ЛЕКЦИЯ 01_Л.А

Лекция 1. Предмет линейной алгебры. Матрицы и опе-

рации над ними. Свойства операций. Понятие обрат-

ной матрицы, ее свойства и вычисление.

Среди функциональных зависимостей, описывающих многообразные природные и общественные явления, наиболее простой и глубоко изученной является линейная зависи-

мость.

Линейная алгебра – ветвь математики, исследующая общие линейные функции конечного числа переменных. Идеи и методы этой математической дисциплины используются во многих разделах математических знаний, а ее результаты широко применяются в различных приложениях математики, в том числе экономических.

Одним из традиционных подходов при построении учебных курсов линейной алгебры для студентов прикладных профилей является обобщение хорошо известной со школьной скамьи одномерной линейной относительно переменной x зависимости вида ax b , где a,b постоянные числа и соответствующего ей алгебраического уравнения 1-й

1Числа, образующие матрицы, пока считаются вещественными. В свое время будет введено важное обобщение вещественных чисел – так называемые комплексные числа.

2Читается: «эм на эн», круглые скобки на письме иногда опускают; число m называют высотой, n шириной

матрицы A , а саму ее для краткости – (m n) матрицей.

Л Е К Ц И Я 1

Имена матриц – заглавные буквы латинского алфавита: A, B, M ; En и т.п. Образующие матрицу числа называют ее элементами. Стандартное обозначение

элемента матрицы получается добавлением к малой букве, соответствующей ее имени, пары индексов3. По соглашению первый из них нумерует сверху вниз горизонтальные ряды чисел или строки, а второй нумерует слева направо вертикальные ряды чисел или

Здесь фигурные скобки обозначают совокупность элементов, упорядоченных описанным выше способом, а равенства i 1, m , j 1, n задают диапазоны изменения цело-

численных индексов i и j и тем самым указывают соответственно число строк (высоту столбца) и число столбцов (ширину строки) матрицы, то есть ее размеры.

В ряде случаев бывает удобно начинать нумерацию строк и столбцов матриц не с единицы, а с нуля. Такая возможность предусмотрена в некоторых системах компьютерной алгебры, например, в системе MathCAD.

Варьируя в отвлеченных выражениях (1.1) и (1.2) имя матрицы, значения ее размеров и форму задания элементов, можно получить представление о разнообразии частных типов числовых матриц.

Пример:

E2 21 0 , c31 w и т.п.

3Всюду далее это будут правые нижние индексы. Иногда первый индекс пишут вверху справа от имени элемента матрицы, а второй – внизу справа от него.

4Полезно запомнить соответствующие английские термины – row (строка) и column (столбец).

ЛЕ К Ц И Я 1

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НИУ ВШЭ НН ◄ 3 ►

Если в выражении (1.1) m n , то матрицу A называют прямоугольной; в противном случае она – квадратная, порядка n , где n число строк или столбцов в ней. Так, E2 в предыдущем примере – квадратная матрица 2-го порядка.

столбцом высоты m .

В частности, любую строку матрицы, являющуюся, как и сама матрица, прямоугольной числовой таблицей, целесообразно в соответствующем контексте считать мат- рицей-строкой, а любой столбец – матрицей-столбцом. Приведем некоторые варианты их обозначений на примере матрицы A(m n) из формулы (1.1):

В обозначениях элементов строки или столбца, как части некоторой «большей» матрицы, иногда требуется сохранить оба индекса. В других случаях в соответствии со спецификой решаемой задачи или по соображениям удобства выкладок индекс может быть один или вовсе отсутствовать.

Наряду с «естественной» точкой зрения на матрицу, как прямоугольную числовую таблицу, употребляются и более абстрактные определения этого фундаментального понятия линейной алгебры. Они кратко пояснены ниже в п.п. I, II.

I. Каждая строка матрицы A в (1.1), будучи упорядоченным набором или кортежем из n

чисел, является точкой арифметического пространства , образованного n

n раз

n кратным декартовым умножением на себя множества 6. Тогда саму матрицу A , как упорядоченный набор ее строк, то есть m точек из n , можно отождествить с точкой

пространства . n m n n

m раз

5 При отсутствии специальной оговорки такая матрица отождествляется со своим единственным элементом.

6 Декартово произведение обозначается также посредством n .

n раз

Л Е К Ц И Я 1

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО

Определение

Пусть A,C M m , n и . Тогда

Формула (1.6) определяет умножение матрицы на число поэлементно: произведение A есть матрица тех же размеров, элементы которой – это произведения соответственных элементов A на число .

Примеры:

4). 9 (3) (27) .

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Определение

Пусть A, B,C M m , n . Тогда

8 Общепринятым обозначением произведения матрицы на число является именно A, а не A . Тем не менее, в дальнейшем встретятся ситуации, в которых удобнее пользоваться вторым обозначением.

Л Е К Ц И Я 1

Правило (1.7) показывает, что складывать можно лишь матрицы одинаковых размеров, причем элементы их суммы представляют собой суммы соответственных элементов слагаемых. Таким образом, сложение матриц, как и умножение на числа, осуществля-

ется поэлементно.

Пример:

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО И СЛОЖЕНИЯ

Операции умножения матрицы на число и сложения матриц обладают следующими свойствами, вытекающими из соответствующих свойств умножения и сложения чисел

(проверьте).

новании матрицу ( 1)A A называют противоположной по отношению к A .

Для любых матриц A, B M m,n сумма A ( 1)B A B называется их разностью.

Л Е К Ц И Я 1

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Операцию матричного умножения можно определять различными способами в зависимости от потребностей дальнейшего применения9. В дальнейшем будем использовать следующее наиболее распространенное соглашение.

Определение

k 1

Как видно, C A(m n) B(n p) есть m p матрица: число ее строк совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов – с числом столбцов второго множителя. При этом элемент ci j в соответствии с формулой (1.8) получается как сумма произ-

ведений последовательно взятых элементов i й строки первого множителя и j го столбца второго (они содержат одинаковое количество элементов n ). По этой причине описанное правило матричного умножения называют правилом «строка на столбец»10.

9Как, впрочем, и остальные. Важно понимать, что произвол в определении подобных операций ничем не ограничен. Однако, если они определены настолько «необычно» или «неудобно», что не обладают перечисленными выше свойствами, или по крайней мере большинством из них, то для них трудно найти сферу рационального применения, во многом опирающегося на хорошо известные свойства действительных чисел. Утилитарная ценность этих свойств, которые вводятся фактически также посредством некоторых постулатов, оправдывается всем ходом использования математики в многочисленных отраслях знания и практических приложениях.

10В соответствии с этим правилом допустимо умножение матрицы-числа (1 1) справа (слева) только на стро-

ку (1 p) (на столбец (m 1) ), причем результат будет таким же, как и при использовании правила (1.6). Что-

бы не нарушать условия о тождественности матриц (1 1) и действительных чисел, следует договориться, что в случае, когда хотя бы один из множителей A, B в (1.8) есть (1 1) матрица, перемножать их можно в любом порядке по правилу (1.6).

Л Е К Ц И Я 1

Подробное вычисление элементов произведения приводится ниже:

Покажем, что любая натуральная степень рассматриваемой матрицы (то есть ее

произведение на саму себя, повторенное любое число раз) совпадает с ней. Действительно, перемножая в записанном матричном произведении любые две со-

седних матрицы, «укоротим» его на один множитель. Повторяя эту операцию нужное число раз, получим для произвольного натурального значения k 2

Заметим, что среди действительных чисел подобным свойством обладают весьма немногие (какие именно?).

11 Читатель должен отдавать себе отчет в том, что элементы матриц необязательно должны быть только натуральными или целыми числами, как в уже рассмотренных, так и в приводимых ниже примерах матричных вычислений учебного характера.

Л Е К Ц И Я 1

4). Используя упоминавшиеся ранее обозначения строк и столбцов матриц A, B,C , можно получить в качестве полезных следствий из формулы (1.8) следующие результаты:

k 1

Первая из этих формул показывает, что j й столбец c j произведения C AB двух матриц представляет собой сумму произведений всех столбцов a k первого множителя A на соответствующие элементы bk j j го столбца второго множителя B .

Из второй формулы видно, что i я строка ci произведения C AB есть сумма про-

изведений всех строк bk второго множителя B на соответствующие элементы ai k i й

строки первого множителя A .

Подобные суммы тех или иных объектов в линейной алгебре называют линейными комбинациями этих объектов, а участвующие в них числовые множители – коэффициентами этих комбинаций. Поэтому можем утверждать, что в соответствии с правилом (1.8) мат-

ричного умножения любой столбец произведения двух матриц есть линейная комбинация всех столбцов первого множителя, коэффициенты которой – соответствующие элементы столбца второго множителя с тем же номером, что и взятый столбец произведения. Точно так же любая строка произведения двух матриц есть линейная комбинация всех строк второго множителя, коэффициенты которой – соответствующие элементы строки первого множителя с тем же номером, что и взятая строка произведения.

Если второй множитель B является матрицей-столбцом B(n 1) , то произведение C(m 1) A(m n) B(n 1) также матрица-столбец, который представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам b1 , ,bn столбца

n

B(n 1) : C a 1b1 a nbn a j bj .

j 1

Такая интерпретация произведения матрицы на столбец оказывается весьма полезной при выводе общих условий совместности систем линейных уравнений (теорема КронеккераКапелли, Лекция 2).

Л Е К Ц И Я 1

СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СО СЛОЖЕНИЕМ

1 . ( AB)C A(BC) 12.

Это равенство означает ассоциативность матричного умножения при условии, что любая из ассоциаций сомножителей, образованная при помощи круглых скобок, а также все прочие произведения имеют смысл. Проще говоря, если в произведении нескольких матричных сомножителей определено умножение любых соседних матриц, то такое произведение можно вычислять, группируя сомножители произвольным образом13.

умножение на cjv можно внести под знак суммирования по индексу « k », от которого этот множитель не зависит. Кроме этого известно, что в выражениях подобного рода операторы суммирования по различным индексам в постоянных пределах перестановочны:

здесь первый множитель в круглой скобке не зависит от индекса « j » и потому может быть

12Иногда в целях упрощения записи формул знак умножения в виде точки будем опускать.

13Порядок следования множителей в этом произведении меняться не должен.

14Так всюду ниже будет обозначаться обрыв выкладок, связанный с целесообразностью прежде выполнить некоторые дополнительные преобразования или дать необходимые разъяснения. Возврат к прерванным вычислениям обозначается при помощи того же значка в начале строки.

ЛЕ К Ц И Я 1