Group_theory_lecture

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

|j, m = aj,m(S1− + . . . + S2−j)j−m|↑ . . . ↑ ,

где(см. (3.4.30))

*(j (j m)! (2j)!+

где(см. (3.4.30))

.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

То,что этот вектор действи тельно образует1-мерное инвариантное подпространство следует из того факта,что ∆S− и ∆Sz также равны нулю на этом векторе.

Заметим,что состояния(3.5.22)яв ляются симметричными комбинациями про- изведений2-векторов(3.5 .16),в то время как(3.5.24) –антисимметричен.

Теперь общая процедура выделения неприводимых подпространств из Vn может быть описана следующим образом.Рассмотрим башню из базисных векторов

в Vn

|↑↑ . . . ↑

m = n/2

9:. .

;

. . .

. . . ,

. . .

m = n/2 1

|↓↑

↑

|↑↓↑

↑

|↑↑

↑↓

−

;

............................................

.......

|↑↓ . . . ↓ ,

|↓↑↓ . . . ↓ . . . , |↓↓ . . . ↓↑

m = −n/2 + 1

9:. .

;

m = n/2

|↓↓

↓

−

;

Возьмем вектор со старшим весом |↑↑ . . . ↑ с m

= n/2,

в котором все спины

;

направлены вверх.Это означает,что

оператор

8 9:

∆n(S+) = S+ 1 . . . 1 + 1 S+ 1 . . . 1 + . . . + 1 · · · 1 S+

≡

;

≡ S1+ + S2+ + . . . + Sn+ .

(3.5.25) dnsp

(в последней строке мы использовали краткие обозначения)равен нулю на этом

векторе.Подействуем на |↑↑ . . . ↑ понижающим оператором

8 9: ; n

∆n(S−) = S− 1 . . . 1 + 1 S− 1 . . . 1 + . . . + 1 · · · 1 S−

≡

; 8

;

≡ S1− + S2− + . . . + Sn− ,

(3.5.26) dnsm

в результате чего получаем вектор как симметричную линейную комбинации векторов с m = n/2 −1, и т . д . После действия(∆n(S−))k мы получаем симметричный вектор с m = n/2 − k. Процедура остановится на шаге k = n.

Затем,мы берем произвольный оставшийся вектор в Vn с проекцией спина на ось z равной m = n/2 − 1 (собственный вектор оператора Sz с собственным

121

значением (n/2 − 1)):

|n/2 − 1, n/2 − 1 = a1| ↓↑ . . . ↑ + a2| ↑↓↑ . . . ↑ + . . . + an| ↑ . . . ↑↓

и налагаем на него условие старшего веса

	∆n(S+)\|n/2 − 1, n/2 − 1 = 0 ,
где ∆n(S+) определено в(3.5.25).Это условие фиксирует параметры ai в опре -
делении вектора \|n2	− 1, n2 − 1 как a1 + a2 + . . . + an = 0 в силу(3.5.20).Т.е.мы
можем выбрать a1	= −a2 ai = 0 ( i > 2) или a2 = −a3 a1, ai = 0 ( i > 2) и

т.д..Т.о.,мы получаем n − 1 различных независимых векторов со старшим весом m = n/2 − 1 и спином j = n/2 − 1. Все эти старшие вектора порождают идентичные n−1-размерные НП.Действите льно,как мы видели выше,антисимметричную комбинацию ↓↑ − ↑↓ можно рассматривать как скаляр и в результате получить

|↑

n−2

↑

√

....

↓↑ −|

↑↓

....

или в более общем виде

;

√

(3.5.27) norm33

(Si−k

− Sj−k )|↑ ....

↑ =

2m |n/2 − 1, n/2 − 1 ,

(фактор √

;

введен для правильной нормировки векторов в левой и правойча

стях).Далее,мы действуем на вектор

|↑

....

↑ понижающими операторами

(∆n−2(S−))k

k = 1, . . . , n

n−2

1-мерное

−

с спомощью(3.5.20),и

8 9:

;

−

пространство со спином j = n/2−1. Далее, мы выделяем вектор со старшим весом в пространстве Vn с проэкцией m = n/2−2 и действуя понижающими операторами порождаем n − 2-мерное инвариантное подпространство со спином j = (n/2 − 2), и т . д .

Т.о.,в пространстве произведений n 2-мерных пространств со спином 1/2 мы получаем инвариантные подпространства со спинами j = n/2, n/2 − 1, . . . 1/2 или 0 в зависимости от того является число n четным или нечетным.Размерность этих пространств,как мы знаем,равна 2j + 1. Эта процедура также показывает,что наиболее удобные обозначения для базисных векторов есть |j, m , где j -

обозначает полный спин и соответсвует собств.значению	j(j + 1) оператора J2,
и т . о . фиксирует НП, mи = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j	перечисляет базис в НП с
фиксированным спином j.

122

Теперь мы определим эрмитово сопряжение на алгебре sl(2): (S±)† = S , H† = H и введем нормированные базисные состояния

−

такие,что j, m′|j, m = δmm′. Рассмотрим произведение двух базисных векторов из НП со спинами j1 и j2

|j1m1 |j2m2 =

= a

j2,m2

(S−

+ . . . + S−

)j1−m1 (S

−

+ . . . + S−

)j2

−m2

|↑

. . .

↑

j1,m1

2j1

2j1+1

2j1+2j2

+2j

Затем,разложение типа

82j19:

− + . . . + S−

)j1−m1 (S−

+ . . . + S−

)j2−m2

|↑

. . .

↑

2j1

2j1+1

2j1+2j2

+2j

82j19:

j m j m ; j m

(S−

+ . . . + S−

)j3−m3

. . .

3 3

| 1 1 2 2

2j3

|↑

↑

=m +m

;

дает нам коэффициенты Клебша-Гордана

j3m3|j1m1; j2m2 для группы su(2).

Пример. Рассмотрим произведение

|1, 0 |1, 1 = a1,0(S1− + S2−)| ↑↑ a1,1| ↑↑ = a1,0(S1− + S2−)| ↑↑↑↑ =

= a1,0

(S1− + S2− + S3− + S4−) +

(S1− − S3−) +

(S2− − S4−)3

| ↑↑↑↑ =

= a1,0 ,

|2, 1 + |1, 1 -

(|2, 1 + |1, 1 ) ,

= √

2a2,1

где мы приняли во внимание нормировку(3.5.27).

Подход4.

Теперь мы обсудим еще один способ явного вычисления коэффициентов Клебша- Гордана–так называемый метод экстрема льного проектора.Эк стремальный проектор для случая алгебры Ли sl(2) был введен в работах П.-О.Лҷвдина и Дж. Шапиро[24].Для алгебр sl(N) и остальных простых алгебр Ли экстремальные

123

проекторы были построены и изучены в работах.МР.Ашеровой,В.Н.Толстова и Ю.Ф.Смирнова 10 (см.,например, [25], [26]и ссылки,приведенные там).

Предложение. Для расширенной обертывающей алгебры Ли sl(2) (3.4.13)рассмотрим формальный ряд

P =	∞	ek	ek	(−1)k (2 H + 1)!	∞		(−1)k (2 H + 1)!	ek ek	,
P =	k)	ek	ek	(−1)k (2 H + 1)!	∞		(−1)k (2 H + 1)!	ek ek	,
	k)	−			)			− +		(3.5.28)
	=0	−	+ k! (2H + k + 1)! ≡ k=0 k! (2H + k + 1)!					− +		(3.5.28)
(2 H+k+1)!	:= (2H +k+1)·(2H +k) · · ·(2 H +2). Оператор(3.5.28)удовлетворяет
где (2H+1)!
соотношениям
				e+ P = 0 = P e− ,						(3.5.29)
и является проектором
				(P )2 = P .						(3.5.30)
Доказательство.			Рассмотрим формальный ряд
				∞
				k)	ek	ek Xk(H) ,				(3.5.31)
				P :=	ek	ek Xk(H) ,				(3.5.31)
			=0		−	+
			=0
Соотношения(3.5.29),с учетом тождес					тва(3.4.18),приводят к следующим урав-
нениям на коэффициенты Xk(H):

prtol

pro2

pro3

prtol1

			k (2 H + k + 1) Xk(H) + Xk−1(H) = 0 ,
которые решаются в виде
X	(H) = X	(H)	(−1)k		(2 H + 2) ≡	X	(H)	(−1)k(2 H + 1)!	,
k	0		k! (2H + k + 1)	· · ·	(2 H + 2) ≡	0		k! (2H + k + 1)!
				· · ·
где из условия (P )2 = P следует,что					X0(H) = 1.

(3.5.32) solxn

Q.E.D.

Из равенств(3.5.29),с учетом(3.4.30)и(3.4.32),следует,что для любого представления T j мы имеем

		P \|j, m = δm,j \|j, j ,			'm	(3.5.33) prok3
	P	проецирует любое состояние				cm	j, m , в
и это означает, что проектор		(3.5.28)	j			\|
пространстве неприводимого представления T				, на старший вектор cj \|j, j . С дру-

гой стороны действие проектора P (3.5.28)на любой вектор |m из пространства

10Автор имел удовольствие слушать курс лекций проф.Ю.Ф.Смирнова по теории групп в Московском университете.Естественно,что Ю.Ф.излагал способ вычисления коэффициентов Клебша-Гордана,основанный на использовании экстремального проектора.Соответственно,автор этих строк смог сдать зачет только с четвертого подхода.

124

приводимого представления < T j :

j≥m

)

H|m = m|m | m := c˜j |j, m ,

j≥m

вырезает состояние P |m = c˜m|j = m, m .

Замечание.

Пользуясь автоморфизмом e+ ↔ e−, H → −H алгебры sl(2) (3.4.13)

мы можем переписать(3.5.28)и(3.5.29)в следующем виде

−

P ′ :=

∞

(−1)k(−2 H + 1)!

ek ,

(P ′)2 = P ′ ,

(3.5.34)

prtols

=0 k! (

2H + k + 1)!

−

P ′ = 0 = P ′ e+ ,

(3.5.35)

pros2

−

и,т.о.,определить проектор

P ′

на"низшее"состояние:

P ′|j, m = δm,−j |j, −j .

Учитывая формулы(3.4.18)и(3.5.29)мы получаем

e+k e−k P = k(2H − k + 1)e+k−1e−k−1 P = . . . = k!(2H − k + 1) · · ·(2H) P =

k!(2H)!

P .

(2H − k)!

(3.5.36)

prok2

Пользуясь этими соотношениями легко показать,что операторы

Pk = C(H, k) ek

P ek

(3.5.37)

prok

−

где C(H, k) =

(2H+k)!

, также являются проекторами Pk2 = Pk. Действительно, из

k!(2H+2k)!

(3.5.36)и очевидного равенства

[H, P ] = 0, следует тождество

k k k

k!(2H)!

k k

e− P e+e− P e+

= e− P

P e+

= e−

P e+ =

e− P e+ ,

(2H − k)!

C(H, k)

которое эквивалентно Pk2 = Pk. Подействуем проектором Pk на состояние |j, m . В

результате получаем

Pk |j, m = C(H, k) e−k P e+k |j, m = C(m, k) e−k P e+k |j, m = δk,j−m |j, j − k ,

(3.5.38)

prok4

где мы учли равенства:

ek+ |j, m |j, m + k (k ≤ j − m) , ek+ |j, m = 0 (k > j − m) ,

e+−

|j, m =

6C(m,j−m) |j, j ,

e−−

|j, j =

6C(m,j−m) |j, m ,

C(m, j − m) =

(j+m)!

(2j)!(j−m)!

(см. (3.4.30),(3.4.32))Формула. (3.5.38)обобщает(3.5.33)и показывает,что

– проектор на состояние |j, m .

(3.5.39) prok4a

Pj−m

125

Обобщим все введенные выше проекторы.Для этого рассмотрим операторы

(ср.с(3.5.37))

Pk,m =

C(H, k) ek

P em

C(H, m) ,

(3.5.40) prok5

−

k = k′

P ek ek′P =

Для операторов(3.5.40)имеем

= 0

если

(это следует из

n,k

k′,m

+ −

0 (k = k′)

в силу(3.5.29)),а при

k = k′

e−n P e+k C(H, k) e−k P e+m

Pn,k Pk,m =

C(H, n)

C(H, m)

= C(H, n) en− P em+ C(H, m) = Pn,m .

Т.о.,окончательно имеем

Pn,k Pk′,m = δk,k′ Pn,m ,

(3.5.41) prok6

и,соответственно,легко получить,что действие таких операторов на любое-со стояние имеет вид

6		6
	Pn,k \|j, m = C(H, n) e−n P e+k		C(H, k) \|j, m =
6				(3.5.42) prok7

=C(m, k) C(m − n + k, n) en− P ek+ |j, m = δm+k,j |j, j − n .

Для того,чтобы вычислить ККГ по формуле(3.5.11),выразим вектор связанного базиса |j1j2; jm как результат действия"проектора"(3.5.40)на вектор несвязанного базиса.Согл асно(3.5.42)получаем

j1j2; jm

∆(Pj

m,j

m′

)

j1m′

j2m′

(3.5.43)

−

где Q - нормировочная константа и ∆ - коумножение(3.5.18).Т . о ., из (3.5.11)мы получаем

j1m1, j2m2

j1j2; jm

j1m1

j2m2

∆(Pj

m,j

m′

m′ )

j1m′

j2m′

(3.5.44)

−

− 1

− 2 |

1 |

Т.к.проекции

m1′ и m2′ в (3.5.43), (3.5.44)можно выб рать любыми(с единственным

условием 1

≤

),то для простоты мы выберем

1 и

−

1. Тогда

m′

+ m′

m′ = j

проектор в(3.5.43), (3.5.44)упрощается и(3.5.43)переписывается в виде

|j1j2; jm =

∆(Pj−m,0) |j1 j1 |j2 j − j1 ,

(3.5.45)

после чего нормировочный множитель определяется по формуле

Q2 = j1 j1| j2 j − j1| ∆(P ) |j1 j1 |j2 j − j1 ,

(3.5.46)

prok8

prok9

prok10

prok11

126

где мы учли равенство P0,j−mPj−m,0

= P (3.5.41),а общее выражение для ККГ

можно записать в виде

j m , j m j j ; jm =

j1m1| j2m2|∆(Pj−m,0) |j1 j1 |j2 j − j1

(3.5.47) prok12

1 1 2

2| 1 2

j1 j1| j2 j − j1|∆(P ) |j1 j1 |j2 j − j1 1/2

Вычислим явные выражения для ККГ(3.5

.47).Сначала вычислим числитель,

пользуясь формулами(3.4.31), (3.4.32)и тем фактом,что

∆ – гомоморфизм, а

также тем,что в правой"обкладке"фигурирует старший вектор

|j1 j1 :

∆(Pj−m,0) |j1 j1 |j2 j − j1 = 6

∆(e−)j−m ∆(P )|j1 j1 |j2 j − j1 =

C(H, j − m)

= 6

∆(e−)

−

k=0 k−!(2j+k+1)! ∆(e−) ∆(e+) |j1 j1 |j2 j − j1 =

C(m, j − m)

j m

∞ ( 1)k (2j+1)!

= 6C(m, j − m) ∆(e−) −

k=0 k−!(2j+k+1)!

∆(e−) |j1 j1 (e+|j2 j − j1 ) =

1) (2j+1)!

m ∞ (

(j+m)!

(j2+j−j1+k)!(j2+j1−j)!

k+j

∞ ( 1)k (2j+1)!

(2j)!(j−m)!

k=0 k−!(2j+k+1)!

7(j2−j+j1−k)!(j2−j1+j)! ∆(e−)

−

|j1 j1

|j2 j − j1

+ k .

Т.о.,для вычисления числителя(3в.5.47)необходимо,пользуясь равенством

m =

m1 + m2, формулой бинома Ньютона и ортогональностью базисных векторовj1m1|er−|j1 j1 δr,j1−m1 , вычислить свертку

j1m1| j2m2|∆(e−)k+j−m|j1 j1 |j2 j − j1 + k =

= j1m1| j2m2

r=0

Cr −

,e−

e−

− − -

|j1 j1 |j2 j −

j−m+k

m+k r

k+j

m r

= Cj1−m1

j2m2

| e−

|j2 j − j1 +

(j1+m1)!

j−m+k

(2j1)!(j1−m1)!

k+j−m2−j1

(j−m+k)!

(2j1)!(j1−m1)!

(j2

+j−j1+k)!(j2−m2)!

(j1−m1)!(j−j1−m2+k)!

(j1+m1)!

(j2

−j+j1−k)!(j2+m2)!

Т.о.,окончательно мы получаем(ср.с формулой(5.13)в[26])

j1 + k

j1m1| j2m2|∆(Pj−m,0) |j1 j1 |j2 j − j1 =

= (2j + 1)7

(2j)!(j+m)!(j2+j1−j)!(j2−m2)!(2j1)!

(−1)k

(j−m+k)!(j2+j−j1+k)!

(j−m)!(j2−j1+j)!(j2+m2)!(j1−m1)!(j1+m1)!

k=0

k!(2j+k+1)!

(j−j1−m2+k)!(j2−j+j1−k)!

nomin

(3.5.48)

Положим в этой формуле m1 = j1, m2 = j −j1 и,соответственно, m = m1 +m2 = j.

В результате получаем выражение

| − |

−

(−1)k

− −

(2j+1)!(j2

+j1−j)! j1+j2−j

(j2+j−j1+k)!

j1j1

j2j j1 ∆(P ) j1 j1

j2 j

j1 =

(j2 j1

+j)!

k!(2j+k+1)!

(j2 j+j1 k)! ,

(3.5.49)

nomin2

которое определяет нормировочную константу Q (3.5.46).

127

Эту константу можно вычислить непосредственно другим способом.Из определения P (3.5.28)мы получаем для правой части(3.5.46)выражение

j1j1| j2j − j1|∆(P ) |j1 j1 |j2 j − j1 = j2j − j1|Pj|j2 j − j1 =

(j+j2−j1)!

j2+j1−j

(j+j2−j1)!

(2j2)!(j1+j2−j)!

j2j2|e+

Pj e−

|j2 j2

(2j2)!(j1+j2−j)!

X(j2, j, j2 + j1 − j) ,

nomin3

(3.5.50)

где мы использовали обозначения

(−1)k (2 j+1)!

- ,

∞

Pj = k=0 , k! (2j+k+1)!

e− e+

X(j2, j, m) = j2j2|e+

Pj e− |j2 j2 .

(3.5.51)

nomin3a

Из соотношений(3.4.13), (3.4.18)следует тождество

∞ ( 1)k (2 j+1)!

e+ Pj

= k=0

k−! (2j+k+1)!

,k e−−

(2 H − k + 1) + e− e+-e+ =

(3.5.52)

nomin4

' k

(2 j+1)! (2j−2H+2)

(2j−2H+2)

∞ (−1)

k+1

= =0

k! (2j+k+2)!

e− e+

(2j+2)

Pj+1/2

e+ .

Рассмотрим теперь функцию X(j2, j, m) (3.5.51),для которой получим разностное

уравнение

m 1 (2j−2H+2)

X(j2, j, m) = j2j2|e+

e−

|j2 j2 =

j2j2|e+−

(2j+2)

Pj+1/2 e+ e− |j2 j2 =

(2j+2)

j2j2|e+

−

Pj+1/2

,me−

−

(2H − m + 1) + e−e+- |j2 j2 =

(2j−2j2+2m)

m 1

(2j−2j2+2m)(2j2−m+1)m

, m

− 1)

(2j+2)

X(j2, j + 2

(3.5.53)

nomin5

где мы воспользовались тождествами(3.5.52), (3.4.18)Т..к.,

X(j2, j, 0) = 1 ( j >

j2), то полученное разностное уравнение (3.5.53)легко решается итерациями

(2j−2j2+2m)(2j2−m+1)m

(2j−2j2+2m−1)(2j2−m+2)(m−1)

· · ·X(j2, j +

X(j2, j, m) =

(2j+2)

(2j+3)

2 , 0) =

(2j−2j2+2m)! (2j2)! m! (2j+1)!

(2j−2j2+m)! (2j2−m)! (2j+m+1)!

(3.5.54)

nomin6

Подставляя это выражение(3в.5.50)мы получаем окончательно

= j1j1| j2j − j1|∆(P ) |j1 j1 |j2 j − j1

= (j−j2+j1)! (j+j2+j1+1)! ,

(3.5.55)

nomin3b

(2j1)! (2j+1)!

и сравнивая это выражение(3с .5.49)мы

получаем известное выражение для фак-

ториальной суммы

j1+j2−j

(−1)k

(j2+j−j1+k)!

(2j1)! (j2−j1+j)!

−

k!(2j+k+1)! (j2

j+j1

k)!

−

j2+j1)! (j+j2+j1+1)!(j2+j1

−

j)! .

128

Наконец,подставляя(3.5.48)и(3.5.55)в(3.5.47),мы выводим окончательное выражение для ККГ(ср.с формулой(2.84)в[27])

j1m1, j2m2|j1j2; jm =

j1m1| j2m2|∆(Pj−m,0) |j1 j1 |j2 j−j1

j1 j1| j2 j−j1|∆(P ) |j1 j1 |j2 j−j1 1/2

j1+j2−j

(−1)k

(j−m+k)!(j2+j−j1+k)!

(2j+1)(j−j2+j1)! (j+j2+j1+1)!(j+m)!(j2+j1−j)!(j2−m2)!

(j−m)!(j2−j1+j)!(j2+m2)!(j1

−m1)!(j1+m1)!

k=0

k!(2j+k+1)!

(j−j1−m2+k)!(j2−j+j1−k)!

prok14

(3.5.56)

Выражения для ККГ(3.5.9)и(3.5.56)не

совпадают,однако могут быть при-

ведены одно к другому.

Введем новые обозначения для ККГ

= j1m1, j2m2|j3, −m3

(3.5.57)

prok15

Символы( 3j-символы) (3.5.57)обладают замечательными свойствами симметрии

1.они не меняются при четной перестановке столбцов

+ ;

* m11

m22

m33

+ =

* m33

m11

m22

+ =

* m22

m33

m11

2.они приобретают фазовый множитель

(−1)j1+j2+j3 при нечетной перестановке

столбцов;

3.они приобретают фазовый множитель

(−1)j1+j2+j3 при изменении знаков всех

проекций на противоположные mi → −mi (m1 + m2 + m3 = 0).

В качестве примера приведем таблицу для j1 m1, 1/2 m2|jm :

m2 = 1/2

m2 = −1/2

j1 +

(j1+m+1/2) 1/2

(j1−m+1/2)

1/2

(2j1+1)

j1 −

(j1−m+1/2)

1/2

(j1+m+1/2)

1/2

−, (2j1+1) -

(2j1+1)

3.6Лекция14.Унитарная группа

SU(N) и ее алгебра Ли.

Базис Картана.Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли.Алгебра Ли для группа SU(3) и матрицы ГеллМанна.

Неокончена

1.Алгебра Ли группы SU(N).

Рассмотрим унитарное преобразование U SU(N), т . е . линейное преобразование

129

комплексного N-мерного вектора (x1, x2, . . . xN ): xi → Uij xj , сохраняющее квадратичную форму(2.6.19),т.е. U U† = I (I единичнвя N × N матрица),и такое,что det(U) = 1. Рассмотрим это преобразование в инфинитезимальной форме

U = I + ψ A + ψ2 . . . ,

где ψ – бесконечномалый вещественный параметр, и A – N ×N матрица,которая частично определяется из условия унитарности

I = (I + ψ A + ψ2 . . .)(I + ψ A† + ψ2 . . .) A + A† = 0 ,

и требования унимодулярности det(U) = 1:

1 = det(I + ψ A + ψ2 . . .) = 1 + ψ Tr(A) + ψ2 . . . Tr(A) = 0 .

(3.6.1) det11

Отсюда следует,что A – антиэрмитова бесследовая матрица, которую можно представить в виде произведения бесследовой эрмитовой матрицы на мнимую единицу.

Очевидно,что произвольная эрмитова комплексная бесследовая N × N- мат - рица имеет вид:

x12 + iy12			x12	−h2
	h1		x12	iy12
	.			.
	..		x23	..
x13	+ iy13		x23	+ iy23
x	+ iy		x	+ iy


N1		N1	N2		N2

13	− iy	13
x23	− iy	23 . . .
x	−3iy . . .
	h.	.. . .
	.	.	.
	.		.
	. . .	. . .

x1N x2N x3N

iy1N		=	h˜iHi + (xij Sij + yijTij).
− iy3N
− iy2N		N	)
..	)
−.

		i=1	i<j

(3.6.2)

alliN

где hi, xij , yij

R и

N hi = 0 (т.е.параметры

представимы в виде hi =

˜i

N ˜j

'i=1

−

образующих алгебры Ли,мы можем

=1 h ).Согласно определению(3.2.2)

рассматривать эрмитовы матрицы

= eii −

(i = 1, . . . , N − 1) ,

Sij = eij + eji ,

Tij

= i(eji − eij ) ,

(3.6.3)

alliN5

Hi† = Hi ,

Sij†

= Sij , Tij†

= Tij ,

(3.6.4)

alliN4

входящие в разложение(3.6.2),как баз

исные элементы(образующие)алгебры

Ли группы SU(N) в определяющем представлении.

В (3.6.3) мы использовали

матричные единицы eij

(1 ≤ i, j ≤ N) – матрицы, у которых все элементы равны

нулю,кроме элемента на i-ой строке и j-ом столбце равеного единице,т.е.

(eij)km = δik δjm

(3.6.5)

mmed

eij ekm = δkj eim ,

I =

eii .

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015709.13 Кб23Groups-3.pdf
#
03.06.2015914.03 Кб60Groups-4.pdf
#
03.06.2015628.28 Кб43Groups-5.pdf
#
03.06.2015678.55 Кб19Groups-6.pdf
#
03.06.2015694.85 Кб19Groups-7.pdf
#
03.06.20152.02 Mб143Group_theory_lecture.pdf
#
27.03.20164.86 Mб64Handbook of Applied Cryptography.pdf
#
27.03.201624.13 Mб214Holpzaphel_-_Nonlinear-Solid-Mechanics-a-Contin.pdf
#
16.11.20181.1 Mб18homework_chemestry.doc
#
03.06.201512.95 Mб12Horizontal_Launch_-_a_Versatile_Concept.pdf
#
01.04.2025366.59 Кб1How to describe graphs.doc