Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect08
.pdfЛекция 8. Линейные операторы
1. Определение линейного оператора и его матрицы
Определение 1. Отображение ' : Rn ! Rn называется линейным оператором, если выполнены следующие свойства:
¹¹
(1)'(0) = 0;
(2)'(¹x + y¹) = '(¹x) + '(¹y), для всех x;¹ y¹ 2 Rn;
(3)'(®x¹) = ® ¢ '(¹x), для всех x¹ 2 Rn и всех ®.
Пример. В пространстве R2 линейными операторами являются: повороты вокруг начала координат; проекции на прямые, проходящие через начало координат; симметрии относительно прямых, проходящих через начало координат; растяжения вдоль прямых, проходящих через начало координат; всевозможные композиции этих операторов.
Линейный оператор мы будем описывать матрицей. Наша главная задача по матрице оператора понять геометрию его действия. Случай плоскости и трехмерного пространства будет подробно рассмотрен.
Вид матрицы оператора зависит от выбора базиса в пространстве Rn. Сначала мы дадим определение в случае стандартного базиса.
Определение 2. Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор. Его матрицей (в стандартном базисе) называется n £ n-матрица, составленная из координат векторов '(¹e1); : : : ; '(¹en). Матрицу оператора ' в стандартном базисе мы будем обозначать A'.
Пример. Вот матрицы операторов в R2: 1) проекция на ось OX; 2) симметрия относительно оси OY; 3) поворот на 90± против часовой стрелки относительно начала координат; 4) симметрия относительно биссектрисы второго координатного угла; 5) растяжение в два раза вдоль биссектрисы первого координатного угла.
1) |
µ0 |
0¶ |
; 2) |
µ¡0 |
1¶ |
; 3) |
µ1 |
¡0¶ |
; 4) |
µ¡1 |
¡0¶ |
; 5) |
µ1=2 |
3=2¶ |
: |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
3=2 |
1=2 |
|
Основное свойство матрицы оператора описывается следующим утверждением.
Теорема 1. Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор, A' его матрица, x¹ 2 Rn некоторый вектор, а (¹x) столбец его координат. Тогда A'(¹x) столбец координат вектора '(¹x).
Замечание. Это утверждение означает, что знание матрицы дает нам полную информацию о действии оператора.
Доказательство. Пусть x1; : : : ; xn координаты вектора x¹. Тогда x¹ |
||||
'(¹x) = x1'(¹e1) + : : : + xn'(¹en) = x1 |
0a11... |
1 |
+ : : : + xn |
0a1...n |
|
Ban1C |
|
Bann |
|
|
@ |
A |
|
@ |
но это и означает, что A'(¹x) = '(¹x).
= x1e¹1 + : : : + xne¹n. Значит, |
|
||
1 = |
0x1a11 + ¢ ¢...¢ + xna1n |
1 |
; |
C Bx1an1 + : : : + xnannC |
|
||
A |
@ |
A |
|
¤
¹ ¹
Замечание. Так как A ¢ 0 = 0, A ¢ (¹x + y¹) = A ¢ x¹ + A ¢ y¹ и A ¢ (®x¹) = ® A ¢ x¹, то любая квадратная n £ n-матрица A задает линейный оператор в Rn: x¹ 7!A ¢ x¹.
Теперь определим матрицу оператора для произвольного базиса пространства .
Определение 3. Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор, а V = fv¹1; : : : ; v¹ng некоторый базис пространства Rn. n£n-матрица, составленная из столбцов ('(¹vi))V , i = 1; : : : ; n, называется матрицей оператора ' в базисе V и обозначается AV' .
Пример. Найдем матрицу оператора поворота на 90± против часовой стрелки в базисе
|
|
|
|
|
|
V = fµ1¶ |
; µ2¶g: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Имеем, |
|
|
µ1 |
¡0¶µ1¶ |
= µ¡1¶; '(µ2¶) = |
µ1 |
¡0¶µ2¶ |
= µ¡1¶: |
|
|||||
'(µ1¶) = |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
|
Теперь задача решается приведением к главному ступенчатому виду матрицы |
µ¡2 |
¡3¶ |
|
|||||||||||
µ1 |
2 |
¡1 |
¡1¶ ) µ0 |
1 |
¡2 |
¡3¶ |
: Таким образом, A'V = |
: |
||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
3 |
5 |
|
|
|
|
3 |
5 |
|
1
2
2. Преобразование матрицы оператора
Матрицы линейного оператора в разных базисах связаны друг с другом с помощью матрицы перехода.
Теорема 2. Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор, а V = fv¹1; : : : ; v¹ng и U = fu¹1; : : : ; u¹ng два базиса в Rn. Тогда
AU' = CV¡!1 U AV' CV !U :
Доказательство. Пусть x¹ 2 Rn некоторый вектор. Имеем,
¡CV¡!1 U AV' CV !U ¢(¹x)U = ¡CV¡!1 U AV' ¢¡CV !U (¹x)U ¢ = ¡CV¡!1 U AV' ¢(¹x)V =
= CV¡!1 U ¡AV' (¹x)V ¢ = CV¡!1 U ('(¹x))V = CU!V ('(¹x))V = ('(¹x))U
¤
Пример. При переходе от стандартного базиса к другому матрица оператора может сильно упроститься.
Пусть, например, |
|
|
A' = |
µ1 |
2¶ и V = fµ1¶; µ |
¡1 ¶g: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
CE!V |
= |
µ 1 |
¡1 ¶ и CE¡!1 V = CV !E = |
µ ¡1=2 |
1=2 ¶ |
: |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1=2 |
1=2 |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
µ ¡1=2 1=2 |
¶µ1 |
2¶µ |
1 |
¡1 |
¶ = µ ¡1=2 |
|
1=2 ¶µ |
1 |
¡1 |
¶ = |
µ0 |
1¶ |
: |
||
A'V = |
|
|||||||||||||||
|
1=2 1=2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
3=2 |
|
3=2 |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
|
Мы видим, что наш оператор это просто растяжение в 3 раза вдоль биссектрисы первого координатного угла.
3. Композиция
Теорема 3. Пусть ' и Ã линейные операторы в пространстве Rn, а ½ = Ã(') их композиция (т.е.½(¹x) = Ã('(¹x))). Тогда A½ = AÃA' (в этом порядке). Аналогично, AV½ = AVÃ AV' .
Доказательство. Имеем,
½(¹x) = Ã('(¹x)) = AÃ('(¹x)) = AÃA'(¹x) = A½(¹x):
¤