Group_theory_lecture

Определение. Решеткой кристалла называется множество точек,соот-

из какого-то одного произвольного атома путем применения трансляций вдоль двух векторов α1, α2, которые называются основными. Такие решетки называеют-

ся транзитивными.

Отметим,что кристаллы могут состоят ь из атомов( молекул ) разных типов, при этом трансляции вдоль основных векторов уже не обязательно переводяткаж

Рис. 6

Определение. Трансляционно инвариантной решеткой R (решеткой Браве) 3-х мерного кристалла называется совокупность всех атомов кристалла,которые располагаются на концах векторов α = n1α1 + n2α2 + n3α3 (на плоскости α = n1α1 + n2α2).Здесь n1, n2, n3 – произвольные целые числа, а векторы α1, α2, α3 называются векторами основных трансляций.Параллелепипед,построенный на векторах α1, α2, α3, называется примитивной ячейкой решетки кристалла.

Группой трансляций T3(R) решетки R называется группа всех преобразований R, осуществляемых целочисленными сдвигами вдоль основных векторов α1, α2, α3 и оставляющих решетку R инвариантной.Заметим,что решетка на рис. 5инвариантна не только относительно всех целочисленных трансляций вдоль векторов

41

α1, α2, но и относительно поворотов на угол 180◦ вокруг любого ее узла O. При этих вращениях узел O остается на месте(”стационарен”или”стабилен”).

Определение. Множество всех преобразований(движений)переводящих3-х мерную решетку R в себя, называется пространственной группой этой решетки и будет обозначаться G3(R). Стационарной подгруппой H3(O)(R) (или подгруппой стабильности)решетки называется подгруппа группы G3(R), состоящая из всех преобразований,сохраняющих решетку и оставляющих неподвижной точку O- центр вращений.

Группа трансляций T3(R) решетки R является инвариантной подгруппой пространственной группы G3(R). Фактор группа G3(R)/T3(R) = S3(R) называется точечной группой R, или группой симметрии R. Заметим, что для некоторых ре-

• • • • • • • • • •

Рис. 7

в которой элемент G3(R), состоящий из отражения относительно оси L и последующей трансляции вдоль β, невозможно представить в виде произведения T ·gO, где T трансляции вдоль основных векторов α1, α2, а g вращения на π вокруг любой из точек стабильности типа O. Однако имеется соотношение H3(R) = G3(R) ∩ S3(R).

Утверждение. Пусть R трансляционно инвариантная решетка.Тогда группа H3(R) состоит из конечного числа преобразований,каждое из которых является

Док-во. Т.к.случай объемной решетки можно свести к рассмотрению плоскойре шетки(выбирая соответствующую ось вращения),то мы рассмотрим только случай плоской решетки.Пусть φ угол поворота решетки,который переводит решетку

в себя . Рассмотрим один из основных векторов трансляций α1 (причем выберем

ячейка содержит конечное число атомов, после конечного числа применений

42

поворота φ вектор α1 должен вернуться в прежнее положение,следовательнои ,

φ = 2mπ/n , где m, n – целые числа. Если φ2 · α1 = −α1, т . е . векторыα1 и φ2 · α1 линейно зависимы,то угол φ = π/2 и мы получаем один из углов, упомянутых в утверждении.Пусть α1 и φ2 · α1 линейно независимы.Тогда они образуют базис, и мы можем разложить вектор φ · α1 по этому базису φ · α1 = q α1 + p φ2 · α1, при - чем для того чтобы группа трансляций была дискретна,необходимо и достаточно чтобы вектор φ · α1 разлагался по базису α1 и φ2 · α1 с рациональными координатами q, p. Действительно, если эти координ аты являются иррациональными,то применяя последовательные трансляции вдоль φ · α1, мы получим, что в примитивной ячейке решетки содержится бесконечное число атомов,что противоречит

Т.к. |α1| = |φ · α1|, то OA = OC и очевидно OB = 2 OAcos φ (OB гипотенуза в пря-

отношения OBOA , или рациональности cos φ. Причем, угол φ, как указывалось выше, должен представляться в виде φ = 2mπ/n , где m, n – целые числа. Заметим, что из

является вектором трансляций R) должна быть не меньше длинны α1, т . е . угол φ ≥ π/3 = 2π/6 (равенство реализуется только когда ∆OAC равносторонний).

2π/2 (а так же угол 2π/4, рассмотренный выше) и кратные им. Легко проверить, что cos(π n/5) не равен рациональному числу ни при каких целых n. Т . о ., остаются приемлемыми только углы φ = 2π/k (k = 1, 2, 3, 4, 6) и кратные им6. Тем самым

6Можно доказать,что уравнение cos(2r1π) = r2, где r1 и r2 рациональные числа,выполняется только для r1 = k/6, k/3, k/2, k (k Z).

43

мы убеждаемся,что в трансляционно инва риантных решетках реализуется только симметрия2, 3, 4и6порядка. • Из доказанного выше утверждения мы получаем полный список стационарных

групп для плоских решеток:

C1, C2, C3, C4, C6 , D1, D2, D3, D4, D6, (2.5.17) polsp

причем группа C1 состоит из единственного тождественного преобразования. Для объемных решеток к списку(2.5.17)мы должны добавить еще группы

D6′ (группы Dn′ содержат следующие преобразования:все повороты из подгруппы Cn в некоторой плоскости П и, кроме того, поворотов на угол π всего3-х мерного пространства вокруг n осей,лежащих в П,и образующих друг с другом углы π/n

– в частности таким образом можно осуществить отражения из Dn в плоскости П).Вообще полный список(который мы зд есь не приводим)стационарных групп для объемных решеток включает32группы[11].

Квазикристаллы.Мозаики Пенроуза

В декабре1984 года израильский физик Дэни Шехтман, работавший вместе с коллегами в Национальном бюро стандартов в Вашингтоне,США,объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава Al0,86Mn0,14 (здесь числа0,86 и 0,14 определяют процентное содержание алюминия и марганца в сплаве), кото - рый проявлял свойства кристалла с симметрией5-ого порядка.А именно,пучек электронов рассеивался на образце этого материала ,такчто на фотопластинке,

помещенной за материалом, образовалась ярко выраженная дифракционная -кар тина с симметрией5-ого порядка.Это с видетельствовало о присутствии в структуре дальнего упорядочения атомов,причем с симметрией5-ого порядка.Как мы только что видели,такие структуры невоз можны в трансляционно инвариантных кристаллических решетках.

Однако в математике с середины семидесятых годов были известны не транс-

такое"квазисимметрия"будет понятно чуть ниже).На плоскости такие решетки были предложены Пенроузом1973в году(и называются мозаиками Пенроуза), 3-х мерный аналог мозаики Пенроуза был открыт Робертом Амманом1975вгоду

44

(см. [3]).

Следует отметить,что история этих открытий началась еще раньше.В1961году Хао Ван заинтересовался задачей о замещении плоскости множеством единичных квадратов,стороны которых раскрашены по разному(домино Вана).Домино

необходимо укладывать так,чтобы смежны е ребра были одинакового цвета( пово - рачивать и зеркально отражать домино запрещено).Данная задача важна потому, что связана с проблемой разрешимости в математической логике.Гипотеза Вана: любой набор домино,который замещает плоскость,обязательно позволяет построить и периодическое замощение плоскос(ти.е.мозаике,которая переходит сама в себя при некоторых сдвигах).В1964году эта гипотеза была опровергнута.Были найдены наборы домино(более чем20 000домино),из которых строились только непериодические мозаики.Впоследствии э то число домино было уменьшено 92до (Дональд Кнут).

Заметим,что набор домино Вана можно превратить в набор многоугольных фигур,со специальными вырезами и выступами,заменяющими разные цвета ребер.Профессору математики Оксфордского университета Роджеру Пенроузу в 1973году удалось найти один из наименьших наборов фигур неквадратного типа (две фигуры,из которых специальными поворотами можно получить все -необ ходимые домино для непериодического замощен),ияз которых строится только непериодическая мозаика.Так как найденные фигуры могли стать основой комерческих игр-головоломок,Пенроуз воздержался от публикации своего открытия до тех пор,пока не получил на них патенты в Великобритании,США и Японии.

Форма двух основных фигур мозаики Пенроуза могут быть различной, наиболее простая пара фигур называются "тонкий"и"толстый"ромбы.Толстый ромб

Заметим,что разрезая эти ромбы по пу нктирным линиям мы получаем,во-первых, треугольники ∆ABC и ∆ABG, из которых составлена пентаграмма на рис. 2 ( стр . 6),а,во-вторых,склеивая эти треугол ьники по другим ребрам мы получим две

45

другие фигуры мозаики Пенроуза– "острие копья"и"воздушный змей".Складывая фигуры(A)и(B)в некотором порядке(см.ниже)получается мозаика,кото-

рая никаким смещением не переходит сама в себя( т . е . является непериодической), однако обладает квазисимметрией5-ого по рядка,т.е.любая конечная часть такого замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз.Т.о., если в нашем распоряжении есть вещест,вокотором все атомы расположены в узлах кристаллической решетки с подобной структур, ойоно будет продуцировать дифракционную картину,как будто это кристалл,обладающий запрещенной

должны иметь один из шести допустимых видов[12]:

В трехмерном случае квазикристал с квазисимметрией5-ого порядка строится из2-х ромбоэдров(тонкого и толстого) , у которых гранями являются соответственно тонкий и толстый ромбы.

Известно несколько способов построения квазипериодических замощений.Здесь, на примере одномерной квазипериодической цепочки Фибоначчи,мы продемонстрируем т.н.проэкционный метод.

В одномерном случае хорошей моделью квазипериодического замощения яв-

46

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . .

Эти числа часто встречаются в природе.Например,число спиралей,по которым располагаются семечки в подсолнухе(наблюдались подсолнухи13,с 21, 34и даже гигантские подсолнухи89с и144спиралями).

Одномерное замощение строится следующим образом(см.рис.)

На каждом шаге(переход от верхней строчки к следующей .ид.т)построения мы делаем замену короткого отрезка на длинный,а длинного отрезка на пару длинного и короткого: S → L и L → L, S. На рисунке слева указаны числа отрезков, входящих в периодическую ячейку решетки.Эти числа образуют последовательность Фибоначчи,т.к. S0 = 1, L0 = 0,

Li+1 = Li + Si , Si+1 = Li Li+1 = Li + Li−1 , Si+1 = Li−1 + Si−1 = Si + Si−1 ,

Li+1 + Si+1 = (Li + Si) + (Li−1 + Si−1) ,

где Li, Si число длинных и коротких отрезков в периодической ячейке на i-ом шаге.С каждым шагом построения перио д одномерной структуры возрастает и стремится к бесконечности,а отношение числа длинных отрезков к коротким(в периодической ячейке)стремится к золотому сечению(см.таблицу)

47

•

Интересно,что ту же одномерную квазипериодическую структуру можнопо лучить,делая проекцию позиций атомов из двумерной периодической решетки на определенным образом ориентированную о(смь.рисунок)так,чтобыtg (θ) = φ−1, где θ- угол между данной осью и осью абсцисс( x)

На ось x проэцируются только точки,лежащие между двумя линиями y и z, кото - рые паралельны x. Для того, чтобы вдоль оси x получилась квазипериодическая последовательность Фибоначчи коротких S и длинных L отрезков,нужно определенным образом выбрать расстояние между линиями z и y.

Аналогичным образом получаются и замощения Пенроуза(и их3-х мерный аналог замощения Аммана-Маккея).Д ля получения замощения Пенроуза необ-

48

ходимо спроэцировать5-ти мерную гиперкубическую решетку на специальновы бранную двумерную плоскость(подробнее см. [12]).Соответственно,замощения

3 . Доказать соотношение для чисел Фибоначчи( обнаруженное французским астрономом Жан-Доминик Кассини 1680в г.)

Fn+1Fn−1 − Fn2 = (−1)n .

(Указание:Соотношение Кассини доказывается по индукции ).

4 . Найти производящую функцию чисел Фибоначчи F (z) = '∞ Fnzn и вы -

n=0

которого мгновенно следует существование знаменитого предела

Fn+1 = φ .

Fn

49

2.6Лекция6.Матрицы.Матричные группы и группы ли-

нейных преобразований.Группы GL(n), U(n), O(n) и Sp(2n).

1.Матрицы

Квадратной комплексной матрицей A размера n × n называется таблица комплексных чисел aij C (i, j = 1, 2, . . . , n):

Мы используем следующие обозначения для комплексных матриц:

AT = ||aji||, A = ||aij||, A† = (AT ) = ||aji||, I = ||δij|| (i, j = 1, 2, . . . , n),

A · B = || 'nk=1 aikbkj|| ,

где AT , A , A† и I - транспонированная, комплексносопряженная, эрмитовосо - пряженная и единичная матрицы,соответстве нно.Сумма всех диа гональных элементов матрицы A:

50