Group_theory_lecture

*

+

det

p

p + 1 . . .

N

zpq =

q

p + 1 . . .

N

,

p > q .

(3.7.9)

naim8

det

*p

p + 1 . . .

N +

p

p + 1 . . .

N

*

+

det

p

q + 1 . . .

N

kpq =

q

q + 1 . . .

N

,

p ≤ q ;

(3.7.10)

naim9

q

q + 1 . . .

N

det

*q

q + 1 . . .

N +

Т.о.,мы приходим к требуемому равенству

g = k z (3.7.6),где матрицы k и z

определены в(3.7.9), (3.7.10)Разложение. (3.7.6)будем называть

треугольным

разложением матрицы g.Из треугольного разложения и условия2.)раздела1.

мы заключаем,что при f (g) F ,

g = kz

f (g) = f(k z) = α(k) f (z) .

(3.7.11)

naim10

Поскольку функция α(k) фиксирована,функции

f(g) F можно заменить их

сужениями f (z) на Z и рассматривать пространство F как пространство функций

f (z) на Z. Действительно, найдем формулу для оператора Tg0 при этой реализации

пространства F . Пользуясь треугольным разложением, положим

g = k z ,

g g0 = k′′ zg0

,

(3.7.12)

naim11

где k, k′′ K и z, zg0 Z. Тогда

Tg0 f (g) = f (gg0) = f (k′′ zg0 ) = α(k′′) f (zg0 )

(3.7.13)

naim12

и,используя(3.7.11),мы получаем

Tg0 f (g) = α(k) Tg0 f (z) .

(3.7.14)

naim13

Из уравнений(3.7.13)и(3.7.14)следует,что

Tg0 f (z) = α−1(k) α(k′′) f (zg0 ) = α(k′) f(zg0 ) .

(3.7.15)

naim14

где k′ = k−1 k′′. С другой стороны, пользуясь фор мулами(3.7.12)мы получаем

k z g0 = k′′ zg0

z g0 = k′ zg0 .

(3.7.16)

naim15

Окончательно формулы(3.7.15)и(3.7.16)можно переписать(упрощая обозначе-

ния)так,что представление в пространстве функций f (z) на группе Z имеет

вид

Tg f (z) = α(k) f (zg) ,

(3.7.17)

naim16

где k и zg определяются из соотношения z g = k zg.

В качестве примера рассмотрим случай N = 2. Тогда zg = kzg запишется так

1 0

g11 g12

k11 k12

1

0

*z21 1

+*g21 g22 +

= * 0 k22

+*z21′

1+ ,

где

g11z21 + g21

z21′ = (zg)21

=

(3.7.18)

naim17

g12z21 + g22

k11 = (g12z21 + g22)−1 ,

k12 = g12 ,

(3.7.19)

naim18

k22 = g12z21 + g22

3.8Лекция16.Пространство Минковского

M.Группы Ло-

ренца и Пуанкаре.Бусты.Алгебра Ли для группы Пу-

анкаре.

1.Пространство Минковского M.

Рассмотрим n мерное вещественное векторное(линейное)пространство

Vn в

котором задано скалярное произведение векторов (a, b) R a, b Vn:

(a, b) = (b, a) , (a,α b + βc) = α(a, b) + β(a, c) ,

Vn) является диагонализуемой gij = diag(g1, g2, . . . , gn) (т.е.в Vn

можно выбрать

ортогональный базис).С помощью растяжения базисных векторов

ej → λj ej мы

x = xj ej ,

где числа xj (с верхними индексами)называются контрвариантными

координата-

ми.Числа

xj = (x, ej ) = xk gkj ,

(3.8.1)

cocon

(с нижними индексами)называются ковариантными координатами.Соотношение,

обратное к(3.8.1),имеет вид

xk = xj (g−1)jk = xj gkj ,

(3.8.2)

cocon2

x = xkek = x˜j ej ′ = x˜j Λjkek

xk = x˜j Λjk

x˜j = xi (Λ−1)ij = xi gim Λkmgkj .

(3.8.7) preob3

Последнее равенство следует из тождеств(3.8.6):

(Λ−1) j = g

im

Λmgkj

.

i

k

Преобразования(3.8.7)сох

раняют скалярный квадрат (x, x) = xigij xj

вектора

x:

xigijxj = x˜kΛki gij Λnj x˜n = x˜kgknx˜n .

Докажем,что преобразования Лоренца образуют группу.

1).Групповое свойство.

Рассмотрим два последовательных преобразованияЛо

и преобразование

e ′′ = Λ˜ke

:

ренца:преобразование(3.8.4)с матрицей

Λk

′

g

ij

=

j

j

j

k

˜k

˜n

˜k

˜k

j

также будет оставлять метрику gij

Λi

gkn Λj . Очевидно, что матрица Λi

= Λj Λi

˜k

является преобра-

инвариантной и следовательно преобразование с матрицей Λi

зованием Лоренца.

2.)Единичный элемент.

Преобразование Λji

= δji принадлежит множеству преоб-

разований Лоренца(т.к.сохраняет ме

трику)и является тождественным(единич-

ным).

3.)Обратный элемент.

Для каждого преобразования Λji обратное преобразование

(Λ−1)ji также является преобразованием Лоренца.Действительно

(Λ−1)ni gij (Λ−1)mj = gnkΛrkgri gij gmf Λsf gsj = gnkΛrkgrs gmf Λsf = gnkΛrk (Λ−1)mr = gnm

Выполнение этих трех условий доказывает,ч о преобразования Лоренца образуют

группу L, которая называется группой Лоренца.

Условия инвариантности(3.8.6)в м

ногомерном случае,когда метрика

gij есть

диагональная (p+q)×(p+q) матрица с p диагональными элементами равными +1

и q диагональными элементами равными −1, определяет преобразования Λ, обра -

зующие группу O(p, q). Из вида метрики(3.8.3) для

пространства Минковского

gij = Λi0 Λj0 − Λi1 Λj1 − Λi2 Λj2 − Λi3 Λj3

и рассмотрим

i = j = 0 компоненту этого соотношения (Λ0)2

= 1 +

3

(Λ1)2.

0

0

0

'i=1

i

Отсюда следует,что либо

Λ0 ≥ 1, либо Λ0 ≤ −1. С другой стороны соотношение

(3.8.6)записывается в виде

g = ΛgΛT и,вычисляя детерминант от обоих частей,

мы получаем det(Λ) = ±1. Т . о ., мы имеем4 возможности( класса )

Λ00 ≥ 1 ,

det(Λ) = 1 ,

L+↑

Λ00 ≥ 1 ,

det(Λ) = −1 ,

L−↑

(3.8.8) clasy

Λ00 ≤ −1 ,

det(Λ) = −1 ,

L−↓

Λ00 ≤ −1 ,

det(Λ) = 1 ,

L+↓

Подмножество L+ = L+↑ L+↓ образует подгруппу в L, которая называется соб-

ственной группой Лоренца и обозначается как SO(1, 3). Преобразования из мно-

жества L↑ = L+↑

L−↑ называются ортохронными. Собственные ортохронные пре-

образования L+↑

образуют подгруппу в группе L+. Важными примерами преобра-

зований Лоренца(3.8.7)для

классов(3.8.8)являются:

1.)тождественное преобразование:

I x = x;

2.)пространственное отражение:

P (x0, x1, x2, x3) = (x0, −x1, −x2, −x3);

3.)обращение времени: T (x0, x1, x2, x3) = (−x0, x1, x2, x3);

4.)полное отражение в пр-ве Минковского:

P T (xi) = (−xi) , (i = 0, 1, 2, 3);

I L+↑ , P L−↑ , T L−↓ , P T L+↓ . Полная группа Лоренца L состоит из4-х

смежных классов:

L = L↑ + P L↑ + T L↑

+ P T L↑ .

+

+

+

+

Λ00

Λ10

0

0

Λ =

Λ01

Λ11

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

x˜0 = chφ x0 + shφ x1 ,

x˜1 = shφ x0 + chφ x1 ,

(L↑ )

+

x˜0 = −chφ x0 − shφ x1 ,

x˜1 = −shφ x0 − chφ x1 ,

(L+↓ )

x˜0 = chφ x0 − shφ x1 ,

x˜1 = shφ x0 − chφ x1 ,

(L−↑ )

x˜0 = −chφ x0 + shφ x1 ,

x˜1 = −shφ x0 + chφ x1 ,

(L−↓ )

chφ =

1

, shφ =

−v/c

, x0 = ct , x1 = x .

61 − v2/c2

61 − v2/c2

x˜ =

x − v t

, t˜ =

t

− v x/c2

,

61 − v2/c2

61 − v2/c2

xm → x˜m = Λnmxn + am .

(3.8.9) puanc

Для преобразований(3.8.9)можно ввести обозначение

(Λ, a). Два последова-

тельных преобразования(3.8.9)и

˜m

˜m

n

m

приводят к закону композиции

x˜

= Λn x˜

+ a˜

этих преобразований

˜

˜

˜

(3.8.10) compos

(Λ, a˜) (Λ, a) = (ΛΛ, Λa + a˜) .

Преобразования(3.8.9)образуют группу

P, которая называется группой Пуанка-

ре.Обратный и единичный E элементы имеют вид

Λ˜nm

a˜m

Λkn

an

=

Λ˜nmΛkn

Λ˜nman + a˜m

0

1

0

1

0

1

Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Рассмотрим сначала инфинитезимальные

преобразования Лоренца(3.8.7)с матрицами

Λnm = δnm + ωnm + . . .

xk = x˜k + x˜nωnk + . . .

(3.8.11)

preob5

ωikgkj + gikωjk = 0 ωij + ωji = 0 ,

(3.8.12) preob7

xk → x˜k = xn(Λ−1)nk = xn(δnk − ωnk + . . .) =

(3.8.13) preob6

Mnm = (xn∂m − xm∂n)

(3.8.14)

lilo

и использовали обозначения ∂m =

∂

,

∂m = gmn∂n. Число независимых опера-

m

∂x

Mmn = −Mnm) в 4- х мерном случае

торов(3.8.14) (в силу их антисимметрии

(n, m = 0, 1, 2, 3) равно6,и эти операторы образуют алгебру Ли с определяющими

соотношениями

[Mnm, Mkl] = gmkMnl − glnMkm − gnkMml + glmMkn ,

(3.8.15)

lilo2

которые следуют из явного вида(3.8.14).Действительно,

[xn∂m − xm∂n, xk∂l] − (k ↔ l) = gmkxn∂l − glnxk∂m − gnkxm∂l + gmlxk∂n − (k ↔ l) =

= gmk(xn∂l − xl∂n) − gln(xk∂m − xm∂k) − gnk(xm∂l − xl∂m) + gml(xk∂n − xn∂k) ,

что эквивалентно(3.8.15).Шести-мерная алгебра Лиcобразующими

Mmn и опре-

деляющими соотношениями(3.8.15),в случае метрики

gnm = diag(1, −1, −1, −1),

называется алгеброй Ли группы Лоренца.

Формулы(3.8.11) – (3.8.15)справедливы и для общего случая

(p + q)-мерных

псевдоевклидовых групп вращения SO(p, q), для которых метрика имеет вид

gnm = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1) ,

8

9:

; 8

9:

;

метричных (p + q)-мерных матриц Mnm) алгебры Ли(3.8.15)равна

(p+q)(p+q−1) .

2

Вспомним теперь,что в группу Пуанка ре входят,кроме лоренцевских враще-

ний,еще и преобразования сдвигов:

xm → x˜m = xm + am. Эти преобразования

[P n, P m] = 0 , [P n, Mkm] = gknP m − gmnP k ,

(3.8.16) genP

D = xm Pm , Km = 2 xm D − (xmxm) Pm ,

(3.8.17)

DK

с коммутационными соотношениями

[D, Pm] = −Pm , [D, Km] = Km , [D, Mnm] = 0 , [Kn, Km] = 0 ,

(3.8.18)

confalg

т.е.истинный импульс равен

(x0+x1) Pk.

1

Упражнения.

1.Доказать,что оператор

J2 = MmnMmn (квадратичный оператор Казимира)

является центральным элементом для алгебры Ли(3.8.15)группы

SO(p, q), т . е .

A 1

A 2

1

2

1

1

1

1

(3.9.1)

A = A21

A22

,

A1

A2

− A2

A2

= 1 .

uni2

Эти матрицы образуют группу SL(2, C) относительно матричного умножения,т.к.

произведение двух унимодулярных матриц дает снова матрицу с det = 1, а обрат-

ная

A221

−A112

,

A−1 =

(3.9.2)

uni2m

−A2

A1

и единичная матрицы также являются унимодулярными.

Каждому4-вектору с координатами (x0, x1, x2, x3) мы сопоставим 2×2 эрмитову

матрицу

,

0

3

1

2

X = xmσm =

x1

+ x 2

x

0 − ix3

(3.9.3)

Xx

x

+ ix

x

− x