Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect07

Лекция 7. Суммы и пересечения. Матрица перехода

² Пусть x;¹ y¹ 2 L \ M, тогда x;¹ y¹ 2 L и x;¹ y¹ 2 M. Следовательно, x¹ + y¹ 2 L и x¹ + y¹ 2 M. Но тогда x¹ + y¹ 2 L \ M.

² Пусть x¹ 2 L \ M, тогда x¹ 2 L и x¹ 2 M. Следовательно, ®x¹ 2 L и ®x¹ 2 M. Но тогда ®x¹ 2 L \ M.

¤

Замечание. Если подпространство L задано как пространство решений линейной однородной системы S1, а подпространство M как решение системы S2, то пересечение L \ M задано как пространство решений системы S, составленной из уравнений системы S1 и из уравнений системы S2.

Определение 1. Пусть L; M ½ Rn два линейных подпространства. Тогда суммой L+M этих подпространств называется линейная оболочка их объединения: L + M = hL [ Mi.

Замечание. Вектор v¹ принадлежит сумме L + M подпространств L и M в том и только том случае, когда v¹ = x¹ + y¹, где x¹ 2 L и y¹ 2 M.

Замечание. Если L = hv¹1; : : : ; v¹ki и M = hu¹1; : : : ; u¹mi, то L + M = hv¹1; : : : ; v¹k; u¹1; : : : ; u¹mi. Из этого следует, что dim(L + M) 6 dim L + dim M.

Теорема 1. Пусть L и M два подпространства из Rn, тогда dim(L + M) = dim L + dim M ¡ dim L \ M.

Доказательство. Пусть векторы v¹1; : : : ; v¹k образуют базис пересечения L \ M. Дополним эту систему векто-

рами u¹1; : : : ; u¹l до базиса L и векторами w¹1; : : : ; w¹m до базиса M. Покажем, что система v¹1; : : : ; v¹k; u¹1; : : : ; u¹l; w¹1; : : : ; w¹m является базисом суммы L + M. Из этого сразу же следует справедливость теоремы: k + l + m =

(k + l) + (k + m) ¡ k.

Во-первых, если v¹ 2 L + M, то v¹ = x¹ + y¹, где x¹ 2 L и y¹ 2 M. Но вектор x¹ есть линейная комбинация

векторов v¹1; : : : ; v¹k; u¹1; : : : ; u¹l, а вектор y¹ есть линейная комбинация векторов v¹1; : : : ; v¹k; w¹1; : : : ; w¹m. Поэтому вектор v¹ есть линейная комбинация векторов v¹1; : : : ; v¹k; u¹1; : : : ; u¹l; w¹1; : : : ; w¹m.

Предположим теперь, что векторы v¹1; : : : ; v¹k; u¹1; : : : ; u¹l; w¹1; : : : ; w¹m линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

¹

®1v¹1 + : : : + ®kv¹k + ¯1u¹1 + : : : + ¯lu¹l + °1w¹1 + : : : + °mw¹m = 0:

Среди коэффициентов ¯i есть ненулевые, иначе векторы v¹1; : : : ; v¹k; w¹1; : : : ; w¹m линейно зависимы. Аналогично, среди коэффициентов °j есть ненулевые. Положим u¹ = ¯1u¹1 + : : : + ¯lu¹l. Вектор u¹ не равен нулю (так как он есть нетривиальная линейная комбинация линейно независимых векторов) и принадлежит подпространству L. С другой стороны, u¹ = ¡®1v¹1 ¡: : :¡®kv¹k ¡°1w¹1 ¡: : :¡°mw¹m и, значит, принадлежит подпространству M. Следовательно, u¹ 2 L \ M и u¹ = ±1v¹1 + : : : + ±kv¹k, т.е.

¹

(®1 + ±1)¹v1 + : : : + (®k + ±k)¹vk + °1w¹1 + : : : + °mw¹m = 0:

¹

Определение 2. Если L \ M = f0g, то сумма подпространств L + M называется прямой суммой и обозначается L © M.

Замечание. dim(L © M) = dim L + dim M, а базис прямой суммы есть объединение базисов слагаемых.

2. Матрица перехода и ее свойства

Предложение 2. Пусть V = fv¹1; : : : ; v¹ng базис в пространстве Rn, а v¹ 2 Rn некоторый вектор. Тогда вектор v¹ может быть единственным образом представлен в виде v¹ = ®1v¹1 + : : : + ®nv¹n.

Доказательство. Существование такого представления следует из определения базиса. Пусть v¹ = ®1v¹1 +

: : : + ®nv¹n и v¹ = ¯1v¹1 + : : : + ¯nv¹n два представления вектора v¹ в виде линейной комбинации векторов базиса. Тогда

1