- •1. Понятие функции одного переменного. Виды и способы задания функции.
- •2. Предел функции и его свойства.
- •4. Теоремы о пределах функций
- •5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •6.Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •7. Первый и второй замечательные пределы
- •8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятие производнойю Геометрический и физический смысл производной.
- •10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие.
- •11. Теоремы о производных.
- •12.Производная сложной функции.
- •20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:
- •23. Экстремум функции
- •40. Экстремумы функций двух переменных.
- •42. Достаточное условие существования экстремума.
- •43. Условный экстремум
- •44. Метод наименьших квадратов.
40. Экстремумы функций двух переменных.
Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если для любой точки M (x,y), находящейся в некоторой p-окрестности точки M0(x0,y0), выполняется условие f(x0,y0)>f(x,y) (f(x0,y0)>f(x,y)); p-окрестность можно представить множеством точек M (x,y), координаты которые удовлетворяют условию √(x-x0)2+(y-y0)2 < p, где p – положительное достаточно малое число.
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а M0(x0,y0) – экстремальной точкой.
41.Теорема (необходимые условия экстремума). Если z=f(x,y) – дифференцируемая функция и достигает в точке M0(x0,y0) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:
∂z(M0)/ ∂x=0 , ∂z(M0)/ ∂y=0.
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть M0(x0,y0) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M0(x0,y0):
∂2z(M0)/ ∂x2=A; ∂2z(M0)/ ∂x∂y=B; ∂2z(M0)/ ∂y2=C;
а затем дискриминант ∆=AC-B2. Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M0(x0,y0) запишутся в следующем виде:
1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;
2) ∆<0 – экстремума нет;
3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.
42. Достаточное условие существования экстремума.
Пусть M0(x0,y0) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M0(x0,y0):
∂2z(M0)/ ∂x2=A; ∂2z(M0)/ ∂x∂y=B; ∂2z(M0)/ ∂y2=C;
а затем дискриминант ∆=AC-B2. Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M0(x0,y0) запишутся в следующем виде:
1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;
2) ∆<0 – экстремума нет;
3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.
43. Условный экстремум
1) Усл-ый экстремум (метод множ-ей Лагранжа):
Постановка задачи: Найти экстремумы ф-ии Z=f(x,y) при усл, что φ(x,y)=0. Составляют ф-ию Лагранжа:
L=f(x,y) + η φ(x,y) ; η – множ-ль Лагранжа.
Для того, чтобы найти т экстремума, находят стац-е точки ф-ии Лагранжа, т.е. решают систему:
Достат-ое усл экстремума: Если опред-ль ∆>0, то экстр-м есть и при том max; Если ∆<0 => экст-м есть – min
вычисленный в точке (x0, y0, λ 0) (стац т).
44. Метод наименьших квадратов.
(x1; y1)
(x2; y2)
(xn; yn)
Подобрать теоретич. прямую вида y=ax+b "наилучшим образом" согласующуюся с этими данными.
δi=yi теор – yi эмпирич; МНК:∑(δi)2→min