Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect05
.pdfЛекция 5. Базис и размерность
1. Базис множества векторов
Продолжим изучение линейной зависимости и независимости векторов. Дадим важное определение.
Определение 1. Пусть M ½ Rn непустое множество векторов. Система векторов v¹1; : : : ; v¹k называется
базисом M, если
²векторы v¹i 2 M, i = 1; : : : ; k;
²вектора v¹1; : : : ; v¹k линейно независимы;
²любой вектор v¹ 2 M является их линейной комбинацией.
Замечание. В базисе не может больше чем n векторов, так как любая система из более чем n векторов в Rn линейно зависима.
Пример. Рассмотрим множество |
½µ1¶ |
; |
µ2¶ |
; |
µ0¶¾ |
½ R2: |
M = |
||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
У этого множества два базиса: 1) первый и третий вектор образуют базис; 2) второй и третий вектор тоже образуют базис.
Пример. Набор векторов (¹ei), i = 1; : : : ; n, где i-я координата вектора e¹i равна 1, а остальные координатынули, называется стандартным базисом пространства Rn.
Теорема 1. Если M непустое множество векторов, содержащее ненулевой вектор, то у M есть базис.
Доказательство. Пусть v¹1 2 M ненулевой вектор. Это будет первый вектор базиса. Если все векторы из M являются линейными комбинациями вектора v¹1 (т.е. пропорциональны ему), то базис построен это fv¹1g. Если есть вектор v¹2 2 M, не пропорциональный вектору v¹1, то он будет вторым вектором базиса. Если каждый вектор из множества M является линейной комбинацией векторов v¹1 и v¹2, то базис построен это fv¹1; v¹2g. Если есть вектор v¹3 2 M, не являющийся линейной комбинацией векторов v¹1 и v¹2, то он будет третьим вектором базиса. И так далее.
Теперь нам нужно показать, что этот процесс в некоторый момент закончится и что полученное множество векторов действительно будет базисом.
Сначала покажем, что на каждом этапе мы получаем линейно независимую систему векторов. Пусть на k-м шаге к уже построенным векторам v¹1; : : : ; v¹k¡1 мы добавили вектор v¹k. Предположим, что полученная система векторов v¹1; : : : ; v¹k линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация ®1v¹1 +
¹
: : :+®kv¹k = 0. Пусть ®i наибольший по номеру ненулевой коэффициент в этой линейной комбинации. Тогда вектор v¹i является линейной комбинацией векторов с меньшими номерами, что противоречит выбору вектора v¹i на i-м шаге.
Так как на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов, то процесс заведомо остановится на n-шаге, потому что в пространстве Rn любая система из n + 1 вектора линейно зависима.
Пусть процесс остановился на k-м шаге. Мы построили систему векторов v¹1; : : : ; v¹k, про которою мы знаем, что она линейно независима. Теперь осталось показать, что каждый вектор v¹ 2 M является линейной комбинацией векторов v¹1; : : : ; v¹k. Действительно, так как процесс остановился, то каждый вектор является
линейной комбинацией векторов v¹1; : : : ; v¹k; v¹. |
¤ |
Замечание. Мы можем начать построение базиса множества M, начиная с любой линейно независимой си- |
|
стемы векторов из M. |
|
2. Базис и размерность множества векторов
Множество M может иметь много базисов. Но различные базисы множества M обладают одним общим свойством: у всех базисов одно и то же количество элементов.
Теорема 2. Пусть v¹1; : : : ; v¹k и w¹1; : : : ; w¹l два базиса множества M ½ Vn. Тогда k = l.
Доказательство. Рассмотрим систему векторов v¹1; : : : ; v¹k; w¹1; : : : ; w¹l и обозначим через A матрицу их коэффициентов. Ранг A равен k, действительно, приведем A к ступенчатому виду C. Так как векторы v¹1; : : : ; v¹k линейно независимы, то первые k столбцов главные. Так как каждый вектор w¹j, j = 1; : : : ; l, есть линейная комбинация векторов v¹1; : : : ; v¹k, то столбец, отвечающий вектору w¹j, свободен. Значит rk(A) = rk(C) = k.
Теперь рассмотрим систему векторов w¹1; : : : ; w¹l; v¹1; : : : ; v¹k. Обозначим через B соответствующую матрицу.
Аналогичные рассуждения дают, что rk(B) = l. |
¤ |
Но матрица B получена из матрицы A перестановкой столбцов. Значит их ранги равны, т.е. k = l. |
|
Следствие. Любой базис пространства Rn состоит ровно из n векторов. |
|
1
2
Определение 2. Число векторов базиса множества M называется его размерностью и обозначается dim M. Очень легко найти базис конечного множества векторов.
Предложение 1. Пусть M = fv¹1; : : : ; v¹kg конечное множество. Составим из координат векторов v¹i матрицу A и приведем ее к ступенчатому виду B. Тогда векторы, отвечающие главным столбцам, образуют базис M.
Замечание. Изменение порядка векторов в множестве M в общем случае дает другой базис.
3.Линейные подпространства
Влинейной алгебре работают, главным образом, с линейными подпространствами, размерность которых обладает свойством строгой монотонности, т.е. dim L < dim M, если L $ M.
Определение 3. Непустое множество M ½ Rn называется линейным подпространством, если
¹
² 0 2 M;
² если x;¹ y¹ 2 M, то x¹ + y¹ 2 M;
² если x¹ 2 M, то ®x¹ 2 M, для любого ®.
Замечание. Из определения следует, что если вектора v¹1; : : : ; v¹k 2 M, то любая их линейная комбинация принадлежит M.
Пример. Подпространствами в R2 являются
¹
² f0g; ² R2;
² каждый ненулевой вектор v¹ 2 R2 задает подпространство, состоящее из векторов, коллинеарных v¹.
Предложение 2. Пусть L и M линейные подпространства в Rn и L & M. Тогда dim L < dim M.
Доказательство. Пусть v¹1; : : : ; v¹k базис подпространства L. Так как любая линейная комбинация ®1v¹1 +
: : : + ®kv¹k 2 L, то в подпространстве M найдется вектор u¹, который не является линейной комбинацией базисных векторов подпространства L. Следовательно, базис M состоит не менее, чем из k + 1 векторов. ¤
Мы рассмотрим два способа строить линейные подпространства. Вот первый.
Определение 4. Пусть M непустое подмножество в Rn. Линейной оболочкой hMi множества M называется совокупность всех линейных комбинаций векторов из M. Точнее, v¹ 2 hMi в том и только том случае, когда существуют вектора v¹1; : : : ; v¹k 2 M и числа ®1; : : : ; ®k такие, что v = ®1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + ®kv¹k.
Пример. |
|
¶ 2 R2 : x = yg; hµ0¶ |
; |
µ1¶i = R2: |
|
hµ1¶i = fµy |
|||||
1 |
x |
1 |
|
0 |
|
Предложение 3. Пусть M ½ Rn, а v¹1; : : : ; v¹k базис M. Тогда |
|
|
|
||
|
|
hMi = hv¹1; : : : ; v¹ki: |
|
|
|
Доказательство. Пусть v¹ 2 hMi, тогда найдутся вектора w¹1; : : : ; w¹l |
2 M и числа ¯1; : : : ; ¯l такие, что v¹ = |
||||
¯1w¹1 + ¢ ¢ ¢ + ¯lw¹l. Но, по определению базиса, каждый вектор w¹i |
|
является линейной комбинацией векторов |
|||
базиса. Поэтому и v¹ является их линейной комбинацией векторов. |
¤ |
||||
Следствие. Пусть M ½ Rn непустое подмножество и v¹1; : : : ; v¹k его базис. Тогда v¹1; : : : ; v¹k является базисом hMi. В частности, размерности M и его линейной оболочки совпадают.
Теорема 3. Пусть M ½ Rn непустое подмножество, тогда hMi линейное подпространство.
Доказательство. Пусть v¹1; : : : ; v¹k базис M. Мы знаем, что hMi = hv¹1; : : : ; v¹ki. Проверим, что все три свойства из определения подпространства выполнены.
(1) |
¹ |
¹ |
= 0 ¢ v¹1 + ¢ ¢ ¢ + 0 ¢ v¹k. |
0 2 hMi, потому что 0 |
|||
(2) |
Пусть x;¹ y¹ 2 hMi, следовательно, |
||
x¹ = ®1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + ®kv¹k; y¹ = ¯1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + ¯kv¹k:
Но тогда
x¹ + y¹ = (®1 + ¯1)¹v1 + ¢ ¢ ¢ + (®k + ¯k)¹vk:
(3) Если x¹ = ®1v¹1 + ¢ ¢ ¢ + ®kv¹k, то ®x¹ = (® ¢ ®1)¹v1 + ¢ ¢ ¢ + (® ¢ ®k)¹vk.
¤
Замечание. Пусть L ½ Rn линейное подпространство. Так как линейная комбинация векторов из L лежит в L, то линейное подпространство является своей собственной линейной оболочкой: L = hLi.