Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT1
.pdf
Лекция1.Векторы на плоскости.
1. Векторы на плоскости
Цель первых нескольких лекций понять,как использование векторов помогает решать стандартные задачи о площадях,объемах,углах и т.п.
Понятие вектора будет далее уточняться.Пока же под вектором мы будем понимать направленный отрезок. Если A начало вектора , аB его конец , то этот вектор будет обозначатьсяAB. Векторы мы также будем
обозначать маленькими латинскими буквами с черточкой сверху ¯, ¯ и т.д.Два вектора считаются равными,если a b
один может быть получен из другого параллельным переносом.Мы будем предполагать,что на плоскости(в пространстве)задана обычная декартова система координат.Вектор находится в стандартном положении,если его начало совпадает с началом координат O.
Координатами вектора называются координаты его конца в стандартном положении.Так как AB = OB °OA, то координаты вектора AB это координаты точки B минус координаты точки A. Длина |a¯| вектора a¯ с координатами
|
p |
|
|
|
|
¯ |
|
(a1, a2) |
2 |
+ a |
2 |
|
|
||
a |
|
.Мы также будем рассматривать особый вектор |
0 |
нулевой длины,координаты которого |
|||
нулевыеравна. |
1 |
|
2 |
|
Вектора можно складывать и умножать на числа.Складываются векторы по правилу параллелограмма,при этом координаты суммы равны сумме координат слагаемых.При умножении вектора на положительное число Æ, его направление не меняется,а длина изменяется в Æ раз,при умножении вектора на отрицательное число Ø, его направление меняется на противоположное,а длина изменяется в |Ø| раз,при умножении вектора на число 0, он становится нулевым вектором.При умножении вектора на число его координаты умножаются на то же число.
2. Площадь треугольника
Мы говорим,что нам задан треугольник 4ABC, если мы знаем координаты его вершин . Как найти площадь тре - угольника?Для этого мы найдем косинус одного из его углов(используя теорему косинусов),а потом по косинусу
найдем синус. |
4ABC координаты точки A равны (°3, °1), координаты точки B равны (2, 5) и координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть,например,в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки C равны (6, 0). Тогда AB = p |
|
|
, |
AC = p |
|
и BC = p |
|
|
|
. По теореме косинусов |
|||||||||||||||||||||||||||||
61 |
82 |
41 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. 41 = 61 + 82 ° 2p |
|
p |
|
BC2 = AB2 + AC2 ° 2 · AB · AC · cos(\A), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
61 |
82 |
cos(\A). Таким образом , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(\A) = |
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
61 |
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
sin(\A) = p1 ° cos2(\A) = r1 ° |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
p |
|
|
p |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
61 · |
82 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
61 |
82 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
AB · AC · sin(\A) = |
1 p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
49 |
|
|
|
|
49 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S4ABC = |
|
|
|
61 |
|
|
82 p |
|
p |
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
82 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Самое интересное в этом вычислении это то,что при вычислении синуса извлекся корень в числителе,и
поэтому мы получили„хороший “ ответ.Оказывается так происходит всегда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
, a2) это |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим 4ABC и векторы AB = a¯, AC = b |
и BC = c¯.Здесь c¯ = BC = AC °AB = b °a¯. Пусть (a1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, b2 ° a2) будут координатами вектора |
||||||||||||
координаты вектора a¯, (b1, b2) координаты вектора b, тогда числа (b1 ° a1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c¯. По теореме косинусов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(b1 ° a1)2 + (b2 ° a2)2 = a12 + a22 + b12 + b22 ° 2q |
|
|
q |
|
|
cos(\A). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a12 + a22 |
b12 + b22 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1b1 + a2b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(\A) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 2 |
+ a2 |
p |
+ b2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin2( |
\ |
A) = 1 |
° |
|
|
(a1b1 + a2b2) |
= |
a1b2 ° 2a1a2b1b2 + a2b1 |
|
= |
|
(a1b2 ° a2b1) |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
(a12 + a22)(b12 + b22) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a12 + a22)(b12 + b22) |
|
|
|
|
|
|
(a12 + a22)(b12 + b22) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|a1b2 ° a2b1| |
|
|
|
|
|a1b2 ° a2b1| |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
S |
|
ABC |
= |
|
a12 + a22 |
b12 |
+ b22 |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
a12 + a22 |
b12 + b22 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Мы видим,что при вычислении синуса действительно |
корень из числителя всегда извлекается. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Сформулируем полученный результат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¯ |
векторы с координатами (a1, a2) и (b2, b2),соответственно.Тогда величина |a1b2 ° |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма1. Пусть a¯ и b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2b1| равна площади параллелограмма,построенного на этих векторах,а величина |a1b2 ° a2b1|/2 равна площади |
||
треугольника,заданного векторами |
a¯ |
¯ |
и b. |
||
1
2
3. Определитель второго порядка
Матрицей называется прямоугольная таблица.Элементами матрицы могут быть как числа,так и символьные выражения.Матрица называется m £n матрицей,если у нее m строк и n столбцов.Матрица называется квадратной,если число ее строк равно числу столбцов.Матрицы мы будем обозначать большими латинскими буквами и
использовать круглые скобки.Вот пример записи числовой |
2 £ 3 матрицы: |
||
A = |
µ4 |
5 |
6∂. |
|
1 |
2 |
3 |
Определитель квадратной матрицы это число,вычисляемое по матрице по специальным правилам(неквадратная матрица определителя не имеет).Для обозначения определителя используются прямые скобки:
|
|
B = µ3 |
4∂ матрица , а|B| = |
Ø3 |
4Ø |
число . |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Ø |
1 |
2 |
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø |
Ø |
|
|
||||
Определитель n |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второго порядка вычисляется |
||
|
n матрицы называется определителем n-го порядкаØ |
.ОпределительØ |
||||||||||||
так: |
|
|
|A| = |
Øc dØ |
= ad ° bc. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ø |
a |
b |
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø |
|
|
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø |
|
|
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,для вычисления площади треугольника ABC нужно:
(1)выбрать вершину треугольника и найти координаты двух векторов,с общим началом в выбранной вершине и с концами в двух других вершинах треугольника ;
(2)записать их координаты в виде 2 £ 2 матрицы,координаты одного вектора образуют первую строку,координаты второго вторую;
(3)найти определитель этой матрицы и его модуль разделить на2 это и есть площадь.
Пример. Снова рассмотрим 4ABC: A = (°3, °1), B = (2, 5), C = (6, 0). Тогда AB = (5, 6), AC = (9, 1) и
Ø9 1Ø |
= 5 · 1 ° 6 · 9 = °49. |
|||
Ø |
5 |
6 |
Ø |
|
Ø |
|
|
Ø |
|
Ø |
|
|
Ø |
|
Следовательно, S4ABC = 49/2.Это число уже было нами найдено.
Замечание. На первый взгляд,вычисление площади многоугольника не представляет трудностей:разобьем его диагоналями на треугольники,найдем их площади и просуммируем.Однако,задача разбиения многоугольника диагоналями на треугольники становится непростой,если многоугольник невыпуклый.Вычисление площади в этом случае использует совсем другие идеи.
4. Коллинеарные векторы
Определение1. Два вектора называются коллинеарными,если они параллельны.При этом нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.
Заметим,что два вектора |
a¯ |
¯ |
коллинеарны,если они пропорциональны,т.е. |
¯ |
= Æ · a¯, где Æ некоторое число . |
и b |
b |
Нулевой вектор пропорционален любому вектору a¯: ¯0 = 0 · a¯.Сформулируем критерий коллинеарности.
Лемма2. |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
Векторы a¯ = (a1, a2) и b = (b1, b2) коллинеарны в том и только том случае,когда |
||||||||||
|
|
|
Ø |
a1 |
a2 |
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
Ø |
|
|
|
Ø |
= a1b2 ° a2b1 = 0. |
|
|
|
|
|
Øb1 b2 Ø |
|
||||||
Доказательство. Пусть a1b2 |
° |
a2b1 = 0. ЕслиØ |
a1 = 0Ø |
и b1 = 0, то a2/a1 = b2/b1, т . е . векторыa¯ и ¯b пропорциональны |
||||||
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
||
и,значит,коллинеарны.Если |
|
a1 = 0, то a2b1 |
= 0.Здесь имеется две возможности:а) |
a2 = 0, но это значит . чтоa¯ |
||||||
нулевой вектор,т.е.по нашему соглашению он коллинеарен |
¯ |
¯ |
||||||||
b; б )b1 = 0, но в этом случае векторы a¯ и b лежат на |
||||||||||
осиOY,т.е.коллинеарны. |
¯ |
коллинеарны.Если один из них нулевой вектор,то |
a1b2 ° a2b1 = 0. Если оба эти |
|||||||
|
|
|||||||||
Пусть теперь векторы a¯ и b |
||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
= Æ · a¯.Следовательно, b1 = Æa1, b2 |
= Æa2. Поэтому a1b2 ° a2b1 = |
|||
вектора ненулевые,то они пропорциональны и b |
||||||||||
Æa1a2 ° Æa2a1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
5. |
Пары векторов |
|
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение2. Пусть a¯ и b неколлинеарные векторы.Мы говорим,что они образуют пару,если известно какой |
||||||||||
из них первый,а какой второй.Пару мы будем обозначать |
¯ |
¯ |
||||||||
{a,¯ b}.Неколлинеарные векторы a¯ и b образуют две |
||||||||||
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пары {a,¯ b} и {b, a¯}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим пару {¯ ¯}. Будем считать , что оба вектора находятся в стандартном положении . Тогда они образуют a, b
два угла один < 180±, а другой > 180±.Углом между неколлинеарными векторами мы будем называть меньший из этих углов.
Определение3. Пара векторов называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму про - исходит против часовой стрелки,и левой, если этот поворот происходит по часовой стрелке.
|
|
|
|
|
|
3 |
Замечание. В обычной системе координат на плоскости пара { |
|
|
|
} правая . |
|
|
OX, |
OY |
|
||||
Как,зная координаты векторов установить,является ли пара |
¯ |
|
|
|||
{a,¯ b} правой или левой?Чтобы получить ответ |
||||||
на этот вопрос,сначала рассмотрим наглядный случай,когда оба вектора находятся в первой четверти.Пусть Æ |
||||||
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
наклон вектора a¯ к оси OX, а Ø наклон вектора b к той же оси . Тогда , еслиÆ > Ø, та пара {a,¯ |
b} левая,а если |
|||||
Æ < Ø то правая . Так как оба угла меньше90±, то Æ > Ø, если tg(Æ) > tg(Ø) и наоборот . Но tg(Æ) = a2/a1, а tg(Ø) = b2/b1. Поэтому пара правая , если
tg |
(Ø) |
° tg |
(Æ) = |
|
b2 |
|
|
a2 |
= |
a1b2 ° a2b1 |
> 0. |
|
|
|
|
|||
|
b1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
° a1 |
a1b1 |
|
¯ |
|
|
|||||||||
У векторов в первой четверти координаты положительны,следовательно:пара |
{a,¯ |
° a2b1 |
> 0, |
|||||||||||||||
b} правая,если a1b2 |
||||||||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пара {a,¯ b} левая,если a1b2 ° a2b1 < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оказывается,что этот критерий справедлив всегда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма3. Пара {a,¯ b} правая,если определитель |
|
|
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ø |
a1 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ø |
|
b2 |
Ø |
= a1b2 ° a2b1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Øb1 |
Ø |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Ø |
|
|
|
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
больше нуля и левая,если этот определитель меньше нуля.
Доказательство. Доказательство теоремы сводится к изучению всех возможных случаев расположения векторов |
|||||||||||||||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¯ и b на плоскости.Мы пока изучили случай,когда оба вектора находятся в первой четверти.Покажем на трех |
|||||||||||||||||||||||||
примерах,как можно изучать другие случаи. |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть вектор a¯ находится в первой четверти,а вектор |
|
|
|
|
|
|
|
правая . С другой |
|||||||||||||||||
|
b |
во второй . Тогда пара{a,¯ b} |
|||||||||||||||||||||||
стороны, a1 > 0, a2 > 0, b1 < 0 и b2 > 0.Следовательно, |
a1b2¯° a2b1 > 0, что и требовалось . ¯ |
находится в первой |
|||||||||||||||||||||||
Пусть вектор a¯ находится в первой четверти,а вектор |
b |
в третьей . Тогда вектор°b |
|||||||||||||||||||||||
четверти,и пара { |
a,¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a,¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
° |
b2) |
° |
a2( |
° |
b1) < |
||
b |
} правая в том и только том случае , когда пара{ |
° |
} левая , т . е . если |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a1( |
|
|
|
||||||
0. Но умножая это неравенство на °1 получаем требуемое неравенство a1b2 ° a2b1 > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть векторы a¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и b находятся во второй четверти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a¯ oS |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
¯ iP |
PPPP |
SS |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
|
P |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PPPS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b1 |
|
a1 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Обозначим угол между вектором a¯ и отрицательным направлением осиOXчерез |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Æ, и угол между вектором b и |
|||||||||||||||||||||||||
отрицательным направлением оси OX через Ø. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
¯ |
|
\Æ > \Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
пара {a,¯ b} правая , |
, tg(Æ) > tg(Ø) |
, |
|
> |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
°a1 |
°b1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Так как a1 < 0 и b1 < 0, то последнее неравенство мы можем умножить на (°a1) £ (°b1) и получить требуемое неравенство a1b2 ° a2b1 > 0. §
Объединим полученные результаты.
¯ |
|
|
|
|
Теорема1. Пусть a¯ и b векторы с координатами (a1, a2) и (b2, b2),соответственно.Положим d = a1b2 °a2b1. |
||||
Тогда |
¯ |
|
|
|
• если d > 0, то пара {a,¯ |
правая ; |
|
|
|
b} |
|
|
||
• если d < 0, то пара {a,¯ |
¯ |
¯левая; |
|
|
b} |
|
|
||
• если d = 0,то векторы |
a¯ и b коллинеарны и пару не образуют. |
a¯ |
¯ |
|
При этом величина |d| равна площади параллелограмма,построенного на векторах |
и b. |
|||