Group_theory_lecture

где числа tkij = fijk − fjik (tkij = −tkji) – называются структурными константами.

Определение Алгеброй Ли называется линейное(векторное)пространство L, элементы которого можно умножать друг на друга с помощью умножения [, ] : L L → L согласно правилу

Последнее тождество проверяется раскрытием коммутатор.Соответственно,структурные константы tkij (явный вид которых зависит от выбора образу-

ющих ˆ ),как следует из(3.2.5)и(3.2.7),удовлетворяют тождествам

Si

tkij = −tkji , tmij tnmk + tmkitnmj + tmjktnmi = 0 .

Примеры.

1.Матрица i (3.1.12)является единственно й образующей абелевой группы SO(2). 2.Рассмотрим произвольный элемент g группы SL(2, ) близкий к единичному(с точностью до линейных членов малости)

где параметры φi C - малы . Условие 1 = det(g) = 1 + (φ1 + φ4) + . . . дает связь φ4 = −φ1, т . е . группаSL(2, ) имеет только три независимых комплексных параметра.Согласно(3.2.2)положим

91

представляется только в виде произведения двух экспонент от элементов алгебры Ли sl(2).

Упражнения

1.Доказать,что размерности вещественных многообразий групп GL(n, R), SL(n, R), O(n, R), U(n) и SU(n) соответственно равны: n2, n2 − 1, n(n − 1)/2, n2 и n2 − 1.

2.Найти определяющие соотношения [e−, e+] =? , (3.2.8)алгебры Ли группы SL(2, C). 3.Доказать,что элемент группы SL(2, R):

4.Найти представление элемента g SL(2, R) (3.2.11)в виде произведения двух экспонент от элементов алгебры Ли sl(2).

3.3Лекции10,11.Группа вращений в трехмерном простран-

стве O(3). Параметризации группы SO(3). Алгебра Ли группы SO(3). Универсальная накрывающая группа для группы SO(3).

В предыдущих лекциях мы рассматривали группы инвариантности T, W, P правильных многогранников(т етраэдра,куба и икосаэдра),которые очевидно можно вписать в двумерную сферу S2, вложенную в трехмерное евклидово пространство R3. В этой лекции мы будем изучать бесконечномерную группу инвариантности двумерной сферы.Эта группа называется группой вращения O(3) в трехмерном пространстве R3 и состоит из всевозможных вращений вокруг центра сферы O, а также из всевозможных отражений относительно плоскостей,проходящих через точку O. Подгруппа, включающая только вра щения(без отражений),называется группой собственных вращений в трехмерном пространстве SO(3). Зададим в R3 систему координат с началом в точке O. Тогда точки на сфере S2 радиуса R имеют координаты (x1, x2, x3), которые удовлетворяют уравнениям

93

Отметим,что точки сферы S2 удобно также параметризовать с помощью двух сферических координат (θ,φ ):

Компонента группы O(3), состоящая из несобственных вращений A, таких что det A = −1, обозначается O−(3). Все такие элементы могут быть построены как

(−I) · SO(3) и мы имеем O(3) = SO(3) (−I) · SO(3).

Параметризации группы SO(3).

Группу SO(3) собственных вращений удобно параметризовать следующимоб разом.Любое вращение 3в-х мерном прост ранстве можно представить как вращение на определенный угол ψ [−π,π ] вокруг некоторой оси,направление которой задается единичным вектором n R3. Т . о ., каждому вращению изSO(3) мы можем сопоставить вектор ψ · n, направление которого задается осью вращения, длина вектора равна ψ. В такой параметризации многообразие группы это шар в R3 с радиусом π, причем диаметрально противоположные точки граничной сферы

94

Рассмотрим вращения из группы SO(3), которые близки к тождественному вращению.Для таких вращений 3 × 3 матрицу A, задающую преобразования (3.3.3),можно представить в виде

A = I + ψ a + ψ2 . . . Aij = δij + ψaij + ψ2 . . . (i, j = 1, 2, 3) , (3.3.7) infinit

где I – 3 ×3 единичная матрица, угол поворота ψ по модулю является малым по сравнению с 1: |ψ| << 1. При этом квадрат угла поворота ψ2 мы считаем пренебрежимо малым по сравнению с ψ. Преобразования с матрицами(3.3.7) называются инфинитезимальными.Условие ортогональн ости(3.3.5)для матрицы(3.3.7)принимает вид

I = (I + ψa + ψ2 . . .)(I + ψa + ψ2 . . .)T = I + ψa + ψaT + ψ2 . . . a + aT = 0 .

Т.о.,матрица a, задающая инфинитезимальные преобразования SO(3), является

и в случае поворота вокруг оси n (3.3.6)эта матрица выражается через параметры

(θ,φ ):

(3.3.8) tro33

Действительно,повороты вокруг осей x1, x2, x3, ( которые соответствуют направлениям n: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)) или , соответственно, в плоскостях (x2, x3), (x3, x1), (x1, x2) осуществляются матрицами S1, S2, S3, что следует из их явного вида и вида генератора двумерного поворота(3.1.12).Другими словами

при φ = 0 = θ поворот осуществляется вокруг оси x1, при φ = π/2, θ = 0 поворот

95

осуществляется вокруг оси x2 (здесь поворот против часовой стрелки в плоскости (x1, x3), как не трудно увидеть, осуществляется именно матрицей S2, с " непра - вильным"расположением ±1),при φ = 0, θ = π/2 поворот осуществляется вокруг оси x3. Этот же результат можно получить рассматривая следующий рисунок:

Согласно этому рисунку,вектор n (сферические углы φ и θ) можно получить двумя последовательными поворотами единичного вектора e1, направленного вдоль оси x1: сначала поворот на угол θ вокруг оси x2, а затем на угол φ вокруг оси x3 (часто это преобразование получают сначала поворотом на угол φ вокруг x3, а затем на угол θ вокруг повернутой на угол φ оси x′2).Действительно,мы имеем

= (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) ,

что совпадает с вектором n (3.3.6).Соответственно вектор n переводится в векторe1 согласно обратному преобразованию e1 = n T (g3(−φ)) T (g2(−θ)). Произведем теперь поворот вокруг оси e1 на угол ψ, а затем вернем ось e1 на ее первоначальное место n. Тем самым мы получим матрицу поворота на угол ψ вокруг оси n:

Рассмотрим инфинитезимальную форму преобразования(3.3.9),т.е.поворот на угол ψ, который мал

Подставим в(3.3.9)представление(3.3.10)и формулу

96

97

пространство,базисные элементы Si (i = 1, 2, 3) которого удовлетворяют соотношениям(3.3.15) – (3.2.7),называется алгеброй Ли группы SO(3).

Универсальная накрывающая группы SO(3).

Рассмотрим общую эрмитову матрицу X† = X, с условием Tr(X) = 0:

*+

где xi R и мы определили три базисные бесследовые эрмитовы матрицы

−

которые называются матрицами Паули и играют важнейшую роль в теории спина в квантовой механике.Заметим,что матрица X строится из координат вектораx = (x1, x2, x3) R3 и удовлетворяет соотношениям det(X) = x21 + x22 + x23 и

Рассмотрим линейное преобразование эрмитовой матрицы X:

98

где V, U некоторые невырожденные матрицы такие,что преобразованная матрица X′ будет снова эрмитовой, .е.

*+

(3.3.18): (X′)2 = X2, т . е . линейное преобразование(3.3.18)является ортогональным преобразованием в R3. Тогда из(3.3.18)мы получаем, что ( X2 ̸= 0)

V X = X′U−1 X′(V X)X = X′(X′U−1)X X′V = U−1X

V −1X′V = V −1U−1X XUV = (UV )−1X ,

где при получении последнего равенства мы воспользовались первым равенством.

Из равенства XUV = (UV )−1X с учетом произвольности бесследовой эрмитовой матрицы X (3.3.16)следует условие

UV = ±I

Т.к.преобразование(3.3.18)вектора x = (x1, x2, x3) c условием UV = −I определяет преобразование из связной компоненты,включающей отражение x → −x, то мы ограничимся только случаем UV = +I. Т . о ., преобразование(3.3.18)сводится к преобразованию подобия

Из условия X′† = X′ мы получаем [UU†, X] = 0 и,т.к. X - произвольная эрмитова матрица,мы заключаем,что UU† I. Вид преобразования(3.3.19)дает нам право нормировать U так,что UU† = I (случай UU† = −I мы отбрасываем по тем же причинам,что и выше)и det(U) = 1, т . е . матрицаU является специальной унитарной матрицей и U SU(2). Напомним, что x′i2 = x2i . Это равенство, впрочем, следует и из тождеств

ординат (x1, x2, x3) трехмерного вектора x, сохраняют длинну вектора x и тем самым являются преобразованиями из группы SO(3). Т . к . преобразования(3.3.19) осуществляются с помощью матриц U SU(2), то мы построили гомоморфизм

99

групп SU(2) → SO(3), причем два разных элемента ±U группы SU(2) соответствуют одному и тому же элементу SO(3). В этом случае говорят, что группа SU(2) дважды накрывает группу SO(3) и мы имеем тождество SU(2)/Z2 = SO(3).

Данный факт является следствием общего утверждения о,чтотом n-связная группа накрывается некоторой односвязной группой ровно n раз.Односвязность группы SU(2) доказывается в следующей Лекции.Можно показать,что для любой

связна и m раз накрывает группу G. Поэтому каждому элементу G соответствует

различных элементов ее универсальной накрывающей ¯. Точное неприводимое m G

представление группы ¯ тогда даст нам -значное представление группы (см.

G m G

[13]).

Упражнения.

группе SU(2). Конечномерные представления группы SO(3) могут быть построены из конечномерных представлений SU(2). Поэтому в этой лекции мы сконцентрируемся на изучении группы SU(2) и ее представлений.

Отождествление SO(3) и SU(2) производится с помощью формулы(3.3.19), которая каждому элементу(3.3.12)группы SO(3) сопоставляет два элемента ±U из унитарной группы SU(2). Ниже мы опишем это отождествление более точно, предъявив явный вид матрицы U соответствующей элементу(3.3.12).

100