Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect1

Лекция 1. Комплексные числа

1. Алгебраическая форма

Комплексное число это вектор на плоскости R2, начало которого находится в начале координат. Комплексные числа мы будем обозначать маленькими латинскими буквами без черточек сверху. x-координату комплексного числа мы будем называть его вещественной частью, а y-координату мнимой. Единичный вектор, направленный по оси OY , мы будем называть мнимой единицей и обозначать i. Если координаты комплексного числа z равны x и y, то z записывается в виде z = x + iy. Эта форма записи комплексного числа называется алгебраической. Вещественная и мнимая части комплексного числа z обозначаются так: Re(z) и Im(z). Модуль комплексного числа z это длина вектора: если z = x + iy, то jzj2 = x2 + y2.

Комплексные числа можно умножать и делить. Умножение задается правилом i2 = ¡1. Так, например,

(1 + i)(2 ¡ i) = 2 ¡ i + 2i ¡ i2 = 2 + i + 1 = 3 + i:

Теорема 1. Если z = z1z2, то jzj = jz1j ¢ jz2j. Доказательство. Пусть z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, тогда

jz1z2j2 = j(x1 + iy1)(x2 + iy2)j2 =

=j(x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + x2y1)j2 = x21x22 + y12y22 + x21y22 + x22y12 =

=x21(x22 + y22) + y12(x22 + y22) = (x21 + y12)(x22 + y22) = jz1j2jz2j2:

¤

Определение 1. Пусть z = x + iy комплексное число. Число x ¡ iy называется сопряженным к числу z и обозначается z.

Так как z ¢ z = jzj2, то произведение

z

z ¢ jzj2 = 1:

Это равенство означает, что у ненулевого комплексного числа z есть обратное: z¡1 = z=jzj2. Частное z=u это умножение z ¢ u¡1. Так, например,

Перечислим основные, легко проверяемые, свойства операции сопряжения:

²z = z;

²z1 + z2 = z1 + z2;

²z1z2 = z1 ¢ z2;

²1=z = 1=z;

Определение 2. Множество комплексных чисел с определенными таким образом арифметическими операциями мы будем называть полем комплексных чисел и обозначать C.

2. Тригонометрическая форма

Определение 3. Аргументом arg(z) комплексного числа z называется угол между вектором z и положительным направлением оси OX. Этот угол определен с точностью до 2¼n и положителен, если мы измеряем его, осуществляя поворот от оси OX к вектору z против часовой стрелки, и отрицателен, если вращение происходит по часовой стрелке.

Пример.

arg(1) = 2¼n; arg(¡1) = ¼ + 2¼n; arg(i) = ¼2 + 2¼n; arg(cos ® + i sin ®) = ® + 2¼n:

Определение 4. Если ® аргумент комплексного числа z, то равенство z = jzj(cos(®) + i sin(®)) называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.

Для удобства, как правило, выбирается какое-то одно значение аргумента, которое называется главным значением аргумента. Главное значение обычно выбирается в промежутке от 0 до 2¼ или в промежутке от ¡¼ до

¼.

Теорема 2. arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2).

Замечание. Утверждение теоремы следует понимать так: если ®1 какое-то значение аргумента числа z1, а ®2какое-то значение аргумента числа z2, то ®1 +®2 один из аргументов числа z1z2. Так, например, в равенстве (¡1)(¡1) = 1 сумма ¼ + ¼ аргументов числа (¡1) дает аргумент 2¼ числа 1.

1