LECT15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

285.34 Кб

Скачать

☆

Лекция 15. Функции от матриц

1. Функции от Жордановых клеток

Функция от Жордановой клетки J с числом a диагонали определяется с помощью разложения этой функции в ряд Тейлора в центром в точке a:

f(x) = f(a) + f0(a)(x ¡ a) + 2!1 f00(a)(x ¡ a)2 + 3!1 f000(a)(x ¡ a)3 + : : : :

На матричный язык это равенство переводится следующим образом: x это наша клетка J, x ¡ a это нулевая клетка J ¡ a ¢ E, а f(a) это диагональная матрица f(a) ¢ E. Удобство этого определения в том, что матрица (J ¡a¢E)k = 0 при k > n, где n размер клетки J. Таким образом, функция от клетки вычисляется, как конечная сумма, а не как бесконечный ряд.

Пример. Найдем корень из клетки

							J =			00 1 11								= 00 1 01 +													00 0 11 = E + B:
											1		1	0								1	0	0									0			1			0
Здесь B3 = 0. Так как										@0 0 1A @0 0 1A @0 0 0A
Здесь B3 = 0. Так как																		1								1 1
											p																												2
											p																												2
												x = 1 +									(x ¡ 1) ¡										(x ¡ 1)									+ : : : ;
то												x = 1 +							2		(x ¡ 1) ¡						2!		4		(x ¡ 1)									+ : : : ;
то															p									1					1 1
																																					2
																	J = E +								B ¡										B		2	;
т.е.																	J = E +							2	B ¡					2!				4	B			;
т.е.	u						0							1				2 0								1							0								1 0				1
																												¡ 8
		0				1																						¡ 8
	v		1 1 0						1 0 0									1				0 1 0							1						0 0 1							1 1=2		1=8
	v		0 1 1			= 0 1 0 +												1				0 0 1							1						0 0 0 =							0 1		¡1=2 :
	u
	t@					A @								A						@						A						@									A @				A
	u		0	0	1				0		0		1									0	0	0											0		0			0		0	0	1
Осталось проверить, что действительно																													¡1=2							1 =				00 1 11
						0 0					1		¡1=2 10 0											1					¡1=2							1 =				00 1 11			:
								1			1=2			1=8									1 1=2								1=8										1 1 0
						@ 0					0				1 A@ 0									0										1 A @0 0 1A
Пример. Попытаемся найти																pJ;						где J =						µ0					0¶			:
																pJ;						где J =						µ0					0¶			:
																												0					1
																												0					1

Для этого мы должны использовать многочлен Тейлора первой степени функции p										с центром в точке 0.
									x	с центром в точке 0.
Но такого многочлена нет, потому что у функции p						в нуле нет производной. И, действительно, у матрицы
Но такого многочлена нет, потому что у функции p					x	в нуле нет производной. И, действительно, у матрицы
J корня нет.
Предположим, что p			существует, т.е. найдется матрица
Предположим, что p		J	существует, т.е. найдется матрица
			x y			x2 + yz xy + yu	¶	0 1
	A = µz u¶ такая, что A2 = µxz + zu yz + u2						¶	= µ0 0¶:
Это означает, что
				x2 + yz = 0
			8 y(x + u) = 1
			> z(x + u) = 0
	>
	<			2
	>			yz + u = 0
	>
	:

Из второго уравнения следует, что x + u =6 0. Но тогда из третьего уравнения следует, что z = 0. Значит, x = u = 0. Но тогда x + u = 0. Противоречие.

Замечание. Предположим, что мы вычисляем функцию f от n£n клетки J с числом a на главной диагонали. Это означает, что мы, в действительности, вычисляем многочлен p(J), где p это многочлен Тейлора степени n ¡ 1 функции f с центром в точке a. Пусть q такой многочлен, что

q(a) = f(a); q0(a) = f0(a); q00(a) = f00(a); : : : ; q(n¡1)(a) = f(n¡1)(a):

Тогда f(J) = p(J) = q(J). Действительно, многочлены Тейлора степени n ¡ 1 с центром в a у функции f и у многочлена q совпадают.

2. Функция от Жордановой матрицы

Функцию f от Жордановой матрицы G, конечно, можно строить для каждой клетки отдельно. Но можно делать это для всех клеток сразу, воспользовавшись замечанием предыдущего раздела. А именно, пусть a1; : : : ; as корни характеристического многочлена Жордановой матрицы G, а ki, i = 1; : : : ; s максимальный размер клетки с числом ai на главной диагонали. Найдем многочлен p такой, что

p(a1) = f(a1);	p0(a1) = f0(a1); : : : ; p(k1¡1)(a1) = f(k1¡1)(a1);
p(a2) = f(a2);	p0(a2) = f0(a2); : : : ; p(k2¡1)(a2) = f(k2¡1)(a2);
	¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢
p(as) = f(as); p0(as) = f0(as); : : : ;				p(ks¡1)(as) = f(ks¡1)(as):

Таких многочленов бесконечно много, так что, мы построим такой многочлен p минимальной степени. Задача построения такого многочлена называется задачей интерполяции, а сам многочлен p интерполяционным

многочленом. Интерполяционный многочлен минимальной степени единственен и его степень 6 k1 + : : : +
ks ¡ 1.
Пример. Найдем p		, где
Пример. Найдем p	G	, где	00		1	0	01		:
		G =	00		1	0	01		:
				1	1	0	0
			B0		0	0	4C
			B					C
			@	0	0	4	1	A
				0	0	4	1

Степень интерполяционного многочлена 6 3, т.е. p(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Задача интерполяции выглядит так:

a + b + c + d = 1; 3a + 2b + c =	1	;
a + b + c + d = 1; 3a + 2b + c =	2	;	1
	2
64a + 16b + 4c + d = 2; 48a + 8b + c =				:
64a + 16b + 4c + d = 2; 48a + 8b + c =			4	:
			4

Эта система из четырех уравнений имеет единственное решение:

					1						1		25					11											1						1				25				11
				a =				; b = ¡				; c =			; d =						;	т.е. p =									x3			¡			x2 +				x +				:
				a =		108		; b = ¡			9	; c =		36	; d =				27		;	т.е. p =						108			x3			¡		9	x2 +			36	x +			27	:
Это означает, что									00				0 0 1					+ 25				00							01
pG = 1	00 1 0 0 1							1	00			1	0 0 1					+ 25				00		1			0		01					+
108		1	3	0	0			¡ 9		1		2	0		0					36			1		1		0			0
108	B0		0	0	64C			¡ 9	B0			0	0		16C					36		B0			0		0			4C
	B						C		B								C					B										C
	@	0	0	64	48		A		@	0		0	16		8		A					@			0		4			1		A
		0	0	64	48					0		0	16		8								0		0		4			1
															27					1		0		0	0								1	1=2				0	0			C
															27			B0 0						0 1C B0											0			0	2			C
																11		B				1		0		C				B					1			0	0			C
													+					00							01				=	00												1		как и требовалось.
																		@		0		0		1	0	A				@			0		0			2	1=4			A
																				0		0		1	0								0		0			2	1=4

Проще, разумеется, проводить вычисления для каждой клетки отдельно. Но интерполяционный многочлен позволяет находить функции от любых матриц, а не только от Жордановых.

3. Функция от матрицы

Пусть A некоторая матрица, а G ее Жорданова форма. Тогда G = C¡1AC, где C матрица перехода от стандартного базиса к Жорданову. Пусть f некоторая функция, а p интерполяционный многочлен, построенный по f и G.

Функцию f(A) мы вычисляем так: вычисляем f(G), а потом возвращаемся к стандартному базису. То-есть, f(A) = C ¢ f(G) ¢ C¡1 = C ¢ p(G) ¢ C¡1 = C ¢ p(C¡1A ¢ C) ¢ C¡1 = C ¢ C¡1p(A) ¢ C ¢ C¡1 = p(A):

Пример. Найдем корень квадратный из матрицы						pA(¸) = ¸(¸ 1)2:
A =	0 1		1	¡1 1
	@	2	0	¡1	A )	¡ ¡
		0	2	¡1

Так как rk(A) = 2, то Жорданова форма матрицы A такова:

00	1	11	:
0	0	0
@0	0	1A

Интерполяционный многочлен q имеет степень 2: q(x) = ax2 + bx + c, q(0) = 0, q(1) = 1 и q0(1) = 1=2, т.е. c = 0; a + b + c = 1; 2a + b = 12 ) a = ¡12; b = 32 ) q(x) = ¡12 x2 + 32 x:

Следовательно,			A +	2 A =		2	0 3	¡1	¡1 1	+	2	0 1	1	¡1 1	= 0	0	2	¡1 1	:
pA = 2
		1	2	3		1	4	2	¡1		3	2	0	¡1		1	1	¡1

	¡				¡		@ 2	0	¡1 A			@ 0	2	¡1 A @ ¡1			3	¡1 A

Замечание. Для функций от матриц обычные тождества выполняются, потому что выполняются соответ-

ствующие тождества для рядов Тейлора. Так

(sin(A))2 + (cos(A))2 = E; ln(exp(A)) = A; ( 3 A)3 = A и т.д.

Пример. Докажем, например, равенство (pJ)2 = J, где J Жорданова клетка с числом a на диагонали. Здесь

														0		a0			a1		a2			a3					an		1
														0		0 a0					a1 a2 ¢¢ ¢¢ ¢¢							an¡1			1
																0			0		a			a1				an 2
									pJ = B							0 0 00								a0		¢ ¢ ¢		an¡3C					;
														B												¢.¢ ¢				¡	C
														B . . .										.		¢.¢ ¢				.	C
														B . . .										. ..						.	C
														B . . .										.						.	C
														B		0			0		0			0					a		C
														B												¢ ¢ ¢				0	C
														@												¢ ¢ ¢					A
где a0; a1; a2; : : : коэффициенты разложения функции p																									a + x		в степенной ряд по степеням x:
											p						= a0 + a1x + a2x2 + : : : :
											p		a + x				= a0 + a1x + a2x2 + : : : :
Следовательно,
(a	+a x+a x2 +: : :)2			= a2	+(a a				+a	a		)x+(a							a +a a					+a a )x2 +(a								a +a a					+a a +a a						)x3	+: : : = a+x;
0	1	2		0		0		1	1	0						0				2	1		1	2		0				0			3		1	2			2	1	3	0
т.е.		a2	= a; a a + a a = 1; a												+ a						+ a			= 0; a a						+ a a					+ a a				+ a a = 0; : : :
		a2	= a; a a + a a = 1; a									a		2	+ a			a		1	+ a	a	0	= 0; a a					3	+ a a				2	+ a a			1	+ a a = 0; : : :
		0	0	1	1	0				0				2		1				1	2		0			0			3			1		2	2			1		3	0
Но при возведении матрицы p								в квадрат на главной диагонали будет число a2																												= a, на следующей диагонали
Но при возведении матрицы p							J	в квадрат на главной диагонали будет число a2																												= a, на следующей диагонали
																																			0

число a0a1 + a1a0 = 1, на следующей диагонали число a0a2 + a1a1 + a2a0 = 0, и так далее.

Соседние файлы в папке modules 3-4

#
02.06.2015242.85 Кб58lect10.pdf
#
02.06.2015236.94 Кб57lect11.pdf
#
02.06.2015255.67 Кб60lect12.pdf
#
02.06.2015267.83 Кб56LECT13.pdf
#
02.06.2015261.58 Кб59LECT14.pdf
#
02.06.2015285.34 Кб57LECT15.pdf
#
02.06.2015242.79 Кб58LECT16.pdf
#
02.06.2015264.22 Кб59LECT17.pdf
#
02.06.2015256.12 Кб57lect18.pdf
#
02.06.2015250.29 Кб56lect19.pdf
#
02.06.2015306.88 Кб59lect20.pdf