Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
59
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
261.58 Кб
Скачать

Лекция 14. Жорданова форма

1. Клетки

Определение 1. Клеткой (или Жордановой клеткой) называется квадратная матрица вида

00

a

1

0

01

 

 

a

1

0

0

0

 

:

B0

0

0

a

1C

B

 

0

0

0

 

C

 

B0

aC

 

B

0

0

a

1

0

C

 

@

 

 

 

 

 

A

 

Здесь a может быть любым числом. Клетку, у которой на главной стоят нули, мы будем называть нулевой.

Предложение 1. Пусть J нулевая клетка. Тогда ее степени ведут себя следующим образом:

 

00

0

1

0

01

2

00

0

0

1

01

3

00

0

0

0

11

4

00

0

0

0

01

5

J =

 

0

1

0

0

0

 

; J =

 

0

0

1

0

0

 

; J =

 

0

0

0

1

0

 

; J =

 

0

0

0

0

1

 

; J = 0:

B0 0 0 0 1C

B0 0 0 0 0C

B0 0 0 0 0C

B0 0 0 0 0C

 

B

 

 

0 0

 

C

 

B

 

 

0 0

 

C

 

B

 

 

0

0

 

C

 

B

 

 

 

0

 

C

 

 

B0 0

0C

 

B0 0

0C

 

B0 0

0C

 

B0 0 0

0C

 

 

B

0

0

0

1

0

C

 

B

0

0

0

0

1

C

 

B

0

0

0

0

0

C

 

B

0

0

0

0

0

C

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

@

 

 

 

 

 

A

 

@

 

 

 

 

 

A

 

@

 

 

 

 

 

A

 

Другими словами, при переходе от степени k к степени k + 1 полоса из единиц смещается на один шаг вправо и вверх.

Доказательство. Вычисление.

 

 

 

¤

Замечание. Пусть J нулевая n £ n клетка. Тогда

 

3; : : : ; rk(J1) = 1; rk(Jn) = 0:

rk(J) = n

¡

1; rk(J2) = n

¡

2; rk(J3) = n

¡

 

 

 

 

Определение 2. Квадратная матрица называется блочной, если вне квадратных подматриц, последовательно расположенных вдоль главной диагонали после, остальные ее элементы нули.

Пример.

03

4

0

0

0

01

 

 

 

1

2

0

0

0

0

 

:

 

B0

0

0

1

0

1C

 

B

 

0

0

2

1

 

C

 

 

B0

1C

 

 

B

0

0

5

0

0

0

C

 

 

B0

0

0

0

2

2C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

У этой матрицы 3 блока: 2 £ 2 блок, 1 £ 1 блок и 3 £ 3 блок.

Предложение 2. Пусть A и B две блочные матрицы одинакового размера. Пусть A = (A1; : : : ; As), где A1; : : : ; As матрицы-блоки, последовательно стоящие вдоль главной диагонали, и пусть B = (B1; : : : ; Bs), причем размеры матриц Ai и Bi совпадают при i = 1; : : : ; s. Тогда C = AB блочная матрица и C = (A1B1; A2B2; : : : ; AsBs).

Доказательство. Вычисление.

¤

Определение 3. Жордановой матрицей называется блочная матрица, блоки которой Жордановы клетки.

2. Жорданова форма

Теорема 1. Пусть ' : Cn ! Cn линейный оператор. Тогда существует базис V , в котором матрица AV' Жорданова. Эта матрица называется Жордановой формой матрицы оператора. Жорданова форма единственна с точностью до перестановки клеток вдоль главной диагонали. Если ' : Rn ! Rn вещественный оператор, и все корни характеристического многочлена вещественны, то Жорданова форма вещественная матрица.

Предложение 3 (уточнение Теоремы 1). Пусть G Жорданова форма оператора ', а J одна из клеток матрицы G. Пусть на главной диагонали клетки J стоит число a. Тогда a корень характеристического многочлена, а сумма размеров всех клеток матрицы G с числом a на главной диагонали равна кратности a, как корня характеристического многочлена p'.

Доказательство. Достаточно вычислить характеристический многочлен jG¡¸ Ej матрицы G и сравнить его с характеристическим многочленом p'. ¤

При построении Жордановой формы мы будем использовать следующие несложные утверждения.

1

2

Определение 4. Квадратные матрицы A и B называются подобными, если существует обратимая (т.е. невырожденная) матрица C такая, что B = C¡1AC (тогда A = CBC¡1).

Предложение 4. Пусть матрицы A и B подобны. Тогда

rk(A ¡ ¸ E)n = rk(B ¡ ¸ E)n

для всех ¸ и всех целых положительных n. Доказательство. Имеем

(B ¡ ¸ E)n = (B ¡ ¸ E) ¢ : : : ¢ (B ¡ ¸ E) = (C¡1AC ¡ C¡1¸ EC) ¢ : : : ¢ (C¡1AC ¡ C¡1¸ EC) =

 

 

 

|

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

} |

 

 

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

}

¡

 

 

 

 

¡

 

¢ ¢

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

¢ ¢ ¡

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

 

 

 

= C¡1

(A ¸ E)C : : : C¡1(A ¸ E)C = C¡1 (A ¸ E) : : : (C ¸ E) C = C¡1

(A ¸ E)nC:

Осталось

|

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

}

 

|

 

 

 

 

 

 

{z

 

}

 

 

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

заметить, что умножение на невырожденную матрицу ранг не меняет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найдем Жорданову форму G матрицы

1

1

¡2

¡2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

0

1

1

1

1

¡8

C

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0

¡0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0

0

0

0

0

1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0

0

0

1

1

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как характеристический многочлен матрицы равен ¸6, то у всех клеток матрицы G на главной диагонали стоят нули. Из скольких клеток состоит матрица G? Ранг нулевой клетки на единицу меньше ее размера. Если матрица G состоит из одной клетки, то ее ранг равен 5, если из двух то 4, если из трех то 3, и так далее. Но ранг матрицы A равен 4, а так так ранги матриц A и G совпадают, то в Жордановой форме матрицы A две клетки. Имеется 3 возможности:

 

 

00

0

1

0

0

01

 

 

00

0

1

0

0

01

 

 

00

0

1

0

0

01

 

G1

=

 

0

1

0

0

0

0

 

; G2

=

 

0

1

0

0

0

0

 

; G3

=

 

0

1

0

0

0

0

 

:

B0 0 0 0 1 0C

B0 0 0 0 0 0C

B0 0 0 0 1 0C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

B0 0 0 0 0 0C

 

 

B0 0 0 0 0 1C

 

 

B0 0 0 0 0 1C

 

 

 

B

0

0

0

1

0

0

C

 

 

B

0

0

0

1

0

0

C

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

 

B0 0

0

0

0

0C

 

 

B0 0

0

0

0

0C

 

 

B0 0 0

0

0

0C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

Какая из них реализуется?

Будем теперь сравнивать ранги степеней.

 

0

0

0

0

1

¡1

1

1

 

A2 =

B

0

0

1

2

¡3

2

C

; A3

0 0 0 0

0

0

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

C

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

0

0

0

0

0

¡0

0

1

 

=

B

0

0

0

1

1

1

C

:

0

0

0

0

0

0

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

C

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

0

0

0

0

0

0

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

Таким образом, rk(A2) = 2 и rk(A3) = 1. С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk(G2) = 3;

rk(G2) = 2;

 

rk(G2) = 2; rk(G3) = 2;

 

rk(G3) = 1;

 

rk(G3) = 0:

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

Следовательно, Жорданова форма нашей матрицы это матрица G2.

 

 

 

 

 

 

Пример построения Жорданова базиса. Рассмотрим матрицу

2

0

 

2

 

2

1

:

 

A =

0

5

2

 

1

 

5

1

 

здесь A2 = 0

 

 

 

 

B

5

2

 

1

 

5

C

 

 

 

 

B

2

0

 

2

 

2

C

 

 

 

7

3

 

1

 

7

 

 

 

 

3 0

 

3

 

3

 

4

 

B

 

 

2

¡ ¡

 

C

 

 

 

 

B

 

 

¡ ¡

 

C

 

 

@ ¡ ¡

2

A

 

 

 

 

@ ¡

0

1

A

 

 

 

 

2

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

Так как pA(¸) = ¸ , rk(A) = 2 и rk(A ) = 1, то матрица B Жорданова форма матрицы A, такова:

 

 

 

B =

00

0

 

1

01

здесь B2 =

00

0

0

01

:

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0 0

 

0 0C

 

 

 

 

B0 0 0 0C

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C

4

 

4

 

B

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

0

 

0

0

A

 

 

@

0

0

0

0

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A это матрица некоторого оператора ' : R

 

! R

 

в стандартном базисе, а B матрица того же

оператора в базисе V = fv¹1; v¹2; v¹3; v¹4g. Базис образа оператора '2 образован главными столбцами матрицы

3

A2 (и матрицы B2). В базисе V образ порожден вектором с координатами (1; 0; 0; 0) но это вектор v¹1. Теперь, глядя на матрицу A2, получаем, что v¹1 = (2; 2; 1; ¡3), и, кроме, того '2e3) = v¹1. Значит, мы можем

положить v¹3 = e¹3 = (0; 0; 1; 0), а v¹2 = 'v3) = (1; 1; 0; ¡1). Осталось найти вектор v¹4 вектор ядра, не коллинеарный вектору v¹1. Таким вектором, например, может быть вектор (¡1; 0; 0; 1).

Соседние файлы в папке modules 3-4