Group_theory_lecture

U = exp 2i ψ(ni 2i )3 = exp ,i ψ(niS¯i)-

,

(3.4.3)

usu2

σ

¯

1

σi и,без

где мы ввели в рассмотрение перенормированные матрицы Паули Si =

2

ограничения общности,можем считать вектор (n1, n2, n3) – единичным. Напомним,

что матрицы σi удовлетворяют соотношениям

σiσj = δij + iϵijkσk ,

(3.4.4)

usu25

из которых следуют равенства

(niσi)2 = n 2 = 1 (niσi)2k = 1 , (niσi)2k+1 = (niσi) .

(3.4.5)

usu26

[σi, σj ] = 2iϵijkσk ,

¯

1

которые в перенормированном базисе Si =

2 σi переписываются в виде

¯ ¯

¯

(3.4.8) spin111

[Si, Sj] = iϵijkSk .

Если в алгебре so(3) (3.3.15)мы сделаем замену

Sj → −iSj , т . е . рассмотрим эрми-

товы генераторы

i

S2 =

,

i

−0

S1 =

0

0

,

0

0

0

S3

=

0

(3.4.9) spin33

0

0

0

0

0

i

0

i

0

0

i

−0

i 0

0

0

0

0

−

S1 = 1

1

0

1

,

S2 =

i

1

−0

1

,

S3

=

0

0

0

. (3.4.10)

spin333

√2

0

1

0

√2

0

1

0

1

0

0

0 1 0

0 1

−0

0 0

1

−

Т.о., 2 × 2 матрицы

¯

1

и 3 × 3 матрицы Si

(3.4.10)можно рассматривать

Si

= 2 σi

¯

ˆ

ˆ

одной и той же

как разные матричные представления ρ1,2: Si = ρ1(Si), Si = ρ2(Si)

ˆ

(i = 1, 2, 3) и определяющими соотношениями

алгебры Ли с образующими Si

ˆ

ˆ

ˆ

,

(3.4.11)

spin

[Si

, Sj] = iϵijkSk

а матрицы U(ψ) (3.4.3)и Tn(ψ) (3.3.12)можно рассматривать как соответству-

ˆ

ˆ

ющие представления U(ψ) = ρ1(U(ψ)) и Tn(ψ) = ρ2(U(ψ)), для " универсально-

го"элемента группы SU(2):

Uˆ (ψ) = exp ,i ψ(niSˆi)- .

(3.4.12)

usu21

Подчеркнем,что хотя алгебры Ли(3.4.11)групп

SO(3) и SU(2) совпадают,что

говорит об одинаковых локальных свойствах этих групп,глобально эти группы не

совпадают.Действительно,в конце пре

дыдущей лекции мы показали,что группа

SU(2) дважды накрывает группу SO(3).

Трехмерная алгебра Ли с определяющими соотношениями(3.4.11)называет-

ся алгеброй Ли su(2) группы Ли SU(2) или алгеброй квантового спина.Три об-

разующие

ˆ

(три компоненты вектора спина)я

вляются операторами.Квадрат

Si

длинны оператора вектора спина

J

2

ˆ2

= Si , который в силу определяющих соотно-

шений(3.4.11)коммутирует со всеми образующими

su(2): [J

2

ˆ

, Sj] = 0, называется

квадратичным оператором Казимира алгебры su(2). Согласно Лемме Шура( см .

Лекции5,6)такой оператор должен

быть пропорционален единичной матрице в

любом неприводимом представлении su(2). Для двух представлений ρ1,2 оператор

J2 равен,как нетрудно увидеть,для двумерного случая

ρ1(J2) = 21 (21 + 1)1 = 43 12,

¯

(спин j = 1/2) и для трехмерного

для двумерного случая Spec(S3) = (1/2, −1/2)

собственным ортонормированным векторам:

(1, 0), (0, 1) для двумерного случая и

v1 =

1

(1, i, 0), v2

= (0, 0, 1), v3

=

1

(i, 1, 0),

vi , vj = δij ,

2

2

Покажем,что на самом деле для алгебры

su(2) существует целый набор ко-

нечномерных представлений ρ2j , каждое из которых характеризуются значением

спина j и имеет размерность (2j + 1). При этом спин j может принимать толь-

ко неотрицательные целые и полуцелые значения j

= 0, 1

, 1,

3 , 2, . . .. Кроме того

2

2

для каждого такого конечномерного представления,характеризуемого значением

ˆ

имеет соб-

j, матрица проекции квантового вектора-спина на третью ось ρ2j (S3)

ственные значения m = (j, j − 1, j − 2, . . . , 1 − j, j) .

Для начала заметим,что алгебра Ли su(2) является вещественной формой -ал

гебры sl(2) над полем комплексных чисел(другими словами,любая бесследовая

2 × 2 - матрица может быть представлена в виде разложения по матрицам Паули

(3.3.16),где координаты xi не обязаны быть вещественными числами).Конечно-

мерные представления у этих алгебр совпадают.Более удобно изучать алгебру

sl(2), поэтому в дальнейшем мы сконцентрируемся на рассмотрении представле-

ний именно этой алгебры.Стандартный базис для алгебры

sl(2) выбирается сле-

ˆ

ˆ

ˆ

дующим образом e± = S1

± iS2,

H = S3 (этот базис называется базисом Картана

для алгебры Ли sl(2)).Тогда определяющие соотношения(3.4.11)принимают вид

[e+, e−] = 2H ,

[H, e±] = ±e±

H e± = e± (H ± 1) .

(3.4.13)

li2

Для определяющего представления ρ1 мы имеем ρ1(e±) = 21 (σ1 ±iσ2), ρ1(H) = 21 σ3:

e+ =

0 1

,

e =

0 0

,

H =

1

1

0

.

(3.4.14)

li1

0 0

1 0

0 −1

−

2

Напомним,что оператор

J

2

ˆ2

1

2

(3.4.15)

kaz

= Si =

(e−e+

+ e+e−) + H

= e−e+ + H(H + 1) ,

2

v−1 := e+v0 = 0 .

(3.4.16) lie33

Будем порождать новые вектора,действуя на старший вектор("вакуум")

v0 "по-

нижающими"операторами e

: vk := (1/k!) ek v0. Тогда легко проверить следующие

−

−

e+ e−k = (2H + e− e+) e−k−1 = 2 e−k−1(H − k + 1) + 2 e−k−1(H − k + 2) + e−2 e+ e−k−2 =

= . . . = 2 ek−1

(k H

−

(1 + 2 + . . . + k

−

1)) + ek

e

= k ek−1

(2 H

−

k + 1) + ek

e .

−

−

+

−

−

+

(3.4.18)

li3a

Из(3.4.17)(a)следует,что все

vk ̸= 0 имеют различные собственные значения

и,т.о.,являются линейно независимы

ми.Линейная независимость собственных

векторов некоторого оператора H с различными собственными значениями до-

казывается"от противного".Пусть имеется собственный вектор

v: Hv = νv с

собственным значением ν ̸= νk, где Hvk = νkvk и такой, что v = 'k vk. Организуем

оператор 5k(H − νk) и подействуем им на уравнение v = 'k vk. Правая часть об-

нуляется,а левая равна

5k(ν −νk)v, и следовательно v ≡ 0. Отметим, что имеется

другое доказательство этого факта,основанное на ортогональности собственных

векторов эрмитова оператора H с разными собственными значениями.

Пусть V конечномерное пространство dim V < ∞, которое порождается из

v0 действием всех образующих sl(2). Тогда существует такое наименьшее целое

число n ≥ 0, для которого vn ̸= 0, но vn+1 = 0 и,следовательно,

vn+k = 0 k ≥ 1.

Т.о.,в качестве базиса в

V можно выбрать вектора (v0, v1, . . . , vn) с собственными

значениями H: (λ,λ − 1, λ − 2, . . . ,λ − n) и мы соответственно имеем

V = Vλ Vλ−1 . . . Vλ−n

dimV = n + 1 .

(3.4.19)

razl

V = V2

V 2 −1

. . . V− 2 ,

(3.4.20) razlo

n

n

n

Матричное представление алгебры sl(2) со старшим весом λ задается на про-

странстве V (3.4.20)формулами(3.4.17).Т.к.оператор

J2 (3.4.15)коммутирует со

всеми образующими sl(2), то на всех векторах этого представления оператор J2

имеет одно и то же собственное значение

1

n

n

J2 v0 = 2

(e−e+ + e−e+) + H23v0 = (λ + λ2)v0 =

(

+ 1)v0

2

2

2

Легко понять,что построенные кон

ечномерные представления алгебры sl(2)

одновременно являются и представлениями алгебры su(2). В этом случае старший

вес λ = n =: j называется спином и характеризует 2j + 1 мерное неприводимое

2

представление алгебры su(2) (и,соответственно,группы

SU(2)).Базисные вектора

|j, m в этом представлении характеризуются двумя числами:спином

j (характе-

ристика представления)и весами m, собственными значениями оператора H = S3

("проекции"спина на третью ось),где

m = (j, j − 1, . . . , 1 − j, −j) перечисляет все

базисные вектора данного представления.

Пример построения конечномерного модуля со старшим весом наос

нове дифференциальной реализации алгебры Ли для группы SL(2).

Реализация алгебры Ли sl(2) с помощью дифференциальных операторов.

Рассмотрим определяющее матричное представление(3.4.14)для алгебры Ли

sl(2).

Подействуем матрицами(3.4.

14)справа на вектор-строку (s, t) (где s, t – произ -

вольные переменные).В результате получаем вариации вектор-строки

(s, t):

δe+ (s, t) := (s, t)e+ = (0, s) =: eˆ+ · (s, t) ,

(3.4.21)

pre1

δe− (s, t) := (s, t)e− = (t, 0) =: eˆ− · (s, t) ,

1

ˆ

δH (s, t) := (s, t)H = 2

(s, −t) =: H · (s, t) ,

где мы определили дифференциальные операторы

ˆ

1

(s∂s

− t∂t) ,

(3.4.22)

pre

eˆ+ = s ∂t ,

eˆ− = t ∂s ,

H =

2

которые,как легко проверить,образую

т ту же алгебру(3.4.13), что и матрицы

(3.4.14).

+ и его

s¯

Рассмотрим теперь сопряженный к v = (s, t) вектор-столбец v¯ = * t¯

преобразования(вариации)такие,чтобы о

ни,одновременно с преобразованиями

(s, t)

s¯

¯

α

v¯α

(α = 1, 2) .

¯

= (ss¯ + tt) = v

t

Соответствующие вариации вектор-столбца

v¯ имеют вид

+*t¯+

= e¯− · *t¯+ ,

δe+ * t¯ +

= *0 −0

+ *t¯+ = e¯+ ·

*t¯+

, δe− *t¯+

= *

1 0

s¯

0 1

s¯

s¯

s¯

0 0

s¯

s¯

* t¯ +

*−01

−

δH

=

2

1

+*t¯+ = H¯ · *t¯+

,

(3.4.23)

sopre1

s¯

1

0

s¯

s¯

где операторы

¯

e¯− = −s¯∂t¯ ,

¯

¯

(3.4.24)

sopre

e¯+ = −t ∂s¯ ,

2 H = [¯e+, e¯−] = t ∂t¯ − s¯∂s¯ ,

также образуют алгебру(3.4.13).Действительно,из(3.4.21)и(3.4.23)мы имеем

искомую инвариантность ( n):

¯ n

¯ n

= 0 ,

¯ n

ˆ

¯

¯ n

= 0 .

(3.4.25)

sstt

δe± (ss¯+tt)

= (ˆe±+¯e±)(ss¯+tt)

δH (ss¯+tt)

= (H+H)(ss¯+tt)

Заметим,что преобразования(3.4.23)можно получить из(3.4.21)если отожде-

ствить

s¯ = t ,

t = −s v¯α = ϵαβ v

.

(3.4.26)

otojd

¯

β

Построение конечномерного модуля со старшим весом.

Рассмотрим представление(3.4.22)образующих алгебры

sl(2). Выберем стар-

ший вектор v такой,что

eˆ+ v = 0

v = s2j ,

(3.4.27)

stvtj

подпространств в пространстве,натяну

том на(3.4.29))представления алгебры

Ли для группы SL(2) (SU(2)). Нормировочный множитель (3в .4.29)выбран так,

чтобы векторы(3.4.29)образовывали ор

тонормированный базис по отношению к

скалярному произведению

,T (s, t) , T˜(s, t)- = T (∂s, ∂t) · T˜(s, t)1s=t=0 .

1

1

Заметим,что все вектора(3.4.29)являются собственными векторами для опера-

ˆ

тора H (3.4.22)

ˆ

j

j

ˆ

H Tm = m Tm

H |j, m = m |j, m .

Кроме того из явных формул для образующих(3.4.22),с учетом выбранной но-

мировки(3.4.29),мы получаем формулы

6

|j, m + 1 ,

eˆ+ |j, m =

(j + m + 1)(j − m)

(3.4.30) stvtj3

eˆ− |j, m =

6

|j, m − 1 ,

(j − m + 1)(j + m)

и старший вектор в обозначениях(3.4.29)имеет вид

v = Tjj = |j, j

eˆ+ |j, j = 0 .

(3.4.32)

stvtj2

Для нескольких первых значений j мы имеем

1.) j = 1/2 (m = ±1/2) T−1/12/2 = t , T11//22 = s ,

2.) j = 1 (m = −1, 0, 1) T−11 = t2/√

, T01 = s t , T11 = s2/√

, . . .

2

2

Из формул(3.4.24)следует,что базис

в пространстве сопряженного представ-

ления также реализуется однородными мономами типа(3.4.29)

j

s¯j+m t¯j−m

=: j, m| .

(3.4.33)

stjm

T m =

((j + m)!(j

−

m)!)1/2

Отметим,что разложение(с помощью ф

ормулы бинома Ньютона)инварианта

(ss¯ + tt)

(3.4.25),где

j неотрицательное полуцелое число,имеет вид

¯

2j

(ss¯ + tt¯)2j =

2j

Ck

(ss¯)k (tt¯)2j−k =

k=0

2j

j

(2j)!

'+m

j

m

j

j

j

= 'm=−j

(j+m)!(j−m)!

(ss¯)j

(tt¯)

−

= (2j)! 'm=−j

T m Tm

,

j

¯

пространстве с базисом T m

= j, m|s,¯ t – сопряженным представлением по отно-

шению к представлению(3.4.22)в в

пространстве с базисом(3.4.29).

A 1

A 2

(3.4.34) usu31

(s, t) → (s

, t ) = (s, t)

A21

A22

= (sA1

+ tA2

, sA1

+ tA2 ) ,

′

′

1

1

1

1

2

2

Tm(s, t) → Tm(s, t) ◦ A = Tm(s

, t ) =

(sA 1 + tA 1)j+m (sA 2 + tA 2)j−m

(3.4.35)

usu32

1

6(j + m)!(j − m)!)

2

=

j

j

j

′

′

2

1

= j+m j−m

√

(j+m)!(j−m)!

·

(A 1)j+m−k(A 2)j−m−k′(A

1)k

(A 2)k′tk+k′s2j−k−k′ ,

=0 k =0

k!k′!(j+m

k)!(j

m k′)!

1

1

2

2

−

−

−

(3.4.36)

usu33

k' '′

где мы воспользовались формулой бинома.Теперь мы можем выразить(3.4.36)в

виде линейной комбинации базисных мономов Tmj ′ (m′

= −j, −j + 1, . . . , j − 1, j).

Действительно,мы можем опустить пре

делы суммирования,так как биномиаль-

ные коэффициенты равны нулю вне пределов суммирования.Если положить

j −

k −k′ = m′, то m′ должно пробегать все целочисленные значения для целых j и все

полуцелые значения для полуцелых j. Выражая функции от s и t через мономы

T j

, согласно(3.4.36)мы получаем

m′

)′

Tmj (s, t) ◦ A =

Dmm(j) ′(Aβα) Tmj ′(s, t) ,

(3.4.37)

usu34

m

где коэффициенты

'k

√

(j)

α

(j+m)!(j−m)!(j+m′)!(j−m′)!

1

j+m k

2

k

m+m′

1

k

2

j

k

m′

Dmm′(Aβ ) =

· (A1 )

−

(A1

)

−

(A2

)

(A2

)

−

−

k!(j−k−m′)!(j+m−k)!(k−m+m′)!

usu35

(3.4.38)