Algebra&Geometry / modules 3-4 / lect02

Лекция 2. Формула Кардано

1. Решение уравнения третьей степени

Решение уравнения третьей степени x3 + ax2 + bx + c = 0, a; b; c 2 C, мы начинаем с преобразования левой части с помощью замены переменной x := x ¡ a=3. Тогда

Уравнение x3 +px+q = 0 имеет три корня и пусть x0 один из них. Рассмотрим многочлен f(u) = u2 ¡x0u¡p=3, где u переменная. У этого многочлена есть два корня ® и ¯. По теореме Виета ® + ¯ = x0 и ®¯ = ¡p=3. Следовательно,

(® + ¯)3 + p(® + ¯) + q = 0

или

®3 + ¯3 + (3®¯ + p)(® + ¯) + q = ®3 + ¯3 + q = 0:

Таким образом,

®3 + ¯3 = ¡q и ®3¯3 = ¡p3=27:

Из этих двух равенств вытекает, что числа ®3 и ¯3 являются корнями квадратного уравнения z2 +qz¡p3=27 = 0. Поэтому

Эта формула для корней уравнения третьей степени называется формулой Кардано.

Замечание. Выбор корня x0 не имеет значения, поскольку числа ® и ¯ зависят лишь от коэффициентов уравнения x3 + px + q = 0, а не от его корней.

Замечание. Знак „+\ перед корнем из комплексного числа

q2 + p3

4 27

позволяют построить нам три корня исходного уравнения.

Определение 1. Число q2=4 + p3=27 называется дискриминантом многочлена x3 + px + q.

Пример. Рассмотрим уравнение x3 + 3i x + 2 = 0. Здесь p = 3i и q = 2. Следовательно

p p

®3 = ¡1 + 1 ¡ i = ¡1 + 4 2(cos(¼=8) ¡ i sin(¼=8)) ¼ 0:098684113 ¡ 0:4550898607 i ¼

¼ 0:4656665497(cos(77:76509980±) ¡ i sin(77:76509980±)):

Таким образом,

®1 ¼ 0:7751010897(cos(25:92169993±) ¡ i sin(25:92169993±)) ¼ 0:6971199379 ¡ 0:3388295904 i; ®2 ¼ 0:7751010897(cos(94:07830007±) + i sin(94:07830007±)) ¼ ¡0:05512493631 + 0:7731383710 i; ®3 ¼ 0:7751010897(cos(214:0783001±) + i sin(214:0783001±)) ¼ ¡0:6419950023 ¡ 0:4343087798 i:

Соответственно

¯1 = ¡i=®1 ¼ 0:5639812113 ¡ 1:160354816 i; ¯2 = ¡i=®2 ¼ ¡1:286887353 + 0:09175535202 i; ¯3 = ¡i=®3 ¼ 0:7229061411 + 1:068599465 i

и

x1 = ®1 + ¯1 ¼ 1:261101149 ¡ 1:499184406 i; x2 = ®2 + ¯2 ¼ ¡1:342012289 + 0:8648937230 i; x3 = ®3 + ¯3 ¼ 0:0809111388 + 0:6342906852 i:

1