

T (−)(S3)

χT (−) = 2

χT (−) = 0

χT (−) = −1

T (R)(S3)

χR = 6

χR = 0

где (1, 1, 1), (2, 1), (3, 0) обозначают классы сопряженности,соответствующие дли-

нам циклов,входящим в перестановки, .е.тождественная,нечетные(в которые

входят r) и циклические(

g1 и g2) перестановки, соответственно:

+ .

r =

+ = (1)(23) ,

g1 =

g2 =

Отметим факт,который мы наблюдаем для группы

3, и который, на

самом деле,справедлив для всех конечны

х групп . А именно, каждое неприводи-

мое m-мерное представление конечной группы входит в регулярное представление

ровно m раз.

6.Элементы теории характеров конечных групп.

Пусть функции Tij(ν)

(i, j

= 1, 2, . . . , Nν ) определяют все неприводимые пред-

ставления T (ν) конечной группы G (порядка N) в Nν -мерных векторных простран-

ствах Vν (индекс ν перечисляеет неэквивалентные неприводимые представления).

Рассмотрим набор матриц Akµ ,jν , Biν ,mµ :

(Akµ,jν )iν ,mµ

Ti(νν,j)ν

(g−1) Tk(µµ,m)

µ (g) = (Biν ,mµ )kµ,jν .

(2.7.20)

fg3

Заметим,что

h G мы имеем

(h) = T (ν)

(h−1) (Ak ,j )k ,j T (µ)

(h) ,

= 1

T (ν) (h−1) T (ν)−1(g−1) T (' (g) T (µ)

(Ak

)i ,m

g G

(ν)

((g h)−1) T (µ)

(g h) =

ν µ

iν ,jν

kµ,mµ

µ)

µ ν ν µ jµ,mµ

N '

(2.7.21)

hah1

(Bi ,m

T (µ)

(h g) T (ν)

((h g)−1) =

ν µ µ

k ,m

iν ,jν

(µ)

(ν)N '

(ν) µ1

(µ)

(ν)

(h) T

jµ,mµ

(g) T

(g−1) T

−

(h−1) = T

kµ ,jµ

(h) (Bi ,m )j

kν ,jν

(h−1

kν ,jν

ν µ µ

N '

(2.7.22)

Из формул(2.7.21)и(2.7.22)следует,что матрицы

Akµ ,jν , Biν ,mµ сплетают все

матрицы неприводимых представлений T (µ) и T (ν). Следовательно, согласно Лем-

ме Шура,если

µ ̸= ν, то Akµ ,jν

= Biν ,mµ = 0, а если µ = ν, то матрицы Akµ ,jν ,

Biν ,mµ пропорциональны единичным матрицам.Т.о.,мы имеем

(Akµ,jν )iν ,mµ = (Biν ,mµ )kµ,jν = λδµν δiν ,mµ δkµ ,jν .

или

(ν)

(g−1) T (µ)

(g) = λδµν δi ,m

δk

(2.7.23)

iν ,jν

kµ,mµ

ν µ

)

g G

) . hah2

fg5

где λ – константа, которую можно найти если положить µ = ν, kµ = jν и просуммировать по jν . В результате получаем λ = 1/Nν, где Nν – размерность представления

T (ν).

Заметим,что любое представление конечной группы G эквивалентно унитарному.Действительно,пусть x, y 1 = y, x 1 – эрмитово скалярное произведение в V (x, y V ).Тогда,можно доказать,что спаривание

	1	g)	(2.7.24)
x, y :=	N	T (g)x, T (g)y 1	(2.7.24)
		G
также является эрмитовым скалярным произведением в V .			Ясно , что x, y =

T (h)x, T (h)y ( h G) и,следовательно, T – унитарное представление G по от-

ношению к скалярному произведению(2.7

.24).Т.о.,мы можем выбрать базис в

пространстве V (ν) так,что

T iν (g−1) = (T jν (g))

и представить(2.7.23)в виде соот-

jν

iν

ношения ортогональности

T (ν) (g) T (µ)

(g) =

δµν δi ,m δk

(2.7.25)

iν ,jν

kµ,mµ

ν µ µ

Nν

(ν)

(g) мы выводим

Используя определение характера представления χν (g) = 'i=1 Ti,i

из(2.7.25)соотношения ор

тогональности для характеров неприводимых представ-

лений Tν и Tµ:

χν , χµ =

χν (g) χµ(g) = δµν .

(2.7.26)

Пусть χ1, . . . ,χ h характеры всех неэквивалентных неприводимых представле-

ний T1, . . . , Th группы G.

Любое представление T можно разложить в прямую

fg6

fg8

fg10

сумму T = m1T1 . . . mhTh, где mi ≥ 0 – целые числа. В этом случае характер χ представления T равен χ = m1χ1 + . . . + mhχh, а из условия ортогональности (2.7.26)мы получаем

			h
		χ,χ ν = mν , χ,χ =	ν)		(2.7.27) fg10a
		χ,χ ν = mν , χ,χ =	mν2 .		(2.7.27) fg10a
			=1
Пусть T (R) – регулярное представление конечной группы G: gigk =				N	T (R)(gi)gm,
(R)	(gi) = δm,ki			'm=1	km
где Tkm	(gi) = δm,ki	если gigk = gki . Ясно , что для характера χR регулярного пред-

ставления мы имеем: χR(1) = N, где N – порядок группы G и χR(g) = 0 g ̸= 1, т . к . Tmm(g) = 0 для g ̸= 1. Используя этот факт и первую формулу(2в.7.27),мы мо - жем подсчитать сколько раз каждое неприводимое представление T (ν) содержится в регулярном представлении T (R):

	1	g)	1
χR, χν =	N	χR(g) χν(g) =	N	N χν (1) = Nν ,
		G

т.е.каждое неприводимое Nν -мерное представление T (ν) входит в регулярное представление ровно Nν раз(см.конец предыдущего подраздела5).Следовательно,

разложение χR по базису характеров χν имеет вид χR = 'h Nν χν . Прямое след-

ν=1

ствие этих формул есть связь размерностей Nν неприводимых представлений T (ν) и порядка N группы G:

h	h
ν)	)
N = χR(1) =	Nν χν (1) = N2 .
	ν
=1	ν=1

Упражнения

1.Доказать,что дробн о линейные преобразования z → z′ = g(a, b, c, d, z) пара-

метра z:

z → z′ = azcz ++ db ≡ g(a, b, c, d, z) , (a d − b c ̸= 0) ,

образуют группу GL(2),где преобразование z′ = g(a, b, c, d, z) соответствует элементу g GL(2) следующего вида

g =	a	b	.
	c	d

2.Построить таблицу характеров для группы C4.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015709.13 Кб22Groups-3.pdf
#
03.06.2015914.03 Кб59Groups-4.pdf
#
03.06.2015628.28 Кб42Groups-5.pdf
#
03.06.2015678.55 Кб18Groups-6.pdf
#
03.06.2015694.85 Кб18Groups-7.pdf
#
03.06.20152.02 Mб141Group_theory_lecture.pdf
#
27.03.20164.86 Mб63Handbook of Applied Cryptography.pdf
#
27.03.201624.13 Mб213Holpzaphel_-_Nonlinear-Solid-Mechanics-a-Contin.pdf
#
16.11.20181.1 Mб18homework_chemestry.doc
#
03.06.201512.95 Mб12Horizontal_Launch_-_a_Versatile_Concept.pdf
#
01.04.2025366.59 Кб1How to describe graphs.doc