Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT11

Лекция 11. Единственность главного ступенчатого вида. Совместность и решения систем

1. Единственность главного ступенчатого вида

Теперь докажем важную теорему о единственности главного ступенчатого вида.

Теорема 1. Пусть B и C главные ступенчатые матрицы, элементарными преобразованиями полученные из некоторой матрицы A. Тогда B = C.

Доказательство. Будем рассматривать матрицу A, как матрицу однородной системы S. Однородная система S1, отвечающая матрице B, равносильна однородной системе S, а однородная система S2, отвечающей матрице C, также равносильна S. Поэтому системы S1 и S2 равносильны. Предположим, что B =6 C, тогда найдется такое i, что столбцы матрицы B с номерами 1; : : : ; i ¡1 равны соответствующим столбцам матрицы C, а i-й столбец B не равен i-му столбцу C.

Предположим сначала, что i = 1, т.е. у главных ступенчатых матриц B и C первые столбцы различны. Однако первый столбец главной ступенчатой матрицы или нулевой, или в нем на первом месте стоит 1, а остальные элементы нули. Так как первые столбцы у матриц B и C различны, то (например) у C первый столбец нулевой, а у B первый элемент первого столбца единица (а остальные элементы нули). Но тогда система S2 имеет решение x1 = 1, x2 = x3 = : : : = xn = 0, которое не является решением системы S1, что противоречит равносильности этих систем.

Пусть теперь i > 1. Рассмотрим три случая.

²i-й столбец главный и в B и в C. Тогда он имеет один и тот же номер k (как главный столбец) и в B и в C. Но у k-го главного столбца на k -м месте стоит единица, а остальные элементы нули. Значит эти столбцы в B и в C равны. Противоречие.

²i-й столбец главный в B и не главный в C. Пусть этот столбец, как главный столбец в матрице B, имеет номер k. Тогда в матрице C нашему столбцу предшествует k ¡ 1 главный столбец.

Следовательно, в i-м столбце матрицы C может быть лишь k ¡ 1 ненулевой элемент a1; : : : ; ak¡1. Пусть первые k ¡ 1 главных столбцов имеют в B (и в C) номера i1; : : : ; ik¡1. Рассмотрим решение системы S2:

xi1 = ¡a1; xi2 = ¡a2; : : : ; xik¡1 = ¡ak¡1; xi = 1;

а неизвестные, с номерами отличными от i1; : : : ; ik¡1; i, равны нулю. Тогда это решение не является решением k-го уравнения системы S1. Противоречие.

²i-й столбец не главный и в B и в C. Пусть i1; : : : ; ik номера главных столбцов слева от i-го, и пусть элементы i-го столбца равны (¯1; : : : ; ¯k; 0; : : :) в матрице B и (°1; : : : ; °k; 0 : : :) в матрице C. Рассмотрим решение системы S1:

xi1 = ¡¯1; : : : ; xik = ¡¯k; xi = 1;

а остальные неизвестные равны нулю. Пусть 1 6 j 6 k. Подставим это решение в j-е уравнение системы S2. В этом уравнении коэффициенты при всех главных неизвестных, кроме xij , равны нулю, коэффициент при xij равен 1, а коэффициент при xi равен °j. Подстановка дает равенство ¡¯j + °j = 0. Таким образом, i-е столбцы в B и C равны. Противоречие.

2. Совместность системы и число решений

Определение 1. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду. Неизвестные, отвечающие главным столбцам, называются главными неизвестными. Остальные неизвестные (если они есть) называются свободными неизвестными.

Теорема 2. Если в матрице неоднородной системы (приведенной к главному ступенчатому виду) последний столбец главный, то система несовместна. В противном случае система совместна. Если система совместна и каждая неизвестная главная, то система имеет единственное решение. В противном случае система имеет бесконечно много решений.

Доказательство. Если последний столбец главной ступенчатой матрицы главный, то строка, в которой стоит соответствующий главный элемент имеет вид 0; : : : ; 0; 1. Этой строке отвечает уравнение (преобразованной) системы 0 ¢ x1 + ¢ ¢ ¢ + 0 ¢ xn = 1. То-есть система не имеет решений.

1

2

Пусть теперь система либо однородна, либо неоднородна, но последний столбец главной ступенчатой матрицы не является главным. Имеется две возможности: либо все неизвестные главные, либо есть свободные неизвестные. В первом случае главный ступенчатый вид матрицы системы таков:

т.е. система имеет единственное решение x1 = b1, x2 = b2,..., xn = bn (или x1 = ¢ ¢ ¢ = xn = 0).

Пусть теперь система имеет свободные неизвестные. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду B. Рассмотрим систему с матрицей B и перенесем свободные неизвестные в правую часть системы. Тогда система будет иметь следующий вид:

Здесь r число ненулевых строк матрицы B, i1; : : : ; ir номера главных столбцов, а c1; : : : ; cr элементы последнего столбца матрицы B (если система неоднородна).

Теперь, выбрав значения свободных неизвестных, мы найдем и значения главных неизвестных, т.е. построим решение системы. Любое решение системы может быть получено выбором значений свободных неизвестных и каждый выбор таких значений дает решение системы. Так как имеется бесконечное количество способов задать значения свободных неизвестных, то, тем самым, система имеет бесконечное количество решений. Обратите внимание, что доказана совместность неоднородной системы, если последний столбец не главный. ¤

3. Формула общего решения

Итак, либо система не имеет решений, либо система имеет ровно одно решение, либо она имеет их бесконечно много. Как записать решения системы в последнем случае. Есть стандартный способ сделать это.

Сначала мы (используя главную ступенчатую матрицу) выразим главные неизвестные через свободные.

вместо главных неизвестных напишем их выражения через свободные.

Теперь представим этот столбец в виде суммы столбцов: