Group_theory_lecture

T.к.любой элемент группы D5 имеет вид rkg1n (k = 0, 1; n = 0, 1, 2, 3, 4) то эта группа порождается только двумя элементами (g1, r), которые называются

ют группой, если в G определено умножение(групповая операция)элементов, для которого выполняются следующие условия:

а)Операция умножения удовлетворяет групповому свойству , т . е . эта опе - рация определена для каждой пары элементов g1 и g2 из G, а результат умножения элементов g1 и g2 – элемент g3 принадлежит G (мы будем писать g1 · g2 = g3).

б)Для любых трех элементов g1, g2, g3 из G выполняются соотношения (g1 · g2) · g3 = g1 · (g2 · g3). Это свойство называется ассоциативностью групповой операции умножения.

в)В группе G существует элемент e,называемый единицей группы такой, что g · e = e · g = g для всех g G.

г)Для каждого элемента g G существует обратный элемент g−1 G такой,что g · g−1 = g−1 · g = e.

Другие примеры групп:

1.)Множество вещественных чисел R\{0} является группой по отношению к обычному умножению чисел.Число1выступает в роли единицы в группе. (Вопрос: почему удалено число 0?)

2.)Два числа {+1, −1} по отношению к умножению образуют группу C2 = Z2. 3.)Множество положительных вещественных чисел R+ также является группой

11

относительно умножения чисел.

4.)Группа целых чисел Z: {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} по отношению к сложению (в качестве операции умножения здесь выступает сложение)

5.)Группа собственных вращений(без отражений)в двумерном пространстве SO(2) – группа симметрии единичной окружности на плоскости. Умножением вращений является последовательное применение операций вращения окружности вокруг ее центра.

6.)Группа всех перестановок5элементов S5. Умножением перестановок является их последовательное применение.

7.)Группа собственных вращений в трехмерном пространстве SO(3) – группа симметрии единичной двумерной сферы в R3. Элементами этой группы являются все возможные вращения сферы вокруг ее центра.

8.)Общая линейная группа GL(5) всех невырожденных 5 × 5 матриц(здесьGи L – начальные буквы в словах: general linear).

Напомним,что если все элементы группы G коммутируют друг с другом,то такая группа называется абелевой (например группа C5).Первые5примеров являются абелевыми группами.Группа D5, группа всех перестановок5- и элементов S5, группа SO(3) и группа GL(5) являются неабелевыми.

Определение2. Подмножество H элементов группы G называют подгруппой, если H является группой относительно введенной в G операции умножения, т.е.единичный элемент e H, и для всех элементов h1, h2, h из H мы имеем h1 · h2 H и h−1 H.

Примеры подгрупп:

1.)Группа вещественных положительных чисел R+, а также группа рациональных чисел Q {0}, по отношению к умножению являются подгруппами в группе вещественных чисел R\{0}.

2.)Циклическая группа C5 является абелевой подгруппой в группе диэдра D5. 3.)Группы C5 и D5 являются подгруппами группы S5.

4.)Группа SO(2) является подгруппой группы SO(3).

5.)Специальная линейная группа SL(5), состоящая из всех 5 × 5 матриц с детерминантом равным 1 (здесьSиL –начальные буквы в словах: special linear), является подгруппой в GL(5).

Понятие отображения

12

Преобразования из групп C5 и D5, примеры которых приведены в(2.1.3),

{A, B, C, D, E} −→{ A, B, C, D, E}

Т.о.мы видим,что понятие группы тесно связано с понятием отображения,или точнее с понятием множества отображений. Это понятие является центральным для многих разделов математики.Математ ическое понятие отображения(mapping) возникло путем абстрагирования понятия карты или плана(map)города,местности и т.д.В математике под отображением понимают установление соответствия между элементами исходного объекта и элементами его образа.Важное требование для отображения,это невозможность ставить в соответствие одному элементу исходного объекта,два и более различных э лементов из образа(см.рис.3),т.к.

одному объекту на местности не могут соответствовать две разные точки накар те.В то же время раличным элементам исходного объекта может соответствовать единственный элемент образа(см.рис.4)

Начнем изучение понятия отображения с рассмотрения простого случая,когда в качестве исходного объекта и его образа берутся множества с конечным числом

элементов.Пусть задано множество X = {A, B, C, D, E} (студенты)и множество Y = {1, 2, 3, 4, 5} (стулья),состоящие из пяти элементов.Установим следующее соответствие g: X → Y такое,что

13

Это отображение удобно представить в виде

Заметим,что каждому элементу из X сопоставляется единственный элемент из Y и наоборот( каждый студент сидит на своем стуле ). Такое отображение называется взаимно-однозначным(или биекцией) . Очевидно, что взаимнооднозначное отображение обратимо(достаточно поменять все стрелки(2в.1.12)на обратные).

Рассмотрим теперь другое отображение f : X → Y

(здесь id обозначает тождественное отображение G → G).

2От латинского”injectio” -вбрасывание,впрыскивание.

14

Множество X называется областью определения или прообразом отображения X → Y , а множество тех элементов из Y , которые являются образами элементов из X, называется областью значений или образом отображения X → Y .

Пользуясь понятиями отображений,мы мо жем теперь интерпретировать оперции g1 и r, переводящие звезду саму в себя, как следующие взаимнооднозначные отображения множества {A, B, C, D, E} в себя

до более удобен в случае конечных груп,не имеющих наглядной интерпретации в виде симметрии какого-либо объекта,типа звезды.

В заключении этой лекции мы обсудим еще один важный для теории групп тип отображений.Заметим,что операции(2.1. 15)можно представить как результат действия справа некоторых 5 × 5 матриц на вектор (A, B, C, D, E):

котором первое отображение стоит справа.Этот порядок определяется тем,в какую сторону (влево или вправо)действуют преобразования,с оответствующие этим отображениям,см(2.1.9).

15

(5×5), причем такое, что g1, g2 D5 мы имеем ρ(g1·g2) = ρ(g1)·ρ(g2). Отображение ρ, обладающее таким свойством, н азывается гомоморфизмом.

Определение3. Отображение ρ группы G в другую группу G′ называют гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию, т . е .

ρ(g1 · g2) = ρ(g1) · ρ(g2)

для всех g1, g2 G. Гомоморфное отображение ρ называется изоморфизмом если оно является взаимно однозначным отображением G → G′. Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом.

Примеры

1.Изоморфизм группы 5 и группы комплексных чисел

{1, e2πi 15 , e2πi 25 , e2πi 35 , e2πi 45 } .

2.Примером автоморфизма D5 → D5 может служить преобразование ρ, осуществляемое с помощью умножения всех элементов D5 на элемент r D5 слева и справа одновременно.При этом

gk → ρ(gk) = rgkr = g−k , r gk → ρ(r gk) = gk r = r g−k .

3.Примером тривиального гомоморфизма служит отображение G → e всех элементов группы G в единичный элемент e группы,состоящей из этого одного элемента e.

16

Упражнения.

1.Рассмотреть группу симметрии D2 отрезка AB (правильного"двухугольника") с учетом изменения ориентации, заданной вектором на рисунке

A • • B

(т.е.вращение на 180◦ градусов и отражение относительно вертикальной оси не эквивалентны).Составить для этой гру ппы таблицу Кэли.Доказать,что эта группа абелева и содержит две разные подгруппы 2.

2.Составить таблицы Кэли для групп си мметрии правильного треугольника D3 и квадрата D4.

3.Составить таблицу Кэли для группы перестановок трех элементов S3 и доказать

изоморфизм D S .

3 = 3

4.Построить матричные 3 × 3 и 4 × 4 представления для групп D3 и D4. 5.Доказать,что матричное умножение ассо циативно,т.е.выполняется соотношение A(BC) = (AB)C, где A, B, C-произвольные n × n матрицы. (Указание:запи-

2.2Лекция2.Группы симметрий правильных n-угольников (группы диэдра Dn).Смежные классы.Классы сопряженных элементов.Фактор группа.Прямое произведение групп.

В этой лекции мы продолжаем изучение конечных групп или групп конечного порядка(групп с конечным числом эле ментов).В предыдущей лекции мы подробно обсуждали группы симметрий C5 и D5 правильного пятиугольника.На основе рассмотрения этих симметрий мы дали абстрактное определение группы и подгруппы.

Группы симметрий правильного n- угольника Cn и Dn определяются аналогичным образом.Рассмотрим правильный n угольник,вершины которого лежат на окружности

17

n 1 2 n-1 3

. .

. .

. .

....

рис. 5

Образующей группы Cn = Zn является поворот n-угольника по часовой стрелке на угол 360◦ · n1 или,что то же самое,циклическая перестановка вершин

18

которые легко выводятся из определяющих соотношений(2.2.1),мы получаем

g · gm · g−1 = r · gk · gm · g−k · r = r · gm · r = gn−m .

Подгруппы,обладающие свойством(2.2.2), называются инвариантными.Абстрактное определение следующее

Определение4. Пусть H- подгруппа в группе G. Подгруппа H, для которой выполняется свойство gHg−1 H для любого элемента g из группы G, называется инвариантной подгруппой,или нормальным делителем .

Инвариантные подгруппы были введены.ГалуаЭ в1830г.,который занимаясь исследованием корней алгебраических уравнений,выявил значение этих особых подгрупп.Замечательным результатом .ЭГалуа является то,что группу можно делить на ее инвариантную подгруппу и результат деления будет снова группой. Для описания такого деления необходимо ввести понятие смежного класса.

Определение5. Подмножество элементов gH = {g · h|h H}, где g фиксированный элемент группы G, называется правым смежным классом элемента g группы G по подгруппе H. Аналогично: Hg = {h · g|h H} называется левым смежным классом элемента g G по подгруппе H.

Пример: Рассмотрим смежные классы группы Dn по подгруппе Cn. Если в качестве элемента g Dn мы возьмем элемент из подгруппы Cn, то его правый

мента g мы возьмем элемент вида rgm, то правый смежный класс по подгруппе Cn совпадает с множеством r · Cn. Очевидно, что эти два класса e · Cn и r · Cn не пересекаются и исчерпывают всю группу Dn. Аналогично, пользуясь формулой(2.2.3),легко получить,что Dn расщепляется на два непересекающихся левых смежных класса Cn · e и Cn · r, причем Cn · e = e · Cn = Cn и Cn · r = r · Cn.

Левые и правые смежные классы группы G по подгруппе H иногда обозначаются H\G и G/H, соответственно.

Утверждение2. Левые(правые)смежные классы либо совпадают,либо не пересекаются.Левые и правые смежные классы(одного и того же элемента)по инвариантной подгруппе совпадают.

Док-во. Пусть один и тот же элемент g принадлежит левым смежным классам Hg1 и Hg2: g Hg1 и g Hg2. Это значит, что существуют h1, h2 H, такие что h1g1 = g = h2g2. Отсюда следует, что g1 = h−1 1h2g2 = h′g2 и следовательно g1 Hg2, g2 Hg1, т . е . такие смежные классы совпадаютHg1 = Hg2. Для правых

19

смежных классов это утверждение доказывается аналогично.Пусть H является инвариантной подгруппой группы G. Тогда g G согласно определению инва-

Утверждение3. Смежные классы группы G по инвариантной подгруппе H образуют группу G/H,которая называется факторгруппой.

Док-во. Прежде всего определим произведение двух смежных классов g˜ ≡ gH

и ˜′ ≡ ′ элементов ′ группы по инвариантной подгруппе как множе- g g H g, g G H

ство всех произведений · ′ для всех элементов ′ таких,что и ′ ˜′. f f f, f f g˜ f g

В результате такого произведения мы получаем снова смежный класс (′, т . к . gg

gH · g′H = g · g′H в силу определения инвариантной подгруппы H. Т . о ., группо - вая аксиома для такого определения произведения смежных классов выполнена. Ассоциативность этого произведения очевидно следует из ассоциативности группового умножения в G. Обратный к gH смежный класcесть g−1H, а роль единицы выполняет смежный класс eH, совпадающий с подгруппой H. • Пример. Как мы выяснили группа Dn распадается в два смежных класса e˜ и r˜ по инвариантной подгруппе Cn: e˜ = e · Cn и r˜ = r · Cn. Причем, легко проверить, что таблица Кэли для элементов e˜ и r˜ совпадает с таблицей Кэли для группы C2:

e˜ · e˜ = e˜ , e˜ · r˜ = r˜ · e˜ = r˜ , r˜ · r˜ = e˜ ,

иg2 G2) с операцией умножения (g1, g2)(h1, h2) = (g1h1, g2h2) является группой

иназывается прямым произведением групп G1 и G2. Единицей в этой группе

выступает элемент (e1, e2), где e1 и e2 единицы в группах G1 и G2, соответ - ственно.

В группе G1 G2 имеются две инвариантные подгруппы G1 и G2 с элементами (G1, e2) и (e1, G2) и соответствующие фактор группы равны G1 G2/G1 = G2,

G1 G2/G2 = G1.

20