ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

Как и числа {ax , ay , az } в геометрии, коэффициенты {ci }, i 1, n в разложениях ти-

па (2.5) называются координатами вектора в соответствующем базисе (относительно базиса).

8 . Если вектор разложим по системе линейно независимых векторов, то коэффициенты разложения определены однозначно. Иными словами, такое разложение единственно.

Доказательство:

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВЕКТОРОВ

Рассмотрим некоторые ключевые свойства линейных оболочек векторов, позволяющие ввести важные понятия базиса и размерности оболочки, базы и ранга системы векторов, а также доказать ряд связанных с этими понятиями утверждений общего характера.

9 . Пусть даны системы векторов {a} {a1 , , ak }, {b} {b1 , ,bm }, {c} {c1 , , cp }9, при-

чем каждая линейная комбинация векторов {c} содержится среди всевозможных линейных комбинаций векторов {b}, а любая линейная комбинация векторов {b} содержится в множестве линейных комбинаций векторов {a} .

9 Такие обозначения систем векторов будут использоваться в случаях, когда для краткости письма удобно называть объединительно векторы системы их общим именем, или требуется комбинировать некоторым образом векторы, входящие в несколько рассматриваемых систем.

Л Е К Ц И Я 1

(a) L(c) L(b) ,

(b) L(b) L(a) .

Тогда L(c) L(a) , то есть любая линейная комбинация векторов системы {c} есть элемент линейной оболочки векторов системы {a} .

Доказательство:

Из отношения (a) следует, что каждый вектор c , как частная форма линейной ком-

бинации векторов системы {c} , разложим по системе {b}: cr L (b), r 1, p . Точно так же из отношения (b) вытекает, что всякий вектор b разложим по векторам системы {a} .

Подставим в линейную комбинацию, выражающую вектор cr через векторы b , их линейные выражения через векторы a . После приведения подобных членов получим выражение для cr в виде линейной комбинации векторов a . Сделав это для всех векторов системы {c} , любую их линейную комбинацию сможем представить как линейную ком-

бинацию векторов системы {a} , а это и означает, что L(c) L(a) .

При несколько более формальном подходе к делу можно вместо словесных разъяснений записать следующие равенства

Доказанное свойство называют транзитивностью линейной зависимости.

ЛЕ К Ц И Я 1

Словесная форма этого утверждения такова: если любая линейная комбинация линейно независимых векторов первой системы линейно выражается через векторы второй линейно независимой системы, то число векторов в первой системе не может превосходить числа векторов во второй.

 Это свойство иногда называют монотонностью числа линейно независимых векто-

ров, поскольку оно равносильно утверждению, что из некоторого количества таких векто-

ров невозможно при помощи линейного комбинирования построить большего числа линейно независимых комбинаций.

Доказательство:

1). Заметим, что b1 1 b1 0 b2 0 bm частная форма линейной комбинации векто-

ров b , так что b1 L(b) L(a) , откуда видна разложимость b1 по системе {a} . На основа-

нии критерия 2 можем заключить, что система {b1 ; a} линейно зависима. Все векторы этой системы ненулевые, поскольку в противном случае в системе {a} либо в {b} содер-

жится нуль-вектор, что несовместно с их линейной независимостью.

По свойству 3 в системе {b1 ; a} должен найтись вектор, разложимый по предыду-

щим. Очевидно, что в данном случае это один из векторов a . Обозначим его v1 , систему,

получающуюся после вычеркивания в {a} этого вектора, как {a \ v1} и рассмотрим систе-

му {s1} {b1 ; a \ v1}.

Раз вектор v1 разложим по предыдущим векторам в системе {b1 ; a} , а все они со-

держатся в более широкой системе {s1} , образованной из b1 и всех векторов {a} , кроме v1 ,

то он разложим и по {s1} . Далее, векторы a \ v1 содержатся в {s1} и потому также разло-

жимы по этой системе. Следовательно, все векторы {a} разлагаются по {s1} , откуда выте-

кает, что L(a) L(s1 ) L(b1 ; a \ v1 ) . Но по условию L(b) L(a) , так что по свойству 9

транзитивности линейной зависимости получаем L(b) L(b1 ; a \ v1 ) L(s1 ) .

Л Е К Ц И Я 1

Вновь можем утверждать, что по свойству 3 в ней найдется вектор, разложимый по предыдущим. Таким вектором не является b2 и не может быть b1 , так как иначе b1 разлагался бы по b2 и по критерию 2 подсистема {b1 ,b2 } системы {b} оказалась бы линейно зависи-

мой, что по свойству 5 означало бы линейную зависимость самой системы и противоречило бы условию.

Стало быть, в системе {b2 ,b1 ; a \ v1} по предыдущим векторам разлагается один из векторов a \ v1 , который обозначим v2 . Пусть {a \ v1 , v2 } система, полученная из системы

{a \ v1} вычеркиванием v2 , или, что то же, из системы {a} вычеркиванием векторов v1 , v2 .

Положим {s2 } {b2 ,b1 ; a \ v1 , v2 } и рассмотрим соотношение линейных оболочек L(s1 ) ,

L(s2 ) систем {s1} {b1 ; a \ v1}, {s2} .

Все векторы a \ v1 разлагаются по {s2} , ибо часть a \ v1, v2 этих векторов лежит в

{s2} и, кроме того, {s2} включает все векторы, предшествующие вектору v2 в системе

{b2 ,b1 ; a \ v1} , по которым он разложим. В результате этот дополняющий векторы a \ v1, v2

до векторов a \ v1 вектор v2 тоже разложим по {s2} . Далее, вектор b1 из {s1} содержится в

{s2} и поэтому разлагается по этой системе.

Итак, все векторы системы {s1} {b1 ; a \ v1} разложимы по {s2} . Отсюда следует включение L(s1 ) L(s2 ) , а вслед за ним из результата L(b) L(s1 ) пункта 1) вытекает,

что L(b) L(s1 ) L(s2 ) L(b2 ,b1; a \ v1, v2 ) .

Продолжая рассуждать в том же духе, после p шагов придем к утверждению, что L(b) L(bp , , b1 ; a \ v1 , , vp ) , где система {a \ v1 , , vp } получается вычеркиванием в {a} некоторых векторов v1, , vp .

Пусть в системе {b} больше векторов, чем в {a} : m k , так что первую систему можно представить в виде {b} {b1 , ,bk ;bk 1 , , bm }. Тогда в ходе описанных выше рас-

суждений при p k из системы {a} будут вычеркнуты все ее k векторов v1, , vk , то есть

a \ v , , v и окажется, что L(b) L(b , ,b ; a \ v , , v ) L(b , ,b ) .

1 k k 1 1 k k 1

Л Е К Ц И Я 1

Полученное включение показывает, что вектор bk 1 , как частная форма линейной комбинации векторов b , разложим по векторам bk , ,b1 , что по 2 означает линейную за-

висимость подсистемы {b1 , , bk ;bk 1} системы {b}, а тогда и линейную зависимость са-

мой системы {b} по свойству 5 . Поскольку это противоречит условию, приходим к окончательному заключению m k .

▲ Выведите из доказанного, что, как уже говорилось выше, из некоторого количества линейно независимых векторов невозможно построить большего числа линейно независимых линейных комбинаций.

Геометрическая интерпретация свойства 10

Как это делалось и ранее в примерах из геометрии, иллюстрирующих излагаемый материал, отождествим линейные комбинации ортов заданной д.п.с.к. с их концами. Тогда

2 , 3 } : L (i , j) L (i , j, k ) . В соответствии со свойством 10 множество L (i , j) , определяющее плоскость Oxy , есть линейная оболочка линейно независимой системы

меньшего числа векторов, чем линейная оболочка L (i , j, k ) , соответствующая всему пространству.

Л Е К Ц И Я 1

Из двух линейно независимых векторов i , j невозможно построить линейным комбинированием 3 и более линейно независимых линейных комбинации, то есть «выйти» из плоскости Oxy .

Базис и размерность линейной оболочки системы векторов

Пусть дана система векторов {a} {a1 , , ak } и V L (a) ее линейная оболочка.

Определение

Линейно независимая система векторов {b} {b1 , ,bm } V называется базисом

линейной оболочки V , если всякий вектор из V разложим по системе {b}.

Заметим, что по определению базисные векторы принадлежат оболочке V , так что они разложимы по системе {a}. Тогда и любая их линейная комбинация обладает этим свойством и тоже лежит в V . Это означает, что линейная оболочка векторов базиса включена в оболочку V : L (b) V .

С другой стороны, любой вектор из оболочки V по определению разложим по базису {b}, то есть справедливо и включение V L (b) . Следовательно, L (b) V .

 Таким образом, базис линейной оболочки V можно определить как такую линейно независимую систему {b} ее векторов, для которой L (b) V . Уместно сказать, что множе-

ство линейных комбинаций базисных векторов исчерпывает оболочку V : в ней нет ни одного вектора, который не являлся бы некоторой линейной комбинацией векторов базиса, так что L (b) L (a) V .

▲ Верно ли, что любая линейно независимая система векторов является базисом своей линейной оболочки?

 Из свойства 8 вытекает, что разложение любого вектора оболочки V по ее базису единственно.

▲ Докажите обратное утверждение: если в линейной оболочке V каждый вектор единственным образом разложим по некоторой системе векторов из V , то эта система является базисом оболочки V .

▲ Пусть о каждом векторе линейной оболочки V , кроме V , известно, что он единственным образом разложим по некоторой системе векторов из V . Докажите, что тогда и

Л Е К Ц И Я 1

блема поиска базиса, как некоторой специальной системы векторов в их бесконечном множестве L(a) , решается при помощи алгоритма, который в наиболее простом варианте представляет собой перебор подсистем конечной системы векторов {a}.

Соображения, приводящие к положительному ответу на поставленный выше во-

прос, таковы. Допустим, что среди векторов a имеется ненулевой. Тогда гарантировано наличие в системе {a} линейно независимых подсистем, одной из которых по свойству 1

является сам этот ненулевой вектор. Поскольку в силу конечности числа векторов в {a}

число таких подсистем также конечно, среди них найдется подсистема, содержащая наи-

большее число векторов – так называемая максимальная линейно независимая подсисте-

ма векторов данной системы.

Определение

Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов называ-

ется ее базой.

 Как видно, наличие в системе ненулевого вектора гарантирует существование базы этой системы. Очевидно, что в системе нет базы в том и только том случае, когда любая ее подсистема линейно зависима. На основании свойства 1 можно утверждать, что этому

условию удовлетворяет лишь система { } { , , }, содержащая одни нулевые векторы.

k нулевых векторов

Линейную оболочку такой системы можно считать состоящей из одного нуль-вектора ,

k

поскольку i : L( ) , а ее размерность положить равной нулю: dim L( ) 0 .

i 1

Пусть на базис, который ищут в линейной оболочке заданной системы векторов, не налагается ограничений, оговаривающих вхождение базисных векторов в те или иные подмножества этой оболочки11. Тогда поиск базиса можно свести к нахождению базы по-

родившей ее системы векторов в соответствии со следующей теоремой.

11 Примером такого ограничения служит требование, чтобы базисные векторы полностью или частично не входили в исходную систему векторов.

Л Е К Ц И Я 1

12 .ТЕОРЕМА О БАЗЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Подсистема системы векторов является базисом ее линейной оболочки тогда и только тогда, когда она является базой этой системы.

Доказательство:

1). Сначала докажем, что если в системе векторов найдена база, то любой вектор системы разложим по ней. В самом деле, для векторов, вошедших в базу, это очевидно. Пусть система содержит нулевой вектор. Тогда он не входит в базу вследствие ее линейной независимости и разлагается по базе в виде тривиальной линейной комбинации ее векторов. Если же вне базы имеется ненулевой вектор, то добавим его к базе на последнее место и применим к полученной системе векторов утверждение 3 . Заметим, что ни один из векторов базы не разлагается по предыдущим векторам в силу ее линейной независимости. Если добавленный вектор не разлагался бы по базе, то в полученной системе ни один вектор не разлагался бы по предыдущим. Поскольку все они ненулевые, то по следствию из 3 система оказалась бы линейно независимой. Однако, это противоречило бы максимальности линейно независимой подсистемы векторов, образующих базу исходной системы.

Следовательно, добавленный вектор разлагается по найденной базе системы.

Теперь можем утверждать: всякая линейная комбинация векторов системы есть также и некоторая линейная комбинация векторов ее базы. В силу того, что база есть подсистема системы векторов, верно и обратное утверждение: всякая линейная комбина-

ция векторов базы есть и некоторая линейная комбинация векторов всей системы.

Стало быть, множества линейных комбинаций векторов базы и линейных комбинаций векторов системы совпадают, то есть линейные оболочки векторов базы и всей системы равны. Поскольку база есть линейно независимая система векторов, то указанное сов-

падение по определению означает, что всякая база системы векторов является базисом ее линейной оболочки.

2). Исчерпывается ли, однако, множество баз системы векторов множеством ее подсистем, являющихся базисами в ее линейной оболочке? Ответ утвердительный: среди подсистем системы, являющихся базисами ее оболочки, нет такой, которая не была бы при этом ее максимальной линейно независимой подсистемой, то есть базой этой системы.

Действительно, пусть некоторая подсистема системы векторов – базис ее линейной оболочки. Раз любая база системы, как доказано выше, – тоже базис этой линейной обо-

Л Е К Ц И Я 1

лочки, то по теореме 11 они содержат одинаковое количество векторов. Поэтому выбранная подсистема состоит из наибольшего возможного числа линейно независимых векторов системы и является ее базой.

▲Означает ли разложимость всех векторов системы по некоторой ее подсистеме, что такая подсистема является базой этой системы?

▲Докажите утверждение, обратное утверждению пункта 1) теоремы о базе: если в систе-

ме {a} каждый вектор разложим по некоторой ее линейно независимой подсистеме, то эта подсистема является базой в {a} .

▲ Докажите, что если система {a} содержит нулевой вектор и любой ее вектор единст-

венным образом разложим по ее подсистеме {b}, то {b} база в {a} .

▲ Верно ли, что если в системе{a} любой вектор единственным образом разложим по подсистеме {b}, то {b} база в {a} ?

Доказанная теорема о базе системы векторов позволяет обосновать замечание 2 к свойствам обратной матрицы из Лекции 1. Напомним: в нем утверждается, что если

A M m , n , B M n , m и AB Em , BA En , то m n и B A 1 .

В самом деле, каждая из m строк произведения Em AB M m линейная комби-

нация n строк матрицы B . Любая линейная комбинация строк матрицы AB обладает этим же свойством, так что линейная оболочка ее строк вложена в линейную оболочку строк B . Кроме того, каждый из n столбцов произведения En BA M n линейная комбинация m столбцов множителя B , а линейная оболочка столбцов BA лежит в линейной оболочке столбцов B .

Далее, обозначим системы строк и столбцов матрицы B через { srB } и { scB } , а базы этих систем пусть будут {brB } и {bcB } соответственно. Столбцы единичной матрицы лю-

бого порядка линейно независимы по свойству 7 , которое легко распространяется и на систему ее строк.

Л Е К Ц И Я 1