Algebra&Geometry / modules 1-2 / LECT10
.pdfЛекция 10. Системы и матрицы. Ступенчатые матрицы
1. Системы и матрицы
Изучение линейной алгебры мы начинаем с линейных систем. Рассмотрим линейную систему из m урав-
нений с n неизвестными x1 |
; : : : ; xn (m и n не обязательно равны, n может быть больше m, или наоборот): |
|||||
|
8 a11x1 + ¢.¢.¢. + a1nxn |
=.. |
b1 |
(1) |
||
|
> |
|
|
. |
|
|
|
< am1x1 + + amnxn = bm |
|
||||
Система называется совместной, если> |
она имеет¢ ¢ ¢ |
решение (не обязательно единственное), в противном |
||||
|
: |
|
|
|
|
|
случае система называется несовместной. Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот. Система называется однородной, если в ее правой
части стоят нули, т.е. b1 = ¢ ¢ ¢ = bm = 0.
Наша задача научиться решать системы, т.е. наиболее экономным способом находить решение, если оно единственно, или формулу, описывающую все решения, если их много. Для этого мы установим связь между системами и матрицами и опишем преобразования матриц, которые переводят систему в равносильную.
Здесь и дальше мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами. Через aij будет обозначаться элемент матрицы A, лежащий в i-й строке и j-м столбце.
Системе вида (1) мы сопоставляем матрицу |
|
|
|
|
0a11... |
¢.¢.¢. |
a1...n |
b...1 |
1 |
Bam1 |
¢ ¢ ¢ |
amn |
bmC |
|
@ |
|
|
A |
|
Если система однородна, то правый столбец, состоящий из одних нулей, опускается. Так системе
|
x + 2y = 1 |
|
1 |
2 |
1 |
а системе |
½ x + 3y = 0 |
мы сопоставляем матрицу |
µ1 |
3 |
0¶; |
x + 2y = 0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
½ x + 3y = 0 |
мы сопоставляем матрицу |
µ1 |
|
3¶: |
Если нам дана матрица, то для превращения ее в систему нужно указать, идет речь об однородной или о неоднородной системе.
2. Элементарные преобразования
Наша ближайшая цель определить преобразования матрицы системы, которые сохраняют равносильность системы, но упрощают вид матрицы.
Определение 1. Следующие три типа преобразований называются элементарными преобразованиями строк матриц.
²Преобразование T (i; ®) умножение каждого элемента i-й строки на число ® =6 0.
²Преобразование T (i; j) перестановка местами i-й и j-й строк.
²Преобразование T (i; j; ®) прибавление к j-й строке (поэлементно) i-й строки, умноженной на ® 6= 0 (при этом i-я строка не меняется).
Теорема 1. Пусть элементарное преобразование T переводит матрицу A системы S1 в матрицу B, которой отвечает система S2. Тогда системы S1 и S2 равносильны.
Доказательство. Очевидно. |
¤ |
Важным свойством элементарных преобразований является их обратимость.
Теорема 2. Если матрица B получена из матрицы A с помощью одного элементарного преобразования, то и A может быть получена из B с помощью одного элементарного преобразования.
Доказательство.
²Если T (i; ®)(A) = B, то T (i; 1=®)(B) = A.
²Если T (i; j)(A) = B, то T (i; j)(B) = A.
²Если T (i; j; ®)(A) = B, то T (i; j; ¡®)(B) = A.
¤
1
2
3. Ступенчатые матрицы
Теперь объясним, как именно мы хотим упростить вид матрицы с помощью элементарных преобразований.
Определение 2. Главным элементом строки матрицы A называется ее первый ненулевой элемент.
Пример. Пусть 3 £ 5 матрица имеет вид
A = |
01 |
1 |
0 |
2 |
11 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
3 |
|
@0 |
0 |
0 |
3 |
1A |
Главными элементами A являются a12 = 1; a21 = 1 и a34 = 3.
Определение 3. Матрица A называется ступенчатой, если все ее нулевые строки стоят после ненулевых, и в каждой ненулевой строке, начиная со второй, ее главный элемент стоит правее главного элемента предыдущей строки.
Матрица из предыдущего примера не является ступенчатой матрицей. А вот ступенчатая матрица:
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
@ |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
A |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Определение 4. Столбцы, в которых стоят главные элементы ступенчатой матрицы, называются главными столбцами.
4. Приведение к ступенчатому виду
Теперь докажем важную теорему.
Теорема 3. Любую матрицу A с помощью элементарных преобразований можно преобразовать в ступенчатую матрицу.
Доказательство. Рассмотрим первый ненулевой столбец матрицы A. Перестановкой строк (если это необходимо) всегда можно добиться того, что первый элемент первого ненулевого столбца не равен нулю. Теперь преобразованиями вида T (1; j; ®) мы обнуляем все элементы этого столбца (кроме первого). Итак, мы имеем матрицу, у которой в первом главном столбце только один ненулевой элемент в первой строке.
Работа с первой строкой закончена. Далее мы будем рассматривать строки с номерами > 1, игнорируя первую строку (как будто ее нет). С полученной матрицей повторяется та же процедура: берем первый ее ненулевой столбец (т.е. в котором есть ненулевой элемент в строке с номером > 1), переставляем (если это необходимо) ненулевой элемент на второе место в столбце и обнуляем преобразованиями T (2; j; ®), j > 2, все элементы этого столбца в строках с номерами > 2.
Работа со второй строкой закончена. Далее мы будем рассматривать строки с номерами > 2, игнорируя
первые две строки. И т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
Пример. |
|
|
¡1 |
1 T(1;3) |
0 2 |
|
¡1 |
1 T(1;2;¡2) |
0 0 |
¡1 |
¡1 1 |
|
|||
0 2 |
1 |
1 |
: |
||||||||||||
@ |
0 |
3 |
1 |
A ¡¡¡¡! @ |
1 |
1 |
0 |
A ¡¡¡¡¡¡! @ |
1 |
1 |
0 |
A |
|
||
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
3 |
1 |
|
||||||
Работа с первым столбцом закончена. Теперь с первой строкой мы больше не работаем.
0 |
0 |
¡1 |
¡1 |
1 |
T(2;3;3) |
0 |
0 |
¡1 |
¡1 |
1 |
: |
@ |
1 |
1 |
0 |
A ¡¡¡¡¡! @ |
1 |
1 |
0 |
A |
|
||
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
¡2 |
|
|||||
Преобразование закончено.
Процедуру преобразования матрицы в ступенчатую матрицу мы будем называть приведением матрицы к ступенчатому виду. Но на этом процесс преобразования не заканчивается. Мы можем и далее упрощать вид матрицы.
3
5. Главные ступенчатые матрицы
Определение 5. Ступенчатая матрица называется главной ступенчатой, если
²Все ее главные элементы равны 1.
²В каждом главном столбце все элементы, кроме главного, равны 0.
Пример. Вот список всех главных ступенчатых 2 £ 2-матриц : |
µ0 |
0¶ |
: |
||||||||
µ0 |
1¶ |
; |
µ0 |
0¶ |
; |
µ0 |
0¶ |
; |
|||
1 |
0 |
|
1 |
a |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
Теорема 4. С помощью элементарных преобразований каждую ступенчатую матрицу можно преобразовать в главную ступенчатую.
Доказательство. Пусть A ступенчатая матрица, и пусть ее последний главный элемент равный ® =6 0 находится в r-й строке, т.е. строки с номерами > r (если они есть) нулевые. Преобразованием T (r; 1=®) превратим этот элемент в 1. Теперь преобразованиями вида T (r; i; ¯), i < r, можно обнулить все неглавные элементы этого главного столбца.
Далее рассматриваем предпоследний главный элемент. Работа с предпоследним главным элементом не меняет последний главный столбец, потому что мы теперь работаем с (r ¡ 1)-й строкой, а элемент, стоящий
на пересечении этой строки и последнего главного столбца, равен нулю. И т.д. |
|
|
|
|
|
¤ |
|||||||||||||||||||
Пример. |
0 |
2 |
|
¡1 |
1 |
T(3;¡1=2) 0 |
0 |
2 |
¡1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
2 |
1 |
1 T(3;2;¡1) |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
: |
||
0 |
|
T(3;1;1) |
|
||||||||||||||||||||||
@ |
2 |
1 |
|
1 |
A ¡¡¡¡¡¡! @ |
2 |
1 |
|
1 |
A ¡¡¡¡¡! @ |
|
2 |
1 |
0 |
A ¡¡¡¡¡¡! @ |
2 |
1 |
0 |
A |
|
|||||
0 |
0 |
|
¡2 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||||||
Теперь последний главный столбец имеет требуемый вид. |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
T(1;1=2) 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
: |
|
|||||||||||||
|
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
T(2;1=2) 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
T(2;1;¡1) |
0 |
|
|
|||||||||||
|
@ |
2 |
1 |
0 |
A ¡¡¡¡¡! @ |
2 |
1 |
0 |
A ¡¡¡¡¡¡! @ |
2 |
0 |
0 |
|
A ¡¡¡¡¡! @ |
1 |
0 |
0 |
A |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
||||||||||
Процедуру преобразования матрицы сначала в ступенчатую, а потом в главную ступенчатую матрицу мы будем называть приведением матрицы к главному ступенчатому виду.