Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect11

Лекция 11. Комплексные и кратные корни характеристического многочлена

1. Инвариантные подпространства

Определение 1. Подпространство L ½ Rn называется инвариантным для оператора ' : Rn ! Rn, если '(¹x) 2 L для каждого вектора x¹ 2 L.

Замечание. Пусть пространство Rn является прямой суммой инвариантных подпространств L и M: Rn = L © M. Зададим базис V всего пространства как объединение базисов подпространства L и подпространства M. Если dim L = m и dim M = n ¡ m, то

Это означает, что оператор ' есть „прямая сумма\ двух операторов, один из них действует в подпространстве L, а другой в подпространстве M.

2. Комплексный корень характеристического многочлена у оператора в вещественном пространстве

Пусть ' : Rn ! Rn линейный оператор, A' его матрица, p' характеристический многочлен, а » = ® + i ¯, ¯ 6= 0, комплексный корень многочлена p'. Теперь будем считать, что оператор ' действует в комплексном пространстве Cn, а его действие задано той же матрицей A'. В пространстве Cn оператор ' имеет собственный вектор w¹ с собственным числом »: '(w¹) = »w¹, т.е.

Вектор w¹ не может быть вещественным, иначе в равенстве (1) слева стоит вещественный вектор, а справа комплексный. Но он не может быть и чисто мнимым, иначе слева стоит чисто мнимый вектор, а у вектора справа вещественная часть ненулевая. Следовательно, w¹ = v¹ + i u¹, где v¹ и u¹ вещественные ненулевые векторы. Разделяя в равенстве (1) вещественную и мнимую часть, получаем, что

Предложение 1. Векторы v¹ и u¹ линейно независимы, а их линейная оболочка ¦ = hv;¹ u¹i является инвариантной плоскостью.

Доказательство. Предположим, что эти векторы линейно зависимы. Так как они ненулевые, то u¹ = °v¹, где ° вещественное ненулевое число. Тогда из равенств (2) получаем,

'(¹v) = (® ¡ ¯°)¹v; ° '(¹v) = (¯ + ®°)¹v:

Таким образом,

(®° ¡ ¯°2)¹v = (¯ + ®°)¹v ) ¯(1 + °2) = 0:

Противоречие. Следовательно ¦ действительно двумерное подпространство. Рассмотрим теперь некоторый вектор x¹ 2 ¦, x¹ = ¸v¹ + ¹u¹. Но тогда

'(¹x) = ¸ '(¹v) + ¹ '(¹u) = ¸(®v¹ ¡ ¯u¹) + ¹(¯v¹ + ®u¹) = (®¸ + ¯¹)¹v + (®¹ ¡ ¯¸)¹u 2 ¦:

¤

1