ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

Лекция 2. Матрицы-строки и матрицы-столбцы как векторы пространств n 1 , 1 n . Системы векторов. Ли-

нейная зависимость (независимость) системы векто-

ров. Линейная оболочка. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов и линейных оболочек.

Базис и размерность линейной оболочки. База (базис)

и ранг системы векторов. Системы линейных уравне-

ний. Метод Гаусса.

В этой лекции основное внимание будет уделено частным формам матриц, а имен-

но, матрицам-строкам или матрицам-столбцам. Как уже отмечалось выше, их можно трактовать как точки или векторы в арифметических пространствах n 1 (строки длиной n ), 1 n (столбцы высотой n ), n . Такие матрицы являются естественными обобще-

ниями «одномерных» действительных чисел и прямой аналогией хорошо известных из материала средней школы геометрических векторов в виде направленных отрезков, точ-

нее, их координатных представлений (реализаций) в некотором базисе.

Важные определения базиса и координат после соответствующего обобщения пе-

реносятся и на рассматриваемый случай. Вместе с введением представления о размерно-

сти линейной оболочки векторов это дает возможность подготовить почву для определе-

ния ключевых понятий линейной алгебры – линейного или векторного пространства, его базиса, координат образующих это пространство векторов и его размерности.

В основе всех перечисленных выше универсалий1 в свою очередь лежит фундамен-

тальное понятие линейной зависимости (линейной независимости) системы векторов, с

рассмотрения которого и начнем выполнение сформулированной программы действий.

1Универсалия (от лат. universalis – общий) – термин, обозначающий общее понятие некоторой отрасли знаний.

ЛЕ К Ц И Я 1

Для определенности под термином «вектор» всюду ниже подразумевается матрицастолбец, называемая также вектор-столбцом. Все сформулированные ниже определения и утверждения остаются в силе и для векторов-строк.

Определение

Системой векторов называется их упорядоченная непустая совокупность2. Система векторов, содержащая часть векторов некоторой другой их системы, называется подсистемой этой системы.

Определение

Вектор, все элементы (компоненты) которого равны нулю, в дальнейшем будет обозначаться буквой и называется нуль-вектором.

Определение

Пусть {a1 , , ak } {ai }, i 1, k система векторов. Выражение вида

i 1

называется линейной комбинацией векторов данной системы. Числа i , i 1, k ее ко-

эффициенты.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю3 и нетривиальной в противном случае, то есть если хотя бы один из коэффициен-

тов линейной комбинации отличен от нуля4.

Замечание

Тривиальная линейная комбинация любых векторов одного размера равна нуль-

k

вектору того же размера: (0 ai ) .

k

равенство i2 0 .

i 1

4Таким образом, всякая линейная комбинация векторов либо тривиальная, либо нетривиальная.

ЛЕ К Ц И Я 1

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Определение

Система векторов {ai }, i 1, k называется линейно зависимой, если существует

их нетривиальная линейная комбинация, равная нуль-вектору. Иными словами, равенст-

k

во i ai выполняется для некоторых значений коэффициентов i , i 1, k , среди ко-

i 1

торых имеются отличные от нуля числа. О векторах такой системы говорят, что они

линейно зависимы.

Определение

Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная

линейная комбинация векторов системы равна нуль-вектору. Таким образом, равенство

теме говорят также, что ее векторы линейно независимы.

Из приведенных определений вытекает, что система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда она не является линейно зависимой. Кроме того, любая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.

Примеры:

что 1 1 0 . Следовательно, система векторов {a1 , a2 , a3 } линейно зависима (объясни-

те специфику этой системы, делающую линейно зависимой ее и любую другую, обладающую тем же свойством).

По определению это означает, что векторы a1, a2 линейно независимы.

Л Е К Ц И Я 1

ров является нетривиальной: каково бы ни было , числа sin , cos не могут одновре-

менно обратиться в нуль в силу известного равенства sin2 cos2 1. Поэтому система {a1 , a2 } линейно зависима при всех значениях параметра .

вательно, система векторов {e1 , e2 , e3 , a} линейно зависима. Специальное «устройство» векторов e1 , e2 , e3 позволило быстро угадать нетривиальную линейную комбинацию век-

торов системы, равную нуль-вектору. Дальнейшее изучение темы покажет, что вне зависимости от возможности подобного угадывания сделанный только что вывод останется верным для произвольной системы, количество векторов в которой превосходит число компонент каждого из них.

В рассмотренных выше простых примерах установление линейной зависимости или независимости заданных векторов не вызывало больших затруднений. Тем не менее, очевидна потребность найти такие приемы решения поставленной задачи, которые не зависели бы от специфики исходной системы векторов. В заключительной части этой лекции показано, что рассматриваемый вопрос сводится к решению некоторой системы линейных уравнений и рассмотрены общие методы решения таких систем.

ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ВЕКТОРОВ

Подобно тому, как в геометрии из векторов, являющихся направленными отрезками, при помощи операций умножения на число и сложения получают другие направленные отрезки, векторы в виде числовых столбцов служат «исходным материалом» при построении других таких векторов методом линейного комбинирования.

Л Е К Ц И Я 1

Этой идее можно придать максимально общую, абстрактную форму, отвлекаясь от конкретного вида комбинируемых векторов. При изучении свойств векторных множеств, получающихся в результате описанных действий, ключевую роль играет понятие линейной оболочки.

Определение

Совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов a1 , , ak называется их линейной оболочкой:

Говорят также, что L(a1 , , ak ) линейная оболочка системы векторов {ai }, i 1, k .

Как видно, линейная оболочка представляет собой бесконечное множество, элементами которого являются линейные комбинации векторов исходного конечного их множества. Заметим, что в отличие от системы векторов, линейная оболочка не является упорядоченным множеством. Кроме того, несущественно, упорядочены ли породившие оболочку векторы ai , i 1, k . Причина этого стоит в коммутативности матричного сложения, вслед-

ствие которой множества, состоящие из одних и тех же векторов и отличающиеся только их порядком, имеют одинаковые (равные) линейные оболочки.

Пример:

Простым геометрическим примером линейной оболочки является плоскость Oxy ,

если в качестве системы векторов взять {a1 i , a2 j }; i , j орты декартовой прямоугольной системы координат и отождествить точки плоскости с концами их радиусвекторов, выражаемых линейными комбинациями вида 1i 2 j с коэффициентами

1 , 2 , независимо друг от друга пробегающими множество .

ОСНОВНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ О ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫ СИСТЕМАХ ВЕКТОРОВ

Линейно зависимые и независимые системы векторов обладают рядом важных свойств, отраженных в следующих утверждениях.

1 . Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима, если он нулевой, и линейно независима, если он ненулевой.

Л Е К Ц И Я 1

Доказательство:

числа , в том числе для всякого 0 . Итак, существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы {a} { }, равная нуль-вектору, то есть система линейно зависима.

Если же среди элементов вектора a имеется ненулевой, так что a , то система

a1 0

уравнений , равносильная равенству a , совместна только при 0 . Следо-

an 0

вательно, лишь тривиальная линейная комбинация векторов системы {a } равна и система {a}, состоящая из единственного ненулевого вектора, линейно независима.

2 . Критерий линейной зависимости системы векторов. Система из k 1 векторов ли-

нейно зависима тогда, и только тогда, когда хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.

Доказательство:

1). Если система {ai }, i 1, k линейно зависима, то равенство 1a1 k ak выпол-

няется для некоторых значений коэффициентов, среди которых есть ненулевые. Пусть

j 0, 1 j k .

так что вектор a j есть линейная комбинация остальных векторов системы.

5Строчные латинские буквы используются в тексте как для обозначения векторов, так и их компонентов. Это не может вызвать недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае всегда понятно, о чем идет речь.

6Нижний индекс сомножителей в слагаемых правой части этой и подобных ей формул изменяется в диапазоне

2, k или 1, k 1 в случае, когда j 1 или j k соответственно.

Л Е К Ц И Я 1

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НИУ ВШЭ НН ◄ 7 ►

Замечание

Линейная комбинация в правой части равенствах (2.3) , выражающая вектор aj че-

рез остальные векторы системы, необязательно единственна и может быть в зависимости от a j и {ai }, i 1, k как тривиальной, так и нетривиальной. Например, если в систему входит несколько линейно независимых векторов и , то в роли aj выражается через остальные векторы системы только в виде тривиальной линейной комбинации.

2). Пусть теперь один из векторов системы {ai }, i 1, k есть линейная комбинация остальных: aj 1a1 j 1aj 1 j 1aj 1 k ak , 1 j k . Это означает, что

1a1 j 1a j 1 ( 1) aj j 1a j 1 k ak , где слева стоит нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нуль-вектору. Отсюда заключаем, что исходная система линейно зависима.

3 . В линейно зависимой системе {ai }, i 1, k ; k 1 ненулевых векторов есть вектор, яв-

ляющийся линейной комбинацией предыдущих векторов: m 1: am 1a1 m 1am 1

m 1

i ai .

i 1

Доказательство:

Вследствие линейной зависимости заданной системы найдется равная нуль-вектору нетривиальная линейная комбинация ее векторов: 1a1 k ak (объясните огра-

ничение k 1 ).

Поскольку число коэффициентов этой линейной комбинации конечно, то конечным будет также число ее отличных от нуля коэффициентов. Поэтому среди них найдется коэффициент с наибольшим номером: m : m 0 , а все коэффициенты с большими номе-

условию, по которому все векторы системы – ненулевые.

Л Е К Ц И Я 1

умножив затем обе части равенства на 1 / m , получаем в завершение доказательства

Это равенство можно записать как принадлежность вектора am линейной оболочке векторов a1 , , am 1 : am L(a1 , , am 1 ) . Говорят еще, что вектор am разложим по векторам a1 , , am 1 , или по образуемой ими системе.

Следствие

Если ни один из векторов системы {ai }, i 1, k не разлагается по предыдущим век-

торам, причем a1 , то эта система линейно независима.

Действительно, ai , i 2, k , поскольку в противном случае вектор ai разлается по предыдущим векторам с нулевыми коэффициентами, что невозможно по условию.

Далее, учитывая, что и a1 , можем утверждать: будь система ненулевых векто-

ров {ai }, i 1, k линейно зависима, в ней по свойству 3 нашелся бы вектор, разложимый по предыдущим, а это вновь противоречит условию.

▲ В дополнение к свойству 3 докажите, что в линейно зависимой системе ненулевых векто-

ров существует вектор, разложимый по последующим.

4 . Если система векторов содержит нуль-вектор, то она линейно зависима.

Доказательство:

Для системы, состоящей из одного вектора, доказываемое утверждение вытекает из свойства 1 . Если число векторов системы больше одного, то нуль-вектор разложим в тривиальную линейную комбинацию остальных векторов системы, откуда по критерию 2 вытекает линейная зависимость данной системы.

5 . Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

Л Е К Ц И Я 1