Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect03

Лекция 3. Корни многочленов

1. Кратные корни

Нам понадобится понятие кратности корня.

Определение 1. Корень a многочлена p имеет кратность k, если многочлен делится на (x ¡a)k, но не делится на (x ¡ a)k+1. Корень кратности 1 называется простым, а корень кратности > 1 кратным.

Предложение. Кратные корни многочлена p являются корнями его производной p0. Простые корни не являются корнями производной. Если a кратный корень кратности k многочлена p, то a является корнем кратности k ¡ 1 многочлена p0.

Доказательство. Если a кратный корень многочлена p, то p = (x ¡ a)kq, где k > 1. Следовательно, p0(x) = k(x ¡ a)k¡1q(x) + (x ¡ a)kq0(x);

и p0(a) = 0.

Если a простой корень многочлена p, то p = (x ¡ a)q, причем q(a) 6= 0. Следовательно, p0(a) = q(a) + (a ¡ a)q0(a) = q(a) =6 0:

Пусть p = (x ¡ a)kq, где k > 1 и q(a) 6= 0. Тогда

p0 = k(x ¡ a)k¡1q + (x ¡ a)kq0 = (x ¡ a)k¡1(kq + (x ¡ a)q0):

Так как k(q(a) + (a ¡a)q0(a) = kq(a) =6 0, то многочлен p0 делится на (x ¡a)k¡1, но не делится на (x ¡a)k. ¤

2. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида

Определение 2. Многочлен d называется наибольшим общим делителем двух многочленов p и q, если: а) d является делителем и p и q; б) любой общий делитель многочленов p и q делит d.

Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя. Даны два многочлена p и q, deg(p) > deg(q). Положим g := p, h := q.

Первый шаг. Делим многочлен g на многочлен h и находим остаток от деления многочлен r. Переходим ко второму шагу.

Второй шаг. Если r 6= 0, то полагаем g := h, h := r и переходим к шагу 1. Если r = 0, то переходим к шагу 3. Третий шаг. Работа алгоритма завершена НОД(p; q) := h.

Замечание. Пусть d = НОД(p; p0). Тогда каждый корень a многочлена d является кратным корнем многочлена p, причем кратность a как корня d на единицу меньше кратности a как корня p. Это в частности означает, что все корни многочленов p и s = p=d совпадают, но каждый корень многочлена s простой.

3. Нахождение корней

Всегда возникают трудности, если у многочлена есть кратные корни. Поэтому, если нам нужно просто найти все корни, то сначала следует перейти к многочлену p=НОД(p; p0).

Существует несколько алгоритмов нахождения комплексных корней комплексных многочленов. Здесь будет описан самый простой алгоритм Дюрана-Кернера. Рассмотрим его работу на примере многочлена степени 4: f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Если P; Q; R; S его корни, то f(x) = (x ¡ P )(x ¡ Q)(x ¡ R)(x ¡ S)

и для любого x 6= P; Q; R; S

Используя эти формулы, мы будем вычислять приближенные значения корней все с большей и большей точностью.

Для того, чтобы начать вычисление, мы достаточно произвольно выбираем числа P0; Q0; R0; S0. Нужно только, чтобы эти числа лежали в круге радиуса 1 + max(jaj; jbj; jcj; jdj) и не были близки к друг другу. Далее полагаем

1

2

В процессе вычислений каждая из величин Pn; Qn; Rn; Sn „выбирает\ свой корень и начинает к нему сходиться. Вычисления прекращаются в тот момент, когда числа Pn; Qn; Rn; Sn перестают изменяться (в пределах заданной точности).

Пример. Пусть f(x) = x4 + 2i x3 + (3 ¡ i)x2 + 5x ¡ 3 + 4i. Четыре корня этого многочлена таковы:

¡1:2928 ¡ 0:1575 i; 0:0461 ¡ 3:0807 i; 0:5435 ¡ 0:4250 i; 0:7031 + 1:6633 i:

Положим P0 = 1, Q0 = i, R0 = ¡1, S0 = ¡i. Алгоритм работает следующим образом:

Мы видим, что P на третьем шаге выбирает свой корень, R тоже на третьем, а Q и S на пятом.