Algebra&Geometry / modules 3-4 / LECT14
.pdfЛекция 14. Жорданова форма
1. Клетки
Определение 1. Клеткой (или Жордановой клеткой) называется квадратная матрица вида
00 |
a |
1 |
0 |
01 |
|
||
|
a |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
: |
B0 |
0 |
0 |
a |
1C |
|||
B |
|
0 |
0 |
0 |
|
C |
|
B0 |
aC |
|
|||||
B |
0 |
0 |
a |
1 |
0 |
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
Здесь a может быть любым числом. Клетку, у которой на главной стоят нули, мы будем называть нулевой.
Предложение 1. Пусть J нулевая клетка. Тогда ее степени ведут себя следующим образом:
|
00 |
0 |
1 |
0 |
01 |
2 |
00 |
0 |
0 |
1 |
01 |
3 |
00 |
0 |
0 |
0 |
11 |
4 |
00 |
0 |
0 |
0 |
01 |
5 |
||||||||
J = |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
; J = |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
; J = |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
; J = |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
; J = 0: |
B0 0 0 0 1C |
B0 0 0 0 0C |
B0 0 0 0 0C |
B0 0 0 0 0C |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
0 0 |
|
C |
|
B |
|
|
0 0 |
|
C |
|
B |
|
|
0 |
0 |
|
C |
|
B |
|
|
|
0 |
|
C |
|
||
|
B0 0 |
0C |
|
B0 0 |
0C |
|
B0 0 |
0C |
|
B0 0 0 |
0C |
|
||||||||||||||||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
C |
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
C |
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
Другими словами, при переходе от степени k к степени k + 1 полоса из единиц смещается на один шаг вправо и вверх.
Доказательство. Вычисление. |
|
|
|
¤ |
||
Замечание. Пусть J нулевая n £ n клетка. Тогда |
|
3; : : : ; rk(Jn¡1) = 1; rk(Jn) = 0: |
||||
rk(J) = n |
¡ |
1; rk(J2) = n |
¡ |
2; rk(J3) = n |
¡ |
|
|
|
|
|
Определение 2. Квадратная матрица называется блочной, если вне квадратных подматриц, последовательно расположенных вдоль главной диагонали после, остальные ее элементы нули.
Пример. |
03 |
4 |
0 |
0 |
0 |
01 |
|
||
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
: |
|
B0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1C |
|||
|
B |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
|
C |
|
|
B0 |
1C |
|
||||||
|
B |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2C |
|
||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
У этой матрицы 3 блока: 2 £ 2 блок, 1 £ 1 блок и 3 £ 3 блок.
Предложение 2. Пусть A и B две блочные матрицы одинакового размера. Пусть A = (A1; : : : ; As), где A1; : : : ; As матрицы-блоки, последовательно стоящие вдоль главной диагонали, и пусть B = (B1; : : : ; Bs), причем размеры матриц Ai и Bi совпадают при i = 1; : : : ; s. Тогда C = AB блочная матрица и C = (A1B1; A2B2; : : : ; AsBs).
Доказательство. Вычисление. |
¤ |
Определение 3. Жордановой матрицей называется блочная матрица, блоки которой Жордановы клетки.
2. Жорданова форма
Теорема 1. Пусть ' : Cn ! Cn линейный оператор. Тогда существует базис V , в котором матрица AV' Жорданова. Эта матрица называется Жордановой формой матрицы оператора. Жорданова форма единственна с точностью до перестановки клеток вдоль главной диагонали. Если ' : Rn ! Rn вещественный оператор, и все корни характеристического многочлена вещественны, то Жорданова форма вещественная матрица.
Предложение 3 (уточнение Теоремы 1). Пусть G Жорданова форма оператора ', а J одна из клеток матрицы G. Пусть на главной диагонали клетки J стоит число a. Тогда a корень характеристического многочлена, а сумма размеров всех клеток матрицы G с числом a на главной диагонали равна кратности a, как корня характеристического многочлена p'.
Доказательство. Достаточно вычислить характеристический многочлен jG¡¸ Ej матрицы G и сравнить его с характеристическим многочленом p'. ¤
При построении Жордановой формы мы будем использовать следующие несложные утверждения.
1
2
Определение 4. Квадратные матрицы A и B называются подобными, если существует обратимая (т.е. невырожденная) матрица C такая, что B = C¡1AC (тогда A = CBC¡1).
Предложение 4. Пусть матрицы A и B подобны. Тогда
rk(A ¡ ¸ E)n = rk(B ¡ ¸ E)n
для всех ¸ и всех целых положительных n. Доказательство. Имеем
(B ¡ ¸ E)n = (B ¡ ¸ E) ¢ : : : ¢ (B ¡ ¸ E) = (C¡1AC ¡ C¡1¸ EC) ¢ : : : ¢ (C¡1AC ¡ C¡1¸ EC) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
} | |
|
|
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
} |
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
¢ ¢ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢ ¢ ¡ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n раз |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= C¡1 |
(A ¸ E)C : : : C¡1(A ¸ E)C = C¡1 (A ¸ E) : : : (C ¸ E) C = C¡1 |
(A ¸ E)nC: |
|||||||||||||||||||||||||||
Осталось |
| |
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
| |
|
|
|
|
|
|
{z |
|
} |
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n раз |
|
|
|
|
||||
|
заметить, что умножение на невырожденную матрицу ранг не меняет. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найдем Жорданову форму G матрицы |
1 |
1 |
¡2 |
¡2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = B |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
¡8 |
C |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 |
¡0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как характеристический многочлен матрицы равен ¸6, то у всех клеток матрицы G на главной диагонали стоят нули. Из скольких клеток состоит матрица G? Ранг нулевой клетки на единицу меньше ее размера. Если матрица G состоит из одной клетки, то ее ранг равен 5, если из двух то 4, если из трех то 3, и так далее. Но ранг матрицы A равен 4, а так так ранги матриц A и G совпадают, то в Жордановой форме матрицы A две клетки. Имеется 3 возможности:
|
|
00 |
0 |
1 |
0 |
0 |
01 |
|
|
00 |
0 |
1 |
0 |
0 |
01 |
|
|
00 |
0 |
1 |
0 |
0 |
01 |
|
||||||
G1 |
= |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
; G2 |
= |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
; G3 |
= |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
: |
B0 0 0 0 1 0C |
B0 0 0 0 0 0C |
B0 0 0 0 1 0C |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B0 0 0 0 0 0C |
|
|
B0 0 0 0 0 1C |
|
|
B0 0 0 0 0 1C |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
B0 0 |
0 |
0 |
0 |
0C |
|
|
B0 0 |
0 |
0 |
0 |
0C |
|
|
B0 0 0 |
0 |
0 |
0C |
|
||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
Какая из них реализуется?
Будем теперь сравнивать ранги степеней.
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
¡1 |
1 |
1 |
|
A2 = |
B |
0 |
0 |
1 |
2 |
¡3 |
2 |
C |
; A3 |
0 0 0 0 |
0 |
0 |
|||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
C |
|
||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
¡0 |
0 |
1 |
|
= |
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
C |
: |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
C |
|
||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
Таким образом, rk(A2) = 2 и rk(A3) = 1. С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
rk(G2) = 3; |
rk(G2) = 2; |
|
rk(G2) = 2; rk(G3) = 2; |
|
rk(G3) = 1; |
|
rk(G3) = 0: |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
Следовательно, Жорданова форма нашей матрицы это матрица G2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример построения Жорданова базиса. Рассмотрим матрицу |
2 |
0 |
|
2 |
|
2 |
1 |
: |
||||||||||||||||
|
A = |
0 |
5 |
2 |
|
1 |
|
5 |
1 |
|
здесь A2 = 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
B |
5 |
2 |
|
1 |
|
5 |
C |
|
|
|
|
B |
2 |
0 |
|
2 |
|
2 |
C |
|
||
|
|
7 |
3 |
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
3 0 |
|
3 |
|
3 |
|
|||||||
4 |
|
B |
|
|
2 |
¡ ¡ |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
¡ ¡ |
|
C |
|
|||||
|
@ ¡ ¡ |
2 |
A |
|
|
|
|
@ ¡ |
0 |
1 |
A |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
Так как pA(¸) = ¸ , rk(A) = 2 и rk(A ) = 1, то матрица B Жорданова форма матрицы A, такова: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B = |
00 |
0 |
|
1 |
01 |
здесь B2 = |
00 |
0 |
0 |
01 |
: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B0 0 |
|
0 0C |
|
|
|
|
B0 0 0 0C |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
4 |
|
4 |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
A |
|
|
@ |
0 |
0 |
0 |
0 |
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A это матрица некоторого оператора ' : R |
|
! R |
|
в стандартном базисе, а B матрица того же |
оператора в базисе V = fv¹1; v¹2; v¹3; v¹4g. Базис образа оператора '2 образован главными столбцами матрицы
3
A2 (и матрицы B2). В базисе V образ порожден вектором с координатами (1; 0; 0; 0) но это вектор v¹1. Теперь, глядя на матрицу A2, получаем, что v¹1 = (2; 2; 1; ¡3), и, кроме, того '2(¹e3) = v¹1. Значит, мы можем
положить v¹3 = e¹3 = (0; 0; 1; 0), а v¹2 = '(¹v3) = (1; 1; 0; ¡1). Осталось найти вектор v¹4 вектор ядра, не коллинеарный вектору v¹1. Таким вектором, например, может быть вектор (¡1; 0; 0; 1).