Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect09
.pdfЛекция 9. Геометрия действия линейного оператора в R2
Рассмотрим два примера. |
|
|
|
|
|
Пример. Оператор ' : R2 ! R2 с матрицей |
|
|
¶ |
|
¶: |
3 |
2 |
x |
3x + 2y |
||
A' = µ1 |
2¶ : |
µy |
! µ x + 2y |
Определитель |
¯y |
|
|
¯ |
x |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯
3x + 2y¯¯¯ = x2 ¡ xy ¡ 2y2 x + 2y
обращается в 0, если y = ¡x или y = x=2. Это означает, что векторы, лежащие на этих прямых, переходят в
коллинеарные. Точнее, |
µ |
|
¶ ) µ |
|
¶ и |
|
|
|
x |
x |
x |
4x |
|||
|
¡x |
¡x |
µx=2¶ ) |
µ2x¶; |
т.е. векторы, лежащие на прямой y = ¡x не меняются (умножаются на 1), а векторы на прямой y = x=2 растягиваются в 4 раза.
Далее, наш определитель равен (x + y)(x ¡ 2y). Это означает следующее: прямые y = ¡x и y = x=2 разбивают плоскость на 4 сектора
@
@ |
|
|
y = x=2 |
@ |
|
|
|
@ |
II |
©© |
©© |
|
@ |
|
|
III |
@©© |
|
|
©©©©@@ I |
|
||
©© |
IV |
@ |
|
|
@ |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
y = ¡x |
Векторы в секторах I и III оператор поворачивает против часовой стрелки, а векторы в секторах II и IVпо. Кроме того, при повороте вектор остается в своем секторе. Действительно, пусть вектор v¹ = (x; y) находится в секторе I, т.е. x + y > 0 и x ¡ 2y > 0. Тогда для вектора '(¹v) = (3x + 2y; x + 2y) имеем:
(3x + 2y) + (x + 2y) = 4x + 4y > 0 и (3x + 2y) ¡ 2(x + 2y) = x ¡ 2y > 0:
Для остальных секторов проверка аналогична.
Чему равен максимальный угол поворота в каждом секторе? Пусть вектор v¹ = (cos ®; sin ®) лежит на единичной окружности. Тогда косинус угла ° между векторами v¹ и '(¹v) равен
cos ° = |
|
3 cos2 ® + 3 cos ® sin ® + 2 sin2 ® |
: |
p |
|
||
10 cos2 ® + 16 cos ® sin ® + 8 sin2 ® |
|||
Производная равна нулю, когда |
|
||
(cos ® ¡ 2 sin ®)(cos ® + sin ®)(2 sin2 ® + 8 cos ® sin ® + 3 cos2 ®) = 0: |
|||
Первые два множителя задают прямые x + y = 0 и x ¡ 2y = 0. Для векторов на этих прямых угол поворота минимален он равен нулю. Третий множитель задает два локальных максимума: tg ® ¼ ¡0:42 и tg ® ¼ ¡3:58. Прямая с первым тангенсом наклона проходит через сектора I и III, прямая со вторым тангенсом через сектора II и IV. Для векторов на первой прямой угол поворота равен ¼ 27±, для векторов на второй
¼ 50±.
Теперь посмотрим, как оператор меняет длины векторов. Так как
|
|
|
|
|
µ |
cos ® |
7! |
3 cos ® + 2 sin ® |
; |
|
|
|
|
|
sin ® |
cos ® + 2 sin ® |
|||
|
|
|
|
|
¶ |
µ |
|
¶ |
|
то квадрат длины вектора '(¹v), где |
j |
v¹ = 1, меняется в пределах от min(10 cos2 ® + 16 cos ® sin ® + 8 sin2 ®) до |
|||||||
max(10 cos |
2 |
® + 16 cos ® sin ® + 8 sin |
2 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
®). Эта функция имеет два экстремума: при tg ® ¼ ¡1:132782219 и при |
|||||||
tg ® ¼ 0:8827822185. Единичные векторы с соответствующими тангенсами наклона |
|||||||||
|
|
v¹1 = µ |
0:6618025630 |
0:7496781757 |
|||||
|
|
¡0:7496781758 |
¶ и v¹2 = µ0:6618025631¶ |
||||||
1
2 |
|
|
|
|
|
лежат во втором секторе. Их образы |
|
¶ |
|
|
|
u¹1 |
= |
¡0:486051337 |
и u¹2 = |
3:572639653 |
|
|
µ |
0:8375537890 |
|
µ2:073283302¶ |
|
взаимно перпендикулярны и имеют длины 0:9683709267 и 4:130648586, соответственно.
Поведение модуля вектора '(¹v), jv¹j = 1, можно описать следующим образом: двигаясь по единичной окружности против часовой стрелки от точки (1=p2; ¡1=p2) мы видим, что длина вектора '(¹v) возрастает, становится равной 4, когда v¹ лежит на прямой x¡2y = 0, и продолжает возрастать пока вектор v¹ не совпадет
свектором v¹2. После этого длина вектора '(¹v) начинает убывать, пока вектор v¹ не совпадет с вектором v¹1. Еще вопрос: единичная окружность переходит в кривую, которая параметрически описывается уравнени-
ями x = 3 cos ® + 2 sin ®; y = cos ® + 2 sin ®. Что это за кривая? Имеем, x2 =9 cos2 ® + 12 cos ® sin ® + 4 sin2 ®; xy =3 cos2 ® + 8 cos ® sin ® + 4 sin2 ®; y2 = cos2 ® + 4 cos ® sin ® + 4 sin2 ®:
Нетрудно найти, что 5x2 ¡ 14xy + 13y2 = 16(cos2 ® + sin2 ®) = 16. Это уравнение эллипса, направление осей которого задается векторами u¹1 и u¹2, а длины полуосей равны 0:9683709267 и 4:130648586, соответственно.
И наконец посмотрим, что происходит с вектором при последовательном применении оператора. Возьмем
вектор из второго сектора: |
|
¶ µ ¶ µ ¶ µ |
|
¶ µ |
|
¶ |
|||||
µ |
¶ µ |
¡2 |
166 |
678 |
|||||||
¡4 |
7! |
7! |
6 |
7! |
38 |
7! |
7! |
: : : |
|||
5 |
6 |
10 |
26 |
90 |
346 |
|
|||||
Длина второго вектора немного меньше длины первого, но далее длина начинает быстро возрастать, а тангенс наклона стремится к 1=2, так, например, у шестого вектора тангенс наклона примерно равен 0:51.
Поведение вектора из первого сектора такое же, только длина вектора все время возрастает.
Пример. Рассмотрим оператор ' : R2 ! R2 с матрицей |
µ |
¡ |
¶ |
||||||||
|
|
µ |
¡ |
1 |
1 |
¶ |
µ ¶ |
||||
|
A' = |
|
|
1 |
0 |
; |
y |
7! |
x |
: |
|
Так как |
¯ |
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
x |
x |
+ y |
¯ |
|
|
|
< 0; |
|
|
|
¯y |
|
x |
¯ = ¡x2 ¡ xy ¡ y2 |
|
||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
то оператор каждый вектор поворачивает по часовой стрелке. Косинус угла между вектором v¹ = (cos ®; sin ®) и вектором '(¹v) равен
cos2 ®
p2 cos2 ® + 2 cos ® sin ® + sin2 ®:
Числитель производной этого выражения по ® равен
cos ® ¢ (2 sin ® + cos ®)(sin2 ® + cos ® sin ® + cos2 ®):
Здесь третий множитель не равен нулю. Следовательно, экстремальные углы поворота достигаются при cos ® = 0 и при 2 sin ® + cos ® = 0. В первом случае угол поворота равен 90± максимум, во втором ¼ 37±минимум.
Квадрат модуля вектора '(¹v), где v¹ =p(cos ®; sin ®), равен 1 + cos2 ® + 2 sin ® cos ®. Производная этого выражения равна нулю при tg(®) = (¡1 § 5)=2. Оператор увеличивает длину вектора с тангенсом наклона (¡1 + p5)=2 примерно и 1:61 раза, и оператор уменьшает длину вектора с тангенсом наклона (¡1 ¡ p5)=2 примерно и 0:61 раза.
Единичная окружность переходит в эллипс с уравнением x2 + 2xy + 2y2 ¡ 1 = 0.
И, наконец, последовательное применение оператора к вектору (x; y) дает следующую картину: |
|||||||||||
µ ¶ µ |
¡ |
|
¶ µ¡ ¡ |
¶ µ¡ |
¶ µ |
|
¶ µ |
¶ µ ¶ |
|
||
x |
x + y |
7! |
y |
y 7! |
¡x |
7! |
¡x ¡ y |
¡y |
x |
: |
|
y 7! |
|
x |
x |
y |
x |
7! x + y |
7! y |
|
|||
Таким образом, на третьем шаге вектор переходит в противоположный, а на шестом становится самим собой. Это, на первый взгляд, странное действие оператора объясняется тем, что
µ ¡1 |
0 |
¶ |
|
= ¡E; а µ ¡1 |
0 ¶ |
= E: |
1 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
6 |
|
|
|