ЛЕКЦИЯ 01_Л.А

2 . A M m , n ; B,C M n , p A(B C) AB AC –умножение на матрицу слева дистрибутивно по отношению к сложению матриц (докажите самостоятельно).

Это же касается и умножения справа:

3 . A, B M m , n ; C M n , p ( A B)C AC BC (докажите самостоятельно).

Заметим, что об умножении слева и справа приходится говорить здесь в связи с тем, что умножение матриц не подчиняется переместительному закону или неком-

мутативно. В самом деле, если произведение AB определено, то в общем случае произведение BA не только не равно AB , но даже может не существовать.

Пример:

то матрицы A и B называются коммутирующими, или перестановочными.

▲Докажите, что KAB A, B M n , так что коммутировать могут только квадратные матрицы одинакового порядка. Приведите примеры таких матриц.

▲Задайте матрицу A M 2 и найдите все матрицы, перестановочные с ней.

15 В тексте будет использоваться символика математической логики, причем не только в формулах, а и в обычных предложениях с целью сокращения письма. Предполагается, что смысл соответствующих символов (кванторы существования, всеобщности и пр.) известен читателю.

Л Е К Ц И Я 1

Обобщая теорему Пифагора на случай произвольного числа координат, говорят о длине или так называемой евклидовой норме любого вектор-столбца x(n 1) , n :

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ ТРАНСПОНИРОВАНИЯ

1 . ( AT )T A (докажите).

Л Е К Ц И Я 1

Замечание

Доказанное только что свойство операции транспонирования легко обобщается на любое число сомножителей. Так, например, ( ABC)T CT BT AT и т.п. (докажите).

В дальнейшем нам часто придется иметь дело с квадратными числовыми матрицами. Они обладают рядом характеристик и свойств, которых нет у прямоугольных матриц общего вида. Оставшаяся часть лекции в основном посвящена изучению таких свойств и рассмотрению некоторых частных форм квадратных матриц.

СЛЕД КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Определение

В квадратной матрице {ai j } A Mn совокупность элементов, индексы которых удовлетворяют уравнению i j , образует так называемую главную диагональ, идущую из левого верхнего угла в правый нижний. Совокупность элементов, для которых i j n 1, образует побочную диагональ, которая идет из правого верхнего угла в левый

нижний17:

главная диагональ

побочная диагональ

Определение

Следом квадратной матрицы называется сумма элементов ее главной диагонали:

n

tr A aii (обозначается также Sp A от «Spur» – след по-немецки.).

i 1

17 Обратите внимание, что при записи матрицы в общем виде для отделения буквенных индексов иногда приходится использовать запятую.

Л Е К Ц И Я 1

Ниже приводятся основные свойства этой важной характеристики числовой квад-

ратной матрицы. Предполагается, что A, B M n .

Свойства следа матрицы

также умножается на это число.

2 . tr ( A B) tr A tr B (докажите).

3 . tr AT tr A транспонирование квадратной матрицы, представляющее собой симметрич-

ное отражение ее элементов относительно главной диагонали, не меняет следа, поскольку оно оставляет неизменными все элементы, стоящие на главной диагонали.

5 . tr ( AT A) tr (AAT ) 0 .

Первая часть этой формулы будет следствием предыдущего пункта, если положить

здесь имеет место в том и только том случае, когда aki 0 ; k,i 1, n A O M n (до-

кажите, что обсуждаемое свойство сохраняется для произвольной прямоугольной

матрицы).

Л Е К Ц И Я 1

Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 16 ►

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Определение

Квадратная матрица A называется:

главная диагональ

Запись B diag (1, 1,0,7) означает диагональную матрицу с перечисленными в скобках элементами, образующими ее главную диагональ:

Л Е К Ц И Я 1

Частные случаи диагональной матрицы – это нулевая матрица O M n и так назы-

множестве M n квадратных матриц порядка n ту же роль, которую играет в множестве

Говорят, что система строк, удовлетворяющая написанному условию, – ортонормирована: норма (1.7) каждой из строк равна 1, а произведение si sTj для не равных друг другу значений индексов i , j (аналог скалярного произведения векторов в геометрии) равно 0 . Напомним, что таким свойством обладают базисные векторы д.п.с.к.19, обозначае-

мые i , j и i , j , k соответственно в двумерном и трехмерном случаях.

Заметим, что прямоугольная матрица A M m , n , m n может обладать ровно од-

ним из свойств AAT Em или AT A En 20. Такие матрицы называются полуортогональ-

ными.

▲ Дайте пример полуортогональной матрицы размера (2 3) .

18Обозначается также посредством In .

19Декартова прямоугольная система координат.

20Иначе говоря, обе матрицы AAT и AT A определены, но лишь одна из них – единичная. Можно доказать, что из этих двух квадратных матриц единичной всегда будет матрица меньшего порядка.

ЛЕ К Ц И Я 1

▲ Как вы думаете, будет ли система столбцов ортогональной матрицы ортонормированной? Обоснуйте свою догадку.

► Матрица B , удовлетворяющая равенству B2 A , где A, B M n , называется квадрат-

ным корнем из матрицы A и обозначается A1/2 . Матрица En1/2 , то есть квадратный корень из единичной матрицы, называется инволютивной матрицей.

также в любом ее столбце все элементы, кроме одного, равного 1, нули.

Меняя в матрице перестановки порядок следования строк и/или столбцов, ее можно преобразовать в единичную матрицу.

Пример:

или

21Так было уже для действительных чисел.

22Матрица перестановки – частный случай так называемой бинарной матрицы – прямоугольной матрицы, все элементы которой – нули или единицы.

ЛЕ К Ц И Я 1

Пример:

Px идемпотентная матрица. Глубокий смысл этих соотношений состоит в следующем: ес-

ли a,b, c координаты некоторого геометрического вектора u в выбранной системе коор-

динат Oxyz , то a,0,0 это координаты вектора ux , являющегося прямоугольной проекцией u на ось абсцисс. Таким образом, умножение матрицы Px на координатный столбец произвольного вектора u реализует преобразование этого вектора в его проекцию на указанную ось. Очевидно, повторное проектирование вектора ux даст вновь ux , поскольку этот

чает, что каждое проектирование, начиная со второго, не меняет вектора, на который оно действует: результат первого проектирования, являясь собственной проекцией на Ox , переходит в себя при каждом следующем выполнении описанной операции.

столбец произвольного вектора u реализует его прямоугольное проектирование на координатную плоскость Oxy :

Л Е К Ц И Я 1

справедливости равенства Px2y Pxy , означающего идемпотентность матрицы Pxy .

Преобразование вектора u в себя также можно считать проектированием в пространство Oxyz 3 . Очевидно, что оно реализуется единичной матрицей E3 , которая,

очевидно, идемпотентна: n E2n En .

Описанные преобразования векторов геометрического пространства называют опе-

раторами проектирования или проекторами23. В линейной алгебре проектором назы-

вают также произвольную идемпотентную симметрическую матрицу.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ

Определение

Перечисленные ниже действия называются элементарными преобразованиями матрицы:

(1.10)

1.Перестановка (транспозиция) двух строк матрицы.

2.Умножение строки матрицы на число, отличное от нуля24.

3.Сложение строки матрицы с некоторой другой ее строкой.

4.Те же операции со столбцами матрицы.

Действия 1 – 3 будем также называть элементарными преобразованиями строк матрицы, а действия 4 – элементарными преобразованиями ее столбцов. Как будет видно из дальнейшего изложения, элементарные преобразования играют важную роль во многих разделах линейной алгебры.

23Операторы проектирования широко используются в экономических приложениях линейной алгебры. Например, в задачах линейной регрессии лучшей оценкой некоторого признака, получаемой на основе ряда значений т.н. объясняющих переменных или предикторов при помощи метода наименьших квадратов, оказывается ортогональная проекция вектора наблюденных значений признака на подпространство предикторов.

24Умножение в этом пункте и сложение в следующем, как всегда, поэлементные.

ЛЕ К Ц И Я 1