Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT12
.pdfЛекция 12. Ранг
1. Ранг матрицы
Самой важной характеристикой матрицы является ее ранг.
Определение 1. Рангом rk(A) главной ступенчатой матрицы A называется число ее ненулевых строк, или, что то же самое, число ее главных элементов, или, что то же самое, число ее главных столбцов.
Определение 2. Пусть A произвольная матрица, а B ее главная ступенчатая форма. Тогда положим rk(A) := rk(B).
Замечание. Так как главная ступенчатая форма произвольной матрицы определена однозначно, то и ранг матрицы тоже корректно определен. Так, например,
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
rk |
@3 |
3 |
3 |
3A |
= 1: |
02 |
2 |
2 |
21 |
Предложение 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк (числу главных элементов, числу главных столбцов).
Доказательство. Процедура приведения ступенчатой матрицы к главному ступенчатому виду не меняет числа ненулевых строк. ¤
Это означает, что для вычисления ранга достаточно привести матрицу к ступенчатому, а не к главному ступенчатому виду.
Предложение 2. Пусть матрица B получена из матрицы A цепочкой элементарных преобразований, тогда rk(B) = rk(A).
Доказательство. По теореме о единственности главного ступенчатого вида у матриц A и B одинаковый главный ступенчатый вид. ¤.
Докажем еще одно полезное свойство ранга.
Предложение 3. Пусть A m £ n-матрица. Тогда rk(A) · min(m; n).
Доказательство. Приведем матрицу A к главной ступенчатой матрице B. Тогда число ненулевых строк B не превышает общего числа строк, поэтому rk(B) · m, а число главных столбцов B не превышает общего числа столбцов, поэтому rk(B) · n. ¤
2. Ранг и элементарные преобразования столбцов
Элементарные преобразования столбцов определяются точно так же, как элементарные преобразования строк. Мы будем использовать те же обозначения, но со штрихами. Так T 0(1; 2) это перестановка первого и второго столбцов. Как и в случае элементарных преобразований строк, элементарные преобразования столбцов обратимы: если матрица B получена из матрицы A с помощью одного элементарного преобразования столбцов, то и матрица A может быть получена из матрицы B с помощью одного элемен-
тарного преобразования столбцов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Элементарные преобразования строк, как правило, не перестановочны, т.е. T1(T2(A)) 6= T2(T1(A)), где |
||||||||||
T1 |
и T2 |
элементарные преобразования. Например, |
11 T (2;3) |
03 |
3 |
31 |
; |
||||
|
|
02 |
2 |
21 T (1;2) |
01 |
1 |
|||||
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
но |
|
@3 3 3A ¡! @3 3 3A ¡! @1 1 1A |
: |
||||||||
|
|
02 |
2 |
21 T (2;3) |
03 |
3 |
31 T (1;2) |
01 |
1 |
11 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
|
@ A ¡! @ A ¡! @ A
3 3 3 2 2 2 2 2 2
Оказывается, однако, что элементарные преобразования строк перестановочны с элементарными преобразованиями столбцов.
Предложение 4. Пусть T некоторое элементарное преобразования строк, а T 0 некоторое элементарное преобразование столбцов, тогда T 0(T (A)) = T (T 0(A)) для произвольной матрицы A.
Доказательство. Очень простое доказательство этого утверждения будет дано немного позже. А сейчас убедимся в справедливости утверждения, разобрав все случаи. Легко видеть, что нужно рассматривать лишь те элементы матрицы A, которые меняются и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0.
1
2
² T = T (i; ®), T 0 = T 0(j; ¯). Есть только один элемент матрицы A, который меняется и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0 это aij. Однако, и при действии T 0(T (A)), и при действии T (T 0(A)) этот элемент умножается на ®¯.
² T = T (i; ®), T 0 = T 0(k; l). Есть два элемента матрицы A, которые меняются и при действии
преобразования T , и при действии преобразования T 0 |
это aik и ail. Имеем, |
|||
¡aik |
T |
T 0 |
¡®ail |
®aik¢ |
ail¢ ¡! ¡®aik |
®ail¢ ¡! |
|||
и |
|
|
|
|
¡aik |
T 0 |
T |
|
®aik¢: |
ail¢ ¡! ¡ail |
aik¢ ¡! ¡®ail |
|||
² T = T (i; ®), T 0 = T 0(k; l; ¯). Есть только один элемент матрицы A, который меняется и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0 это ail. Имеем,
T |
T 0 |
ail ¡! ®ail ¡! ®(aik + ail) |
|
и |
|
T 0 |
T |
ail ¡! aik + ail ¡! ®(aik + ail):
²T = T (i; j), T 0 = T 0(k; l). Есть четыре элемента матрицы A, которые меняются и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0 это aik, ail, ajk и ajl. Имеем,
|
µajk |
ajl¶ |
¡! |
µaik |
ail¶ |
¡! |
µail |
aik ¶ |
|
aik |
ail |
T |
ajk |
ajl |
T 0 |
ajl |
ajk |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aik |
ail |
T 0 |
ail |
aik |
T 0 |
ajl |
ajk |
|
µajk |
ajl¶ |
¡! |
µajl |
ajk¶ |
¡! |
µail |
aik ¶: |
²T = T (i; j), T 0 = T 0(k; l; ¯). Есть два элемента матрицы A, которые меняются и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0 это ail и ajl. Имеем,
|
|
ail |
T |
ajl |
T 0 |
|
ajl + ¯ajk |
|
|
||
и |
µajl¶ |
¡! |
µail¶ |
¡! |
µail + ¯aik ¶ |
|
|
||||
µajl |
¶ ¡! |
µajl + ¯ajk¶ |
¡! |
µail + ¯aik |
¶ |
: |
|||||
|
|||||||||||
|
ail |
T 0 |
ail + ¯aik |
|
T |
ajl + ¯ajk |
|
||||
² T = T (i; j; ®), T 0 = T 0(k; l; ¯). Есть только один элемент матрицы A, который меняется и при действии преобразования T , и при действии преобразования T 0 это ajl. Имеем,
T |
T 0 |
|
ajl ¡! ajl + ®ail ¡! ajl + ®ail + ¯ajk |
|
|
и |
|
|
T 0 |
T |
: |
ajl ¡! ajl + ¯ajk ¡! ajl + ¯ajk + ®ail |
||
¤
Теорема 1. Элементарные преобразования столбцов не меняют ранг матрицы.
Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A с помощью одного элементарного преобразования столбцов T 0: B = T 0(A). Рассмотрим цепочку элементарных преобразований T1; : : : ; Tn, которые преобразуют матрицу A в ступенчатую матрицу C. Пусть rk(A) = r. Это означает, что у матрицы C в r-й строке есть ненулевые элементы, но строки с номерами > r нулевые. Применим элементарные преобразования T1; : : : ; Tn (в этом порядке) к матрице B и получим матрицу D. По Предложению 2, rk(B) = rk(D). Но, по Предложению 4, D = T 0(C). Так как элементарное преобразование столбцов нулевую строку оставляет нулевой, то в матрице D строки с номерами > r нулевые. Процедура приведения матрицы к ступенчатому виду не затрагивает нулевых строк. Поэтому rk(B) = rk(D) 6 r = rk(A).
С другой стороны, матрица A получена из матрицы B с помощью одного элементарного преобразования столбцов. Рассуждая как выше получаем, что rk(A) 6 rk(B). Значит, rk(A) = rk(B). ¤
3
3. Транспонирование и ранг
Определение 3. Пусть A произвольная матрица размера m £ n. Транспонированной матрицей At называется матрица размера n £ m, у которой первый столбец это первая строка A, второй столбец это вторая строка A, и так далее. Иначе можно сказать так: aij = atji для всех i; j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n.
Пример. |
|
|
¶ |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
4 |
5 |
6 |
|
= |
2 |
5 |
: |
|||
µ |
|
|
t |
|
|
3 |
6 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. ¡At¢t = A.
Как соотносятся между собой ранг матрицы A и ранг матрицы At? На первый взгляд между рангами этих двух матриц нет никакой связи. Тем удивительнее оказывается следующее утверждение.
Теорема 2. rk(A) = rk(At).
Доказательство. Пусть rk(A) = p, а rk(At) = q. Пусть T1; : : : ; Tn цепочка элементарных преобразований, которая приводит матрицу A к главному ступенчатому виду C. Тогда у матрицы C имеется ровно p ненулевых строк. Обозначим через Ti0 преобразование, такое же как преобразование Ti, но над столбцами. Цепочка преобразований T10; : : : ; Tn0 преобразует матрицу At в матрицу Ct. Так как элементарные преобразования столбцов ранг не меняют, то rk(At) = rk(Ct) = q. Но у матрицы Ct ровно p ненулевых столбцов. А так как элементарные преобразования (строк) нулевые столбцы оставляют нулевыми, то у главного ступенчатого вида D матрицы Ct число ненулевых столбцов будет 6 p. Значит и число главных столбцов матрицы D будет 6 p. Но это число равно q, т.е. q 6 p.
Теперь осталось воспользоваться тем, что ¡At¢t = A. ¤